深圳市南山区中考数学二模试卷含答案解析

深圳市南山区中考数学二模试卷含答案解析

‎2016年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷 ‎　‎ 一、选择题：本题有12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.‎ ‎1．﹣5的倒数是（　　）‎ A． B． C．﹣5D．5‎ ‎2．人工智能AlphaGo因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫．它具有自我对弈学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个人近千年的训练量）．此处“两千万”用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.2×107B．2×107C．0.2×108D．2×108‎ ‎3．方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根D．有两个不相等的实数根 ‎4．如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列等式成立的是（　　）‎ A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4B．2a2﹣3a=﹣aC．a6÷a3=a2D．（a2）3=a6‎ ‎6．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（　　）‎ A．48°B．42°C．38°D．21°‎ ‎8．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．m＜2‎ ‎9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）‎ A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3‎ ‎10．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为（　　）‎ A．米B．米C．米D．米 ‎11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（　　）‎ A．15°B．20°C．25°D．30°‎ ‎12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠BAC，则点B到AD的距离是（　　）‎ A．3B．4C．2D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题分，共12分，把答案填在答题卡上 ‎13．某校在进行“阳光体育活动”中，统计了7位原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低了5，9，3，10，6，8，5（单位：kg），则这组数据的中位数是　　　　　　．‎ ‎14．分解因式：2x2y﹣8y=　　　　　　．‎ ‎15．在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2，则第六组的频数是　　　　　　．‎ ‎16．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为　　　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题(本大题有七题，其中第17题6分、第18题6分、第19题7分、第20题8分、第21题8分、第22题8分、第23题9分，共52分）解答应写出文字说明或演算步骤.‎ ‎17．计算：﹣2﹣1+（﹣π）0﹣|﹣2|﹣2cos30°．‎ ‎18．解不等式组并求它的整数解．‎ ‎19．为贯彻政府报告中“大众创业、万众创新”的精神，某镇对辖区内所有的小微企业按年利润w（万元）的多少分为以下四个类型：A类（w＜10），B类（10≤w＜20），C类（20≤w＜30），D类（w≥30），该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）该镇本次统计的小微企业总个数是　　　　　　，扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为　　　　　　度，请补全条形统计图；‎ ‎（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派一名代表参会．计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参会代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区．请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率．‎ ‎20．【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC=　　　　　　．‎ ‎【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．‎ ‎（1）求证：ED=FC．‎ ‎（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．‎ ‎21．某中学在百货商场购进了A、B两种品牌的篮球，购买A品牌蓝球花费了2400元，购买B品牌蓝球花费了1950元，且购买A品牌蓝球数量是购买B品牌蓝球数量的2倍，已知购买一个B品牌蓝球比购买一个A品牌蓝球多花50元．‎ ‎（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的蓝球各需多少元？‎ ‎（2）该学校决定再次购进A、B两种品牌蓝球共30个，恰逢百货商场对两种品牌蓝球的售价进行调整，A品牌蓝球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌蓝球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌蓝球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌蓝球？