【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）离散型随机变量的均值学案

【数学】2019届一轮复习全国经典版（理）离散型随机变量的均值学案

第9讲　离散型随机变量的均值、方差和正态分布 板块一　知识梳理·自主学习 ‎[必备知识]‎ 考点1　离散型随机变量的均值与方差 ‎1．若离散型随机变量X的分布列为 X x1‎ x2‎ ‎…‎ xi ‎…‎ xn P p1‎ p2‎ ‎…‎ pi ‎…‎ pn ‎(1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．‎ ‎(2)方差 称D(X)＝xi－E(X)]2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差．‎ ‎2．均值与方差的性质 ‎(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.‎ ‎(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)‎ ‎(3)两点分布与二项分布的均值、方差 考点2　正态分布 ‎1．正态曲线的性质 ‎(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；‎ ‎(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；‎ ‎(3)曲线在x＝μ处达到峰值；‎ ‎(4)曲线与x轴之间的面积为1；‎ ‎(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；‎ ‎(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．‎ ‎2．正态分布的三个常用数据 ‎(1)P(μ－σk)＝P(ξ4)＝(　　)‎ A．0.1588 B．0.1587 ‎ C．0.1586 D．0.1585‎ 答案　B 解析　由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P(ξ>4)＝＝0.5－×0.6826＝0.1587.故选B.‎ ‎(2)[2015·山东高考]已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(　　)‎ ‎(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝‎ ‎68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)‎ A．4.56% B．13.59% ‎ C．27.18% D．31.74%‎ 答案　B 解析　由正态分布N(0,32)，可知ξ落在(3,6)内的概率为＝＝13.59%.‎ 触类旁通 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 ‎(1)熟记P(μ－σ2)＝0.15，则P(0≤ξ≤1)＝(　　)‎ A．0.85 B．0.70 ‎ C．0.35 D．0.15‎ 答案　C 解析　P(0≤ξ≤1)＝P(1≤ξ≤2)＝0.5－P(ξ>2)＝0.35.故选C.‎ ‎3．随机变量X的分布列如下：‎ X ‎－1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c 其中a，b，c成等差数列．若E(X)＝，则D(X)的值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　B 解析　a＋b＋c＝1.又∵2b＝a＋c，故b＝，a＋c＝.由E(X)＝，得＝－a＋c，故a＝，c＝.D(X)＝2×＋2×＋2×＝.故选B.‎ ‎4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为(　　)‎ A．5 B．5.25 ‎ C．5.8 D．4.6‎ 答案　B 解析　由题意可知，X可以取3,4,5,6，‎ P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，‎ P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.‎ ‎∴E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×，得E(X)＝5.25.‎ ‎5．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是(　　)‎ A．997 B．954 ‎ C．819 D．683‎ 答案　D 解析　由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5

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