2018-2019学年福建省龙岩市上杭县第一中学等六校高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

2018-2019学年福建省龙岩市上杭县第一中学等六校高二下学期期中考试数学（理）试题 Word版

‎“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考 ‎2018-2019学年第二学期半期考 高二数学（理科）试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ 命题人：上杭一中 刘忠寿 永定一中 吴玉辉 漳平一中 陈炳泉 ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.‎ 注意事项：‎ ‎1. 答题前，考生务必用黑色铅字笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.‎ ‎2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号，第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试卷上作答，答案无效.‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。‎ ‎1．若复数为虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ ‎ A．－2 B．‎4 ‎C．－6 D．6‎ ‎2．函数在点处的切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.函数的递增区间是（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4．函数的图象如右图所示，则导函数的 x o y x o y x o y x o y ‎ ‎ 图象的大致形状是 ( )‎ ‎ ‎ ‎5．计算为( )‎ ‎ A．　　　B．　　　C．　　　　D．‎ ‎6．用数学归纳法证明不等式的过程中，从到时左边需增加的代数式是 (　 )‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知函数在处取得极值10，则=（ ）‎ A．或 B．或 C． D．‎ ‎8．右下图是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图一是第1代“勾股树”，重复图一的作法，得到图二为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第代“勾股树”所有正方形的面积的和为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝11－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是（ ）‎ A．4＋25ln5 B． C． D．‎ ‎10.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 ‎，求得，类似上述过程，则（ ）‎ A． B．‎3 C．6 D．‎ 11. 函数在的最大值为2，则的取值范围是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C. D．‎ ‎12.已知是定义在上的增函数，其导函数满足，则下列结论正确的是（ ）‎ ‎ A.对于任意， B. 对于任意，‎ C.当且仅当 D. 当且仅当 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在复平面内，复数对应的点的坐标为 ‎ ‎14．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，‎ 则它落在阴影部分的概率为_______.‎ ‎15.定义A*B，B*C，C*D，D*B依次对应如图所示的4个图形：‎ ‎ ‎ 那么以下4个图形中，可以表示A*D的是 （填与图形对应的序号）‎ ‎ ‎ ‎16.任意，使得成立，则的取值范围是_______.‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。‎ ‎17. （本小题满分10分） 设复数（其中），． ‎ ‎（Ⅰ）若是实数，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若是纯虚数，求． ‎ ‎18. （本小题满分12分） 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式.‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论函数的单调性.‎ ‎19. （本小题满分12分） 如图：在三棱锥中，是直角三角形，，点分别为的中点． （Ⅰ）求证：‎ ‎； （Ⅱ）求二面角的余弦值． ‎ ‎ ‎ ‎20 .（本小题满分12分）某同学在研究相邻三个整数的算术平方根之间的关系时，发现以下三个式子均是正确的：①；②；③ （Ⅰ）请从以上三个式子中任选一个，根据 验证其正确性（注意不能近似计算）； （Ⅱ）请将此规律推广至一般情形，并证明之． ‎ ‎21. （本小题满分12分）已知函数，‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的零点个数；‎ ‎（Ⅱ），不等式恒成立，求的取值范围．‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数 ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值与的最小值.‎ ‎ ‎ ‎“长汀、连城、武平、永定、漳平、上杭六地一中”联考 ‎2018-2019学年第二学期半期考 高二数学（理科）答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B C D A B D C C A D B 二、 填空题 13. ‎ 14. 15.（2） 16. ‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是实数，‎ ‎∴a＝4，z1＝2＋4i，‎ ‎∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；.................5分 ‎（Ⅱ）∵是纯虚数，‎ ‎∴，‎ 故．.................10分 18. ‎（本小题满分12分）‎ 解（Ⅰ） .‎ 由导数的几何意义得，于是.‎ 由切点在直线上可知.‎ 所以函数的解析式为.............5分 ‎（Ⅱ）.............6分 当时，,函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数;............8分 当时,函数在区间上为增函数；............10分 当时，，函数在区间及上为增函数，在区间上为减函数.............12分 18. ‎（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：连接BD、在△ABC中，∠B=90°． ∵AB=BC，点D为AC的中点，∴BD⊥AC． ∵E、F分别为AB、BC的中点，∴EF∥AC，‎ ‎ ,又∵PB⊥面ABC，EF平面ABC,∴PB,‎ 平面PBD............6分 ‎（Ⅱ）∵∴PB=BC=2‎ 如图建立空间直角坐标系，则E(1,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),则 ‎=(-1,2,0), =(-1,0,2)‎ 设平面PEC的一个法向量为=（x，y，z），‎ 则=0， =0‎ 即 令x=2,得y=1,z=1‎ ‎∴=(2,1,1),由已知可得，向量=(2,0,0)为平面PBC 的法向量 ‎∴cos<,>== ‎ ‎∴二面角E-PC-B的余弦值为 ．............12分 ‎20 （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）验证①式成立：‎ ‎ ..............................................................5分 （Ⅱ）一般结论为：若，则，证明如下： 要证： 只需证： 即证： 也就是证： 即证：‎ 只需证： 即证：，显然成立 故.．..........................................................12分 21. （本小题满分12分）‎ 解：（1）∵． 当时，在上单调递减，且，‎ 有且只有一个零点； 当时，令得． 由得的单调递增区间为； 由得的单调递减区间为．‎ 的最小值为 当即时无零点 当 即时有一个零点 当 即时且，有两个零点．..........................................................6分 ‎ （Ⅱ）∵， 则，即． 设，则问题转化为， 由，令 当单调递增 ‎，单调递减 当时，函数有极大值，即最大值为． ∴..............................................12分 22.（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）因为 当，从而在单调递增，‎ 所以..................4分 ‎（Ⅱ）令则 ‎，由（Ⅰ）知，‎ 所以函数在单调递增，故 所以的最大值......................6分 因为等价于 令则 （1） 当时，对任意恒成立，不符合题意；‎ （2） 当时，因为对任意，，所以在单调递减，所以对任意恒成立，符合题意；‎ （3） 当时，构造，则 所以在单调递增，又因为 所以存在唯一零点，使得，当，，在单调递减，当，，在在单调递增 所以，不符合题意，综上，的最小值为1..................11分 所以对恒成立，的最大值为，的最小值为1.......12分