‎ ‎22．如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若，AB=6，求sin∠ABD的值．‎ ‎23．如图，平面直角坐标系中，O为菱形ABCD的对称中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N为线段CD上一点（不与C、D重合）．‎ ‎（1）求以C为顶点，且经过点D的抛物线解析式；‎ ‎（2）设N关于BD的对称点为N1，N关于BC的对称点为N2，求证：△N1BN2∽△ABC；‎ ‎（3）求（2）中N1N2的最小值；‎ ‎（4）过点N作y轴的平行线交（1）中的抛物线于点P，点Q为直线AB上的一个动点，且∠PQA=∠BAC，求当PQ最小时点Q坐标．‎ ‎　‎ ‎2016年广东省深圳市南山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题有12小题，每题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上.‎ ‎1．﹣5的倒数是（　　）‎ A． B． C．﹣5D．5‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】根据倒数的定义进行解答即可．‎ ‎【解答】解：∵（﹣5）×（﹣）=1，‎ ‎∴﹣5的倒数是﹣．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．人工智能AlphaGo因在人机大战中大胜韩国围棋手李世石九段而声名显赫．它具有自我对弈学习能力，决战前已做了两千万局的训练（等同于一个人近千年的训练量）．此处“两千万”用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.2×107B．2×107C．0.2×108D．2×108‎ ‎【考点】科学记数法—表示较大的数．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将“两千万”用科学记数法表示为：2×107，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（　　）‎ A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根D．有两个不相等的实数根 ‎【考点】根的判别式．‎ ‎【分析】先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．‎ ‎【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=4，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=16﹣16=0，‎ ‎∴一元二次方程有两个相等的实数根．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图是由七个相同的小正方体堆砌而成的几何体，则这个几何体的俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ ‎【解答】解：从上面看易得左边第一列有2个正方形，中间第二列最有2个正方形，最右边一列有1个正方形在右上角处．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．下列等式成立的是（　　）‎ A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4B．2a2﹣3a=﹣aC．a6÷a3=a2D．（a2）3=a6‎ ‎【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．‎ ‎【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果，即可作出判断；‎ B、原式不能合并，错误；‎ C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；‎ D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、原式=a2﹣16，不成立；‎ B、原式不能合并，不成立；‎ C、原式=a3，不成立；‎ D、原式=a6，成立．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎6．如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC，则下列选项正确的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】作图—复杂作图．‎ ‎【分析】由PB+PC=BC和PA+PC=BC易得PA=PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．‎ ‎【解答】解：∵PB+PC=BC，‎ 而PA+PC=BC，‎ ‎∴PA=PB，‎ ‎∴点P在AB的垂直平分线上，‎ 即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．如图，l1∥l2，l3⊥l4，∠1=42°，那么∠2的度数为（　　）‎ A．48°B．42°C．38°D．21°‎ ‎【考点】直角三角形的性质；平行线的性质．‎ ‎【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠3，再根据直角三角形两锐角互余即可求出∠2．‎ ‎【解答】解：如图，∵l1∥l2，∠1=42°，‎ ‎∴∠3=∠1=42°，‎ ‎∵l3⊥l4，‎ ‎∴∠2=90°﹣∠3=48°．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎8．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（　　）‎ A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．