2021届新高考版高考数学一轮复习精练：§3-2 函数的基本性质（试题部分）
§3.2 函数的基本性质
基础篇固本夯基
【基础集训】
考点一 函数的单调性及最值
1.下列说法中正确的个数是( )
①若对任意x1,x2∈I,当x1
0,则y=f(x)在I上是增函数;
②函数y=x2在R上是增函数;
③函数y=-1x在定义域上是增函数;
④函数y=1x的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
2.下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是( )
A.y=1x-2 B.y=log12(2-x)
C.y=12x-2 D.y=2-x
答案 B
3.函数y=log12(-x2+x+6)的单调增区间为( )
A.12,3 B.-2,12
C.(-2,3) D.12,+∞
答案 A
4.已知函数f(x)为R上的增函数,若f(a2-a)>f(a+3),则实数a的取值范围为 .
答案 (-∞,-1)∪(3,+∞)
考点二 函数的奇偶性
5.函数f(x)=x|x|+px,x∈R,则f(x)( )
A.是偶函数 B.是奇函数
C.既不是奇函数又不是偶函数 D.奇偶性与p有关
答案 B
6.设f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=3x-7x+2b(b为常数),则f(-2)=( )
A.6 B.-6 C.4 D.-4
答案 A
7.已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(1)=0,若f(x-1)>0,则x的取值范围为( )
A.{x|02} B.{x|x<0或x>2}
C.{x|x<0或x>3} D.{x|x<-1或x>1}
答案 A
考点三 函数的周期性
8.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,并且满足f(x+2)=-1f(x),当2≤x≤3时, f(x)=x,则f(105.5)=( )
A.-2.5 B.2.5 C.5.5 D.-5.5
答案 B
9.奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)为偶函数,且f(-1)=-1,则f(2 018)+f(2 019)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
答案 B
10.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数,当x∈[0,1]时, f(x)=log2(x+1),则函数f(x)在[1,2]上的解析式是 .
答案 f(x)=log2(3-x)
综合篇知能转换
【综合集训】
考法一 判断函数单调性的方法
1.已知函数f(x)满足:①对任意x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>0;②对定义域内的任意x,都有f(x)=f(-x),则符合上述条件的函数是( )
A.f(x)=x2+|x|+1 B.f(x)=1x-x
C.f(x)=ln|x+1| D.f(x)=cos x
答案 A
2.已知函数f(x)=loga(-x2-2x+3)(a>0且a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递增区间是( )
A.(-∞,-1] B.[-1,+∞) C.[-1,1) D.(-3,-1]
答案 C
考法二 函数单调性的应用
3.(2018辽宁部分重点中学协作体模拟,10)已知函数f(x)=ex+e-xex-e-x,若a=f-12,b=f(ln 2),c=fln13,则有( )
A.c>b>a B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
答案 D
4.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x-1)1时,为使函数f(x)=loga(ax2-a)在闭区间[2,4]上是增函数,只需g(x)=ax2-x在[2,4]上是增函数,故应满足x=12a≤2,g(2)=4a-2>0,解得a>12.又a>1,∴a>1.
当00,无解.综上可知,当a∈(1,+∞)时, f(x)=loga(ax2-x)在[2,4]上为增函数.
考法三 函数奇偶性的判断及应用
6.(2018湖北荆州一模,3)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )
A.y=ex B.y=tan x C.y=x3-x D.y=ln2+x2-x
答案 D
7.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=( )
A.-3 B.-1 C.1 D.3
答案 C
8.已知f(x)=4-x2,g(x)=|x-2|,则下列结论正确的是( )
A.h(x)=f(x)+g(x)是偶函数
B.h(x)=f(x)·g(x)是奇函数
C.h(x)=g(x)·f(x)2-x是偶函数
D.h(x)=f(x)2-g(x)是奇函数
答案 D
9.(2018广东惠州第一次调研考试,10)已知定义域为R的偶函数f(x)在(-∞,0]上是减函数,且f(1)=2,则不等式f(log2x)>2的解集为( )
A.(2,+∞) B.0,12∪(2,+∞)
C.0,22∪(2,+∞) D.(2,+∞)
答案 B
考法四 函数周期性的确定及应用
10.定义在R上的奇函数f(x)满足: f(x+1)=f(x-1),且当-10;
②f(x+4)=-f(x);
③y=f(x+4)是偶函数;
若a=f(6),b=f(11),c=f(2 017),则a,b,c的大小关系正确的是( )
A.af(2-32)>f(2-23)
B. f log314>f(2-23)>f(2-32)
C. f(2-32)>f(2-23)>f log314
D. f(2-23)>f(2-32)>f log314
答案 C
2.(2017课标Ⅰ,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是( )
A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]
答案 D
3.(2017北京,5,5分)已知函数f(x)=3x-13x,则f(x)( )
A.是奇函数,且在R上是增函数
B.是偶函数,且在R上是增函数
C.是奇函数,且在R上是减函数
D.是偶函数,且在R上是减函数
答案 A
4.(2019北京,13,5分)设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a= ;若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是 .
