北京市第六十六中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

北京市第六十六中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试卷

‎2019北京第六十六中学高二（上）期中数学 一､选择题 ‎1.数列的通项公式为，则（ ）‎ A. 10 B. ‎12 ‎C. 14 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列的通项公式，代入，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，通项公式为，‎ 则 故选：‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项公式，属于基础题.‎ ‎2.椭圆的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的标准方程，求出，可求，即可求解焦点坐标.‎ ‎【详解】由题意，椭圆标准方程是 则，，，‎ 则焦点坐标是 故选：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标，属于基础题.‎ ‎3.已知2，，8成等比数列，则的值为（ ）‎ A. 4 B. C. D. 5‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，三个数成等比数列，满足等比中项公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，‎ ‎2，，8成等比数列，则，解得 故选：‎ ‎【点睛】本题考查等比中项公式，属于基础题.‎ ‎4.已知等差数列，，则等于（ ）‎ A. 6 B. ‎10 ‎C. 12 D. 15‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据等差数列性质，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 等差数列中，，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列性质，属于基础题.‎ ‎5.不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分类讨论解不等式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 当时，解得；当时，则恒成立，‎ 即解集为；‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题 ‎6.已知，那么下列不等式中一定成立的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据a，b的符号和范围，结合不等式的关系进行判断即可．‎ ‎【详解】若，，则，‎ 则，故A不成立；‎ 不一定成立，如a=-5,b=6,故B不成立；‎ ‎∵，，∴,故C不成立，‎ ‎，，则，成立，故D正确，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，根据不等式的关系是解决本题的关键比较基础．‎ ‎7.已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（ ）‎ A. 1 B. C. 1或 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先验证合题意，时，利用等比数列的通项公式与求和公式列方程求解即可.‎ ‎【详解】等比数列中，，前三项之和，‎ 若，，，符合题意；‎ 若，则，‎ 解得，即公比的值为1或，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.‎ ‎8.下面四个条件中，使成立充分而不必要的条件是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由，但无法得出，A满足；由、均无法得出，不满足“充分”；由，不满足“不必要”.‎ 考点：不等式性质、充分必要性.‎ ‎9.已知椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，为坐标原点，则 A. 2 B. 4‎ C. 8 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据椭圆定义，求得的值，连接，可知ON为的中位线，进而求得的值．‎ ‎【详解】由已知及椭圆的定义可得，‎ 由于在中，N，O分别是，的中点，‎ 所以根据中位线定理可得，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义，根据定义将线段进行转化，属于基础题．‎ ‎10.已知函数，若，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得，当为奇数时，当为偶数时，所以，故选B.‎ 考点：数列的递推公式与数列求和.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了数列的递推公式与数列求和问题，考查了考生的数据处理与运算能力，属于中档题.本题解答的关键是根据给出的函数及分别写出为奇数和偶数时数列的通项公式，然后再通过分组求和的方法得到数列前项的和.‎ 二､填空题 ‎11.已知是与的等差中项，则的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差中项的定义，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，是与的等差中项 则，解得 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差中项定义，属于基础题.‎ ‎12.命题“”的否定是____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，写出全称命题的否定形式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，命题“”的否定是 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎13.已知数列的前项和为，且，则______，_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). 8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列前项和公式定义，令，可求，再求，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 则令，；‎ ‎；‎ 故答案为：；8‎ ‎【点睛】本题考查数列前项和公式定义，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎14.当且仅当______时，函数取得最小值为_________.‎ ‎【答案】 (1). (2). 4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式时，等号成立，即时，得出的值.‎ ‎【详解】由于，由基本不等式可得，‎ 当且仅当，即当时，等号成立.‎ 故答案为：；4.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式成立条件，属于基础题.‎ ‎15.__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 故答案为 ‎16.