m＜2‎ ‎【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．‎ ‎【分析】根据题意可得x＞0，将x化成关于m的一元一次方程，然后根据x的取值范围即可求出m的取值范围．‎ ‎【解答】解：由mx﹣1=2x，‎ 移项、合并，得（m﹣2）x=1，‎ ‎∴x=．‎ ‎∵方程mx﹣1=2x的解为正实数，‎ ‎∴＞0，‎ 解得m＞2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．如图，已知二次函数y1=x2﹣x的图象与正比例函数y2=x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　）‎ A．0＜x＜2B．0＜x＜3C．2＜x＜3D．x＜0或x＞3‎ ‎【考点】二次函数与不等式（组）．‎ ‎【分析】直接利用已知函数图象得出y1在y2下方时，x的取值范围即可．‎ ‎【解答】解：如图所示：若y1＜y2，则二次函数图象在一次函数图象的下面，‎ 此时x的取值范围是：0＜x＜3．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为（　　）‎ A．米B．米C．米D．米 ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．‎ ‎【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．‎ ‎【解答】解：设直线AB与CD的交点为点O．‎ ‎∴．‎ ‎∴AB=．‎ ‎∵∠ACD=60°．‎ ‎∴∠BDO=60°．‎ 在Rt△BDO中，tan60°=．‎ ‎∵CD=1．‎ ‎∴AB=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为（　　）‎ A．15°B．20°C．25°D．30°‎ ‎【考点】旋转的性质．‎ ‎【分析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC，得出∠D=∠B=40°，AE=AC，证出△ACE是等边三角形，得出∠ACE=∠E=60°，由三角形内角和定理求出∠DAE的度数，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，‎ ‎∴∠D=∠B=40°，AE=AC，‎ ‎∵∠CAE=60°，‎ ‎∴△ACE是等边三角形，‎ ‎∴∠ACE=∠E=60°，‎ ‎∴∠DAE=180°﹣∠E﹣∠D=80DU ‎===80°，‎ ‎∴∠DAC=∠DAE﹣∠CAE=80°﹣60°=20°；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠BAC，则点B到AD的距离是（　　）‎ A．3B．4C．2D．‎ ‎【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质．‎ ‎【分析】过点D作DE⊥AB交AB于E，设CD=x，则BD=8﹣x，根据角平分线的性质得到，求得CD=3，求得S△ABD=AB•DE=3=15，由勾股定理得到AD==3，根据三角形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB于E，‎ 设CD=x，则BD=8﹣x，‎ ‎∵AD平分∠BAC，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴x=3，‎ ‎∴CD=3，‎ ‎∴S△ABD=AB•DE=3=15，‎ ‎∵AD==3，‎ 设BD到AD的距离是h，‎ ‎∴S△ABD=AD•h，‎ ‎∴h=2．‎ 故选C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题分，共12分，把答案填在答题卡上 ‎13．某校在进行“阳光体育活动”中，统计了7位原来偏胖的学生的情况，他们的体重分别降低了5，9，3，10，6，8，5（单位：kg），则这组数据的中位数是　6　．‎ ‎【考点】中位数．‎ ‎【分析】求中位数可将一组数据从小到大依次排列，中间数据（或中间两数据的平均数）即为所求．‎ ‎【解答】解：数据按从小到大排列后为3，5，5，6，8，9，10，‎ 故这组数据的中位数是6．‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．分解因式：2x2y﹣8y=　2y（x+2）（x﹣2）　．‎ ‎【考点】提公因式法与公式法的综合运用．‎ ‎【分析】先提取公因式2y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．‎ ‎【解答】解：2x2y﹣8y，‎ ‎=2y（x2﹣4），‎ ‎=2y（x+2）（x﹣2）．‎ 故答案为：2y（x+2）（x﹣2）．‎ ‎　‎ ‎15．在一次数学测试中，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2，则第六组的频数是　5　．‎ ‎【考点】频数与频率．‎ ‎【分析】一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数．‎ ‎【解答】解：∵一个容量为50的样本，‎ 把它分成6组，‎ 第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，‎ 第五组的频率是0.2，则第五组的频数是0.2×50=10，‎ ‎∴第六组的频数是50﹣6﹣8﹣9﹣10﹣12=5．‎ 故答案为：5．‎ ‎　‎ ‎16．已知点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则tanB为　frac{1}{2}　．‎ ‎【考点】反比例函数综合题．‎ ‎【分析】过A作AC垂直于y轴，过B作BD垂直于y轴，利用垂直的定义可得出一对直角相等，再由OA与OB垂直，利用平角的定义得到一对角互余，在直角三角形AOC中，两锐角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对对应角相等的三角形相似得到三角形AOC与三角形OBD相似，利用反比例函数k的几何意义求出两三角形的面积，得出面积比，利用面积比等于相似比的平方求出相似比，即为OA与OB的比值，在直角三角形AOB中，利用锐角三角函数定义即可求出tan∠ABO的值．