广东省广州市增城区2020届高三上学期调研测试（一）数学（文）试题

广东省广州市增城区2020届高三上学期调研测试（一）数学（文）试题

‎2019学年第一学期高三调研测试（一）‎ 文科数学 第I卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知全集，，，则为 A. {1} B. {1,6} C. {1,3,5} D. {1,3,5,6}‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用集合的交集、补集运算即可求出。‎ ‎【详解】因为，所以，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算。‎ ‎2.已知复数，则其共轭复数的虚部为 A. B. C. i D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的代数形式的运算法则，求出，再利用共轭复数和复数的定义即可求出。‎ ‎【详解】因为，所以的共轭复数为，‎ 虚部为，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的代数形式的运算法则以及共轭复数、复数的定义应用。‎ ‎3.已知，大小关系正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“”分段法比较出三者的大小关系.‎ ‎【详解】由于，，，即，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数式、对数式比较大小，属于基础题.‎ ‎4.已知双曲线的焦距为，则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得的值，进而求得双曲线离心率.‎ ‎【详解】依题意可知，所以，故，所以，故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.‎ ‎5.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式以及两角差的正弦公式即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式和两角差的正弦公式应用。‎ ‎6.从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接列举出所有的抽取情况，再列举出符合题意的事件数，即可计算出概率。‎ ‎【详解】从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数为，即，‎ 抽得的第一张卡片上的数不小于第二张卡片上的数的基本事件数为，即 ‎，‎ 故所求概率，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型概率的求法。‎ ‎7.更相减损术是出自中国古代数学专著《九章算术》的一种算法，其内容如下：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之”下图是该算法的程序框图，如果输入，，则输出的值是 A. 17 B. 34 C. 36 D. 68‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据程序框图进行模拟运算即可得出。‎ ‎【详解】根据程序框图，输入的，，因为，且，所以；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环， ，此时，输出，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查更相减损术的理解以及程序框图的理解、识别和应用。‎ ‎8.已知向量满足，且，则与的夹角为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据向量模的公式求出，再利用向量夹角公式即可求出。‎ ‎【详解】因为，所以 解得，设与的夹角为，所以，故，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式以及向量夹角公式的应用。‎ ‎9.函数的部分图象大致是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性，再根据特殊点即可判断出的图象。‎ ‎【详解】因为函数的定义域为， ，函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以C、D不正确；又因为 ，所以A不正确，故选B。‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的性质识别函数的图象。‎ ‎10.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图像，若函数为偶函数，则函数在的值域为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先进行图像变换得到的表达式，根据为偶函数求得的值，然后根据三角函数值域的求法，求得函数在的值域.‎ ‎【详解】图像向左平移个单位，得到函数，由于函数为偶函数，故，由于，故令求得.所以.由于，，所以，故，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换，考查三角函数的奇偶性，考查三角函数值域的求法，属于中档题.‎ ‎11.已知椭圆的左焦点为F，上顶点为B，右顶点为A，过点F作x轴垂线，该垂线与直线AB交点为M，若，且的面积为，则C的标准方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据，可求出以及，再依据的面积为，列出方程，结合，求出，从而求出椭圆的标准方程。‎ ‎【详解】依据，可得 ，解得，，又 ‎，，解得，故选A。‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，意在考查学生的计算能力。‎ ‎12.