已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若是等边三角形，则这个椭圆的离心率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据是正三角形，且直线AB与椭圆长轴垂直，得到是正三角形的高，在中，设，可得，所以，用勾股定理算出，得到椭圆的长轴及焦距，得到椭圆的离心率．‎ ‎【详解】是正三角形，‎ ‎，‎ 直线AB与椭圆长轴垂直，‎ 是正三角形的高，，‎ 中，设，，‎ ‎，‎ 因此，椭圆的长轴，焦距 椭圆的离心率为．‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了椭圆的离心率的求法，着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质，属于基础题．‎ ‎17.在等差数列中，已知，前项和为，且，当取_____________取，取得最大值是_______________.‎ ‎【答案】 (1). 12或13 (2). 130‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出公差，根据等差数列的前项和公式表示出，配方后，根据二次函数求最大值的方法，即可求出最大时序号的值.‎ 详解】，‎ ‎，‎ 或时，取得最大值130.‎ 故答案为：或；130‎ ‎【点睛】本题考查等差数列前项和公式的二次函数性质，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎18.某校实行选科走班制度，张毅同学的选择是地理､生物､政治这三科，且生物在B层班级，该校周一上午选科走班的课程安排如下表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外一节上自习，则他不同的选课方法有__________种 第一节 第二节 第三节 第四节 地理1班 化学A层3班 地理2班 化学A层4班 生物A层1班 化学B层2班 生物B层2班 历史B层1班 物理A层1班 生物A层3班 物理A层2班 生物A层4班 物理B层2班 生物B层1班 物理B层1班 物理A层4班 政治1班 物理A层3班 政治2班 政治3班 ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分类计数原理即可求出.‎ ‎【详解】由于生物在层，只有第节有，故分两类，‎ 若生物选第节，地理有种选法，其他任意选即可，故有种，‎ 若生物选第节，则地理只能选第一节，政治只能选第节，自习选在第二节，故有种，‎ 根据分类计数原理可得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分类加法计数原理，属于基础题.‎ 三､解答题 ‎19.等差数列中，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若分别是等比数列的第4项和第5项，试求数列的通项公式及前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在等差数列中，由已知求得，代入等差数列的通项公式即可；‎ ‎（2）在等比数列中，分别求得第4项和第5项，进一步求得公比，代入等比数列的通项公式和前项和公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）在等差数列中，由，‎ 得 ‎；‎ ‎（2）在等比数列中，由，‎ 公比，‎ 则.‎ 设等比数列的前项和为，则 ‎【点睛】本题考查（1）等差数列通项公式（2）等比数列通项公式及前项和公式，属于基础题.‎ ‎20.已知椭圆的长轴长为4，左､右顶点分别为.经过点的在直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）.‎ ‎（1）求椭圆方程､离心率及短轴长；‎ ‎（2）当直线轴时，求四边形的面积.‎ ‎【答案】（1）椭圆方程，，短轴长为2（2）4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，长轴长为4，得，求得椭圆方程，再根据离心率和短轴长定义，即可求解.‎ ‎（2）当直线轴时，易得，，且，，所以，，显然此时四边形为菱形，可得面积.‎ ‎【详解】（1）由题意，得，解得，‎ 所以椭圆方程为，‎ ‎，，，‎ 则离心率为，短轴长为.‎ ‎（2）当直线轴时，易得，，‎ 且，，‎ 所以，，‎ 显然此时四边形为菱形，所以四边形的面积为.‎ ‎【点睛】本题考查（1）椭圆的标准方程求法（2）椭圆的对称性求解菱形面积，属于基础题.‎ ‎21.已知数列是公差不为零的等差数列，且，又成等比数列 ‎（I）求数列的通项公式；‎ ‎（II）设为数列的前项和，求使成立的所有的值.‎ ‎【答案】（I）；（II）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）由可得关于的方程，解方程求得，根据等差数列通项公式求得结果；（II）根据等差数列求和公式求得，利用得到关于的方程，解方程求得结果.‎ ‎【详解】（I）成等比数列 ‎ 设等差数列的公差为，则 即：，整理得：‎ ‎ ‎ ‎（II）由题意得：‎ ‎ ‎ 解得：或 ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式、前项和公式的应用，关键是能够根据已知中的等比关系求得等差数列的基本量，从而利用公式求得通项，并得到前项和，考查学生对于基础公式的应用.‎ ‎22.不等式 ‎（1）若不等式的解集为，求的值；‎ ‎（2）若不等式的解集为R，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）由一元二次不等式的解集和其对应一元二次方程的根的关系可得.‎ ‎（2）由二次函数的图像可知，不等式的解集为R当且仅当二次项系数小于0，判别式小于0.‎ 详解：(1)不等式的解集是或 方程的两个根为-3,-2‎ ‎,‎ ‎ ‎ ‎(2):①k=0时，显然不满足题意 ‎②时，解得，综上：‎ 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，已知不等式的解集求参数的值或参数的取值范围，解题时注意讨论，熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．‎ ‎23.在数列中，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求证:数列是等比数列，并求通项.‎ ‎【答案】（1），，（2）证明见解析；通项公式为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在递推公式中依次令，计算求解即可.‎ ‎（2）由已知可得，，当时，，，继而，所以数列是等比数列.‎ ‎【详解】（1）由题意可知：当时，，解得：‎ 同理可得：当时，，解得：‎ 当时，，解得：‎ ‎（2）证明：由已知可得，‎ 当时，，则，‎ 整理得，且首项为 即数列是等比数列，其首项为，公比为.‎ 则通项公式为：‎ ‎【点睛】本题考查（1）数列递推公式求值（2）已知求公式，考查构造法求通项公式，考查计算能力，属于中等题型.‎ ‎24.已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）当与垂直时，求长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，，又，求得，即可得所求椭圆方程.‎ ‎（2）设，可得，解得，可得.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ 因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，‎ 所以，又，所以，‎ 所以椭圆方程为 ‎（2）设，因为与垂直，所以点在以为直径的圆上，‎ 又以为直径的圆的圆心为，半径为，‎ 方程为 则，，（舍）‎ 则 所以 ‎【点睛】本题考查（1）由的求解椭圆方程（2）直线的垂直关系转化为圆上一点问题，考查计算能力，考查函数与方程思想解决问题，属于中等题型.‎