‎ ‎【解答】解：过A作AC⊥y轴，过B作BD⊥y轴，可得∠ACO=∠BDO=90°，‎ ‎∴∠AOC+∠OAC=90°，‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴∠AOC+∠BOD=90°，‎ ‎∴∠OAC=∠BOD，‎ ‎∴△AOC∽△OBD，‎ ‎∵点A、B分别在反比例函数y=（x＞0），y=﹣（x＞0）的图象上，‎ ‎∴S△AOC=1，S△OBD=4，‎ ‎∴S△AOC：S△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，‎ 则在Rt△AOB中，tan∠ABO=．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ 三、解答题(本大题有七题，其中第17题6分、第18题6分、第19题7分、第20题8分、第21题8分、第22题8分、第23题9分，共52分）解答应写出文字说明或演算步骤.‎ ‎17．计算：﹣2﹣1+（﹣π）0﹣|﹣2|﹣2cos30°．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．‎ ‎【分析】分别根据0指数幂及负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式=﹣+1﹣（2﹣）﹣2×‎ ‎=﹣+1﹣2+﹣‎ ‎=﹣．‎ ‎　‎ ‎18．解不等式组并求它的整数解．‎ ‎【考点】一元一次不等式组的整数解；解一元一次不等式组．‎ ‎【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，确定出整数解即可．‎ ‎【解答】解：，‎ 由①得：x＜8，‎ 由②得：x≥6，‎ ‎∴不等式组的解集为6≤x＜8，‎ 则不等式组的整数解为6，7．‎ ‎　‎ ‎19．为贯彻政府报告中“大众创业、万众创新”的精神，某镇对辖区内所有的小微企业按年利润w（万元）的多少分为以下四个类型：A类（w＜10），B类（10≤w＜20），C类（20≤w＜30），D类（w≥30），该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：‎ ‎（1）该镇本次统计的小微企业总个数是　25个　，扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数为　72　度，请补全条形统计图；‎ ‎（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派一名代表参会．计划从D类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D类企业的4个参会代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区．请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．‎ ‎【分析】（1）用D类小企业的数量除以它所占的百分比即可得到调查的总数，再用B类所占的百分比乘以360度得到B类所对应扇形圆心角的度数，然后计算A类小企业的数量，再补全条形统计图；‎ ‎（2）2个来自高新区的企业用A、B表示，2个来自开发区的企业用a、b表示，利用树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出所抽取的2个发言代表都来自高新区的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：（1）该镇本次统计的小微企业总个数为4÷16%=25（个）；‎ 扇形统计图中B类所对应扇形圆心角的度数=×360°=72°‎ A类小微企业个数为25﹣5﹣14﹣=2（个），‎ ‎ 补全条形统计图为：‎ 故答案为25个，72；‎ ‎（2）2个来自高新区的企业用A、B表示，2个来自开发区的企业用a、b表示，‎ 画树状图为：‎ 共有12种等可能的结果数，其中所抽取的2个发言代表都来自高新区的结果数为2，‎ 所以所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率==．‎ ‎　‎ ‎20．【阅读发现】如图①，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M，则图中△ADE≌△DFC，可知ED=FC，求得∠DMC=　90°　．‎ ‎【拓展应用】如图②，在矩形ABCD（AB＞BC）的外侧，作两个等边三角形ABE和ADF，连结ED与FC交于点M．‎ ‎（1）求证：ED=FC．‎ ‎（2）若∠ADE=20°，求∠DMC的度数．‎ ‎【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．‎ ‎【分析】阅读发现：只要证明∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，即可证明．‎ 拓展应用：（1）欲证明ED=FC，只要证明△ADE≌△DFC即可．‎ ‎（2）根据∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC即可计算．‎ ‎【解答】解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD=AB=CD，∠ADC=90°，‎ ‎∵△ADE≌△DFC，‎ ‎∴DF=CD=AE=AD，‎ ‎∵∠FDC=60°+90°=150°，‎ ‎∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°，‎ ‎∴∠FDE=60°+15°=75°，‎ ‎∴∠MFD+∠FDM=90°，‎ ‎∴∠FMD=90°，‎ 故答案为90°‎ ‎（1）∵△ABE为等边三角形，‎ ‎∴∠EAB=60°，EA=AB．‎ ‎∵△ADF为等边三角形，‎ ‎∴∠FDA=60°，AD=FD．‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴∠BAD=∠ADC=90°，DC=AB．‎ ‎∴EA=DC．