已知函数，若函数有两个零点，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数有两个零点，可以转化为方程有两根，即直线 与函数的图象有两个交点，即可求出a的取值范围。‎ ‎【详解】因为函数有两个零点，所以直线与函数的图象有两个交点，作出的图象，‎ 所以，当时，即，直线与函数的图象有两个交点，故选D。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的零点与两函数图象的交点之间的关系应用，意在考查学生转化与化归思想的应用能力。‎ 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）‎ 二、填空题：本小题共4题，每小题5分。‎ ‎13.函数的极大值为____．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求函数的导函数，再解不等式和得函数的单调区间，进而由极值的定义求得函数的极值点和极值.‎ ‎【详解】∵，‎ 令，得或；令，得，‎ ‎∴函数在是增函数，在上是减函数，在是增函数，‎ ‎∴函数在时取得极大值2，故答案为2.‎ ‎【点睛】利用导数工具求该函数的极值是解决该题的关键，要先确定出导函数等于零的实数的值，再讨论出函数的单调区间，根据极值的判断方法求出该函数的极值，体现了导数的工具作用．‎ ‎14.记为等比数列的前项和，若，则______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据前项和公式先求出公比，即可求出 ‎【详解】显然可知公比，否则，由，‎ 解得，所以。‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式应用。‎ ‎15.△的内角的对边分别为，已知，，则的值为______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理角化边，再用余弦定理表示出，即可求出的值。‎ ‎【详解】由正弦定理可得，，由余弦定理可得，，‎ 消去，得 ，所以。‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用。‎ ‎16.已知正三棱柱中，且，直线与平面所成角为45，则此三棱柱的外接球的表面积为______.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据题意求出侧棱棱长，然后由三棱柱的外接球的球心为两底面中心连线的中点，即可求出外接球的半径，从而算出表面积。‎ ‎【详解】如图所示，过点作垂直于交于，连接，所以，因为底面正三角形边长为2，所以，，又，所以。由于三棱柱的外接球的球心为两底面中心连线的中点，在中，，，所以，即，故该三棱柱的外接球的表面积为。‎ ‎【点睛】本题主要考查正三棱柱的几何特征以及其外接球的表面积求法，意在考查学生的直观想象能力和计算能力。‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知公差不为零的等差数列中，，顺次成等比数列。‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设出公差，依据等差数列性质及条件，列出等式，求出公差，即可求出数列的通项公式；（2）根据裂项相消法即可求出数列的前项和。‎ ‎【详解】（1）设等差数列的公差为，由 得，‎ 即，‎ 解得，‎ 因为，所以.‎ 所以 即.‎ ‎（2）‎ 所以，‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列性质、等比数列的定义、以及裂项相消法的应用，意在考查学生的推理能力和计算能力。‎ ‎18.某校共有学生2000人，其中男生1100人，女生900人为了调查该校学生每周平均课外阅读时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均课外阅读时间（单位：小时）‎ ‎（1）应抽查男生与女生各多少人？‎ ‎（2）如图，根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均课外阅读时间的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为 ‎.若在样本数据中有38名女学生平均每周课外阅读时间超过2小时，请完成每周平均课外阅读时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”.‎ 男生 女生 总计 每周平均课外阅读时间不超过2小时 每周平均课外阅读时间超过2小时 总计 附：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）男生人数人，女生人数：人（2）填表详见解析,有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关.”‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由男女生比例以及分层抽样特征，即可求解；（2）由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过2小时 ‎【详解】（1）男生人数：女生人数=1100：900=11：9‎ 所以，男生人数人 女生人数：人.‎ ‎（2）由频率分布直方图可得到学生平均每周课外阅读时间超过2小时的人数为：‎ 人，‎ 所以，平均每周课外阅读时间超过2小时的男生人数为37人.‎ 可得每周课外阅读时间与性别的列联表为 男生 女生 总计 每周平均阅读时间不超过2小时 ‎18‎ ‎7‎ ‎25‎ 每周平均阅读时间超过2小时 ‎37‎ ‎38‎ ‎75‎ 总计 ‎55‎ ‎45‎ ‎100‎ 所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均阅读时间与性别有关.”‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样方法以及独立性检验的基本思想和应用，意在考查学生的计算能力。‎ ‎19.