答案 -1;(-∞,0]
5.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是 .
答案 12,32
考点二 函数的奇偶性
6.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+a+x2)为偶函数,则a= .
答案 1
考点三 函数的周期性
7.(2018课标Ⅱ,11,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= ( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
答案 C
8.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x3-1;当-1≤x≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, fx+12=fx-12.则f(6)=( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
答案 D
9.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当00,则x的取值范围是 .
答案 (-1,3)
考点二 函数的奇偶性
4.(2014课标Ⅰ,3,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是( )
A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数
C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数
答案 C
5.(2014湖北,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=12(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为( )
A.-16,16 B.-66,66
C.-13,13 D.-33,33
答案 B
6.(2013山东,3,5分)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x)=x2+1x,则f(-1)=( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
答案 A
7.(2011课标,9,5分)设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时, f(x)=2x(1-x),则f-52=( )
A.-12 B.-14 C.14 D.12
答案 A
考点三 函数的周期性
8.(2014安徽,6,5分)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时, f(x)=0,则f23π6=( )
A.12 B.32 C.0 D.-12
答案 A
【三年模拟】
一、单项选择题(每题5分,共55分)
1.(2019届山东单县五中9月月考,8)若函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2+1)>f(-m+1),则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(-1,0) D.(-∞,-1)∪(0,+∞)
答案 D
2.(2019福建三明模拟,7)已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x≥0(a>0且a≠1)在R上单调递减,则a的取值范围是( )
A.34,1 B.0,34
C.13,34 D.0,13
答案 C
3.(2020届四川绵阳南山中学9月月考,6)已知函数f(x)、g(x)分别是定义在实数集R上的奇函数和偶函数且满足f(x)-g(x)=ex,则有( )
A.f(2)f(a)>f(c) B.f(b)>f(c)>f(a)
C.f(a)>f(b)>f(c) D.f(a)>f(c)>f(b)
答案 A
6.(2020届山西平遥中学第一次月考,6)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x), f(x+1)=f(1-x),且当x∈[0,1]时, f(x)=log2(x+1),则f(31)=( )
A.0 B.1 C.-1 D.3
答案 C
7.(2018广东佛山一模,7)已知f(x)=2x+a2x为奇函数,g(x)=bx-log2(4x+1)为偶函数,则f(ab)=( )
A.174 B.52 C.-154 D.-32
答案 D
8.(2020届吉林白城通榆一中第一次月考,6)函数y=2--x2+4x的值域是( )
A.[-2,2] B.[1,2] C.[0,2] D.[-2,2]
答案 C
9.(2018河南洛阳第一次统考,3)若函数同时满足下列两个条件,则称该函数为“优美函数”:
(1)∀x∈R,都有f(-x)+f(x)=0;
(2)∀x1,x2∈R,且x1≠x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2<0.
①f(x)=sin x;②f(x)=-2x3;③f(x)=1-x;④f(x)=ln(x2+1+x),以上四个函数中,“优美函数”的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
10.(2019山西长治二模,7)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3≤x<-1时, f(x)=-(x+2)2,当-1≤x<3时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 019)=( )
A.336 B.337 C.338 D.339
答案 C
11.(2019福建厦门模拟,7)已知函数f(x)=ln1+x1-x+x,且f(a)+f(a+1)>0,则a的取值范围为( )
A.-1,-12 B.-12,0
C.-12,1 D.-12,+∞
答案 B
二、多项选择题(每题5分,共20分)
12.(改编题)已知定义域为R的函数f(x)在(2,+∞)上为增函数,且函数y=f(x+2)为偶函数,则下列结论成立的是( )
A.f(0)>f(1) B.f(0)>f(2) C.f(1)>f(3) D.f(1)>f(2)
答案 ABD
13.(2020届山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( )
A. f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数
C. f(x+3)为奇函数 D. f(x+4)为偶函数
答案 ABC
14.(改编题)已知f(x)=x2-4x+3,x≤0,-x2-2x+3,x>0,不等式f(x+a)>f(2a-x)在[a,a+1]上恒成立,则( )
A.f(x)在R上单调递减 B.a<-2
C.a≤-2 D.f(x)无最大,最小值
答案 ABD
15.(改编题)已知f(x)是定义在R的偶函数,且f(x+4)=f(x-2),若x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,则( )
A.f(x)是周期为6的周期函数
B.f(919)=6
C.f(x)是周期为8的周期函数
D.f(1)=16
答案 AB
三、填空题(每题5分,共15分)
16.(2020届河南南阳一中第一次月考,13)函数f(x)=x2-x+1的最小值为 .