‎ ‎∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°，∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°，‎ ‎∴∠EAD=∠CDF．‎ 在△EAD和△CDF中，‎ ‎，‎ ‎∴△EAD≌△CDF．‎ ‎∴ED=FC；‎ ‎（2）∵△EAD≌△CDF，‎ ‎∴∠ADE=∠DFC=20°，‎ ‎∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°．‎ ‎　‎ ‎21．某中学在百货商场购进了A、B两种品牌的篮球，购买A品牌蓝球花费了2400元，购买B品牌蓝球花费了1950元，且购买A品牌蓝球数量是购买B品牌蓝球数量的2倍，已知购买一个B品牌蓝球比购买一个A品牌蓝球多花50元．‎ ‎（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的蓝球各需多少元？‎ ‎（2）该学校决定再次购进A、B两种品牌蓝球共30个，恰逢百货商场对两种品牌蓝球的售价进行调整，A品牌蓝球售价比第一次购买时提高了10%，B品牌蓝球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌蓝球的总费用不超过3200元，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌蓝球？‎ ‎【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．‎ ‎【分析】（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+50）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；‎ ‎（2）设此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（30﹣a）个，根据购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3200元，列出不等式解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）设购买一个A品牌的篮球需x元，则购买一个B品牌的篮球需（x+50）元，由题意得 ‎=×2，‎ 解得：x=80，‎ 经检验x=80是原方程的解，‎ x+50=130．‎ 答：购买一个A品牌的篮球需80元，购买一个B品牌的篮球需130元．‎ ‎（2）设此次可购买a个B品牌篮球，则购进A品牌篮球（30﹣a）个，由题意得 ‎80×（1+10%）（30﹣a）+130×0.9a≤3200，‎ 解得a≤19，‎ ‎∵a是整数，‎ ‎∴a最大等于19，‎ 答：该学校此次最多可购买19个B品牌蓝球．‎ ‎　‎ ‎22．如图，⊙O中，点A为中点，BD为直径，过A作AP∥BC交DB的延长线于点P．‎ ‎（1）求证：PA是⊙O的切线；‎ ‎（2）若，AB=6，求sin∠ABD的值．‎ ‎【考点】切线的判定．‎ ‎【分析】（1）根据垂径定理得出AO⊥BC，进而根据平行线的性质得出AP⊥AO，即可证得结论；‎ ‎（2）根据垂径定理得出BE=2，在RT△ABE中，利用锐角三角函数关系得出sin∠BAO=，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠BAO，即可求得求sin∠ABD=sin∠BAO=．‎ ‎【解答】（1）证明：连结AO，交BC于点E．‎ ‎∵点A是的中点 ‎∴AO⊥BC，‎ 又∵AP∥BC，‎ ‎∴AP⊥AO，‎ ‎∴AP是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵AO⊥BC，，‎ ‎∴，‎ 又∵AB=6‎ ‎∴，‎ ‎∵OA=OB ‎∴∠ABD=∠BAO，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎23．如图，平面直角坐标系中，O为菱形ABCD的对称中心，已知C（2，0），D（0，﹣1），N为线段CD上一点（不与C、D重合）．‎ ‎（1）求以C为顶点，且经过点D的抛物线解析式；‎ ‎（2）设N关于BD的对称点为N1，N关于BC的对称点为N2，求证：△N1BN2∽△ABC；‎ ‎（3）求（2）中N1N2的最小值；‎ ‎（4）过点N作y轴的平行线交（1）中的抛物线于点P，点Q为直线AB上的一个动点，且∠PQA=∠BAC，求当PQ最小时点Q坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）用待定系数法求，即可；‎ ‎（2）由对称的特点得出∠N1BN2=2∠DBC结合菱形的性质即可；‎ ‎（3）先判定出，当BN⊥CD时，BN最短，再利用△ABC∽△N1BN2得到比例式，求解，即可；‎ ‎（4）先建立PE=m2﹣m+2函数解析式，根据抛物线的特点确定出最小值．‎ ‎【解答】解：（1）由已知，设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2‎ 把D（0，﹣1）代入，得a=﹣‎ ‎∴y=﹣（x﹣2）2‎ ‎（2）如图1，连结BN．‎ ‎∵N1，N2是N的对称点 ‎∴BN1=BN2=BN，∠N1BD=∠NBD，∠NBC=∠N2BC ‎∴∠N1BN2=2∠DBC ‎∵四边形ABCD是菱形 ‎∴AB=BC，∠ABC=2∠DBC ‎∴∠ABC=∠N1BN2，‎ ‎∴△ABC∽△N1BN2‎ ‎（3）∵点N是CD上的动点，‎ ‎∴点到直线的距离，垂线段最短，‎ ‎∴当BN⊥CD时，BN最短．‎ ‎∵C（2，0），D（0，﹣1）‎ ‎∴CD=，‎ ‎∴BNmin==，‎ ‎∴BN1min=BNmin=，‎ ‎∵△ABC∽△N1BN2‎ ‎∴，‎ N1N2min=，‎ ‎（4）如图2，‎ 过点P作PE⊥x轴，交AB于点E．‎ ‎∵∠PQA=∠BAC ‎∴PQ1∥AC ‎∵菱形ABCD中，C（2，0），D（0，﹣1）‎ ‎∴A（﹣2，0），B（0，1）‎ ‎∴lAB：Y=x+1‎ 不妨设P（m，﹣（m﹣2）2），则E（m， m+1）‎ ‎∴PE=m2﹣m+2‎ ‎∴当m=1时，‎ 此时，PQ1最小，最小值为=，‎ ‎∴PQ1=PQ2=．‎ ‎　‎ ‎2016年7月13日