如图，在四棱锥中，平面平面，，点分别为的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面EFD；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据面面平行的判定定理，在面EFD内找两条相交直线平行于平面，即可证出；（2）根据等积法，，先求出三角形DEF的面积，再求出，即可求出点到平面的距离。‎ ‎【详解】（1）由题意知：点是的中点，且，‎ 所以，所以四边形是平行四边形，则.‎ 平面，平面，所以平面.‎ 又因为分别为的中点，所以.‎ 平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎，所以平面平面.‎ ‎（2）中，，，，‎ 所以，所以 因为平面平面，‎ 平面平面 所以平面.‎ 连，取的中点，连，易知，‎ 平面且.‎ 设点P到平面EFD的距离为d.‎ 在Rt△中，‎ 在Rt△中，‎ 在Rt△中，‎ 在Rt△中，‎ ‎△中，，‎ 即，‎ 解得，‎ 所以 所以.‎ 因为平面平面，‎ 平面平面，平面，，所以，平面所以，的长即是点到平面的距离.‎ 在Rt△中，，‎ 所以，，‎ 所以.‎ 所以，‎ 即，‎ 即，解得.‎ 所以，点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理的应用以及利用等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力。‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）若当时，，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义，即可求出切线方程；‎ ‎（2）先将等价变形为，构造函数，通过导数研究其单调性，求出其最小值大于零即可。‎ ‎【详解】（1）的定义域为.‎ 当时，，‎ ‎，，.‎ 曲线在处的切线方程为，‎ 即.‎ ‎（2）当时，等价于.‎ 令，‎ 即，。‎ ‎（i）当时，时，‎ 故，在上单调递增，因此；‎ ‎（ii）当时，令得，‎ 由和得，‎ 故当时，，在单调递减，‎ 因此，不符合题意。‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程，以及利用导数研究函数的单调性解决恒成立问题，解题关键一是如何构造函数，二是函数单调性的讨论，意在考查学生的转化能力和分类讨论思想的应用。‎ ‎21.已知抛物线和动直线.直线交抛物线于两点，抛物线在处的切线的交点为.‎ ‎（1）当时，求以为直径的圆的方程；‎ ‎（2）求面积最小值.‎ ‎【答案】（1）（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线方程和抛物线方程，求出点A、B的坐标，进而可求出，以及线段AB的中点坐标，因此可写出以为直径的圆的方程；（2）先利用导数的几何意义求出 抛物线在处的切线方程，联立可得点N，再利用三角形面积公式，分别求出以及点N到直线AB的距离，即可表示出面积，最后由函数的单调性得出最小值。‎ ‎【详解】设.‎ 联立，消去得，设.‎ 解得 则 设线段的中点坐标为，则，，‎ 则以为直径的圆的方程为.‎ ‎（2）由得.‎ 易得直线，直线 联立 由（1）得 由（2）同理可得.‎ 由，得，‎ 得 联立得，则.‎ 所以，‎ ‎.即 所以 点到直线 的距离.‎ 所以 显然，当时，△的面积最小，最小值为4.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程求法、利用导数的几何意义求切线方程、直线与抛物线的位置关系应用、以及点到直线的距离公式应用，意在考查学生的转化思想和函数思想应用，以及数学运算能力，解题关键是能够用参数表示出点N，进而得到三角形面积的函数关系式。‎ 请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若，求直线以及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的大小消去参数，求得直线的直角坐标方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得曲线的直角坐标方程.（2）方法1：写出直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，根据极坐标系下的弦长公式列方程由此求得直线的斜率.方法2：设出直线的直角坐标方程，联立直线的方程和曲线的直角坐标方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线斜率.‎ ‎【详解】解：（1）由题意，直线，可得直线是过原点直线，‎ 故其直角坐标方程为，‎ 又，由 故；‎ ‎（2）由题意，直线l的极坐标为，‎ 设、对应的极径分别为，‎ 将代入曲线的极坐标可得：‎ ‎，‎ 故，，‎ ‎，‎ 故，则，即，，‎ 所以故直线的斜率是 法二：由题意，直线方程为，设、对应的点坐标为 联立直线与曲线的方程，消去得.‎ 所以，故直线的斜率是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查极坐标方程、参数方程转化为直角坐标方程，考查极坐标系下弦长的计算，考查直角坐标系下弦长的计算公式，属于中档题.‎ ‎23.已知函数 ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若时，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）不等式的解集为R（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用绝对值不等式求得的最小值，结合求得不等式的解集为.将原不等式转化为恒成立，去绝对值符号后根据的取值范围，求得的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）即,‎ 因为,‎ 所以 又，所以所以不等式解集为R.‎ ‎（2）因为，所以 则恒成立等价于恒成立，‎ 即恒成立 由可得，‎ 所以 ‎【点睛】本小题主要考查绝对值三角不等式，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