答案 -1
17.(2019天津和平期末,13)已知函数f(x)=4-x2|x+3|-3,若f(a)=-4,则f(-a)的值为 .
答案 4
18.(2019届北京师范大学附中期中,14)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=x2-2ax+a,其中a∈R.
①f-12= ;
②若f(x)的值域是R,则a的取值范围是 .
答案 ①-14 ②(-∞,0]∪[1,+∞)
四、解答题(共15分)
19.(原创题)给出关于函数f(x)的一些限制条件: ①在(0,+∞)上单调递减;②在(-∞,0)上单调递增;③是奇函数; ④是偶函数;⑤f(0)=0.在这些条件中,选择必需的条件,补充在下面问题中,并解决这个问题.
定义在R上的函数f(x), (填写你选定条件的序号),且f(-1)=0. 求不等式f(x-1)>0的解集.
解析 由题意易知条件①和②只能选择一个,否则可能产生矛盾;条件③和④最好也只选择一个,否则f(x)变成恒等于0的常数函数,失去研究价值.
如果选择条件①、③. 由f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,且f(x)的图象在坐标原点两侧的单调性一致. 且f(1)=-f(-1)=0, 又f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以,当00,当x≥1或-1≤x≤0时,f(x)≤0;易知f(x-1)>0⇔00的解集为x∈(-∞,0)∪(1,2).
如果选择条件①、④、⑤. 因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,且f(x)是偶函数,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,注意到f(-1)=0,所以f(x-1)>0⇔f(x-1)>f(-1)⇔f(|x-1|)>f(|-1|)⇔|x-1|<1⇔00的解集为x∈(0,1)∪(1,2).
选择其他条件组合的解法类似.
如果同时选择条件③、④. 易知f(x)=0恒成立,不等式f(x-1)>0的解集为空集.
命制说明 开放式问题,选择并不唯一,让学生综合运用自己所学知识去探究、发现,合理选择,淘汰不必要的条件,构建一个方便解决的问题.条件③,④中,二选一是常规的(本题不能不选,否则f(1)的值不能确定),①,②也一样,但条件⑤不同,并不是多余条件.选择的条件不同,问题的难度有变化,如选择奇函数,则只需两个条件,但解答相对复杂一点;选择偶函数,则需要选择条件⑤,而解答却更简单.可以考查学生对数学元素的敏感性.
20.(2020届山西太原五中9月阶段性检测(理),17)定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23,且对任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求证: f(x)为奇函数;
(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立,求实数k的取值范围.
解析 (1)证明:在f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)中,
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.
令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,
则有0=f(x)+f(-x).
则f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,
所以f(x)是奇函数.
(2)f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),
又f(x)在R上是单调函数,
所以f(x)在R上是增函数,又由(1)知f(x)是奇函数,
所以f(k·3x)<-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2),
所以k·3x<-3x+9x+2,即32x-(1+k)·3x+2>0对任意x∈R恒成立.
令t=3x,则t>0,等价于t2-(1+k)t+2>0,
令f(t)=t2-(1+k)t+2,其图象的对称轴为直线x=1+k2.
对任意t>0, f(t)>0恒成立.
当1+k2<0,即k<-1时, f(0)=2>0,符合题意;
当1+k2≥0,即k≥-1时,对任意t>0, f(t)>0恒成立满足(1+k)2-4×2<0,解得-1≤k<-1+22.
综上所述,当k<-1+22时, f(k·3x)+f(3x-9x-2)<0对任意x∈R恒成立.
