【数学】2018届一轮复习人教A版 双曲线 教案
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．
2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．
3．理解数形结合的思想．
知识点一 双曲线的定义
平面内动点P与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离____________为常数2a(2a<2c)，则点P的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．
答案
之差的绝对值
1．判断正误
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线．( )
(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( )
答案：(1)× (2)×
2．设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
解析：由题意知|PF1|＝9
0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a，y≥a
对称性
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
对称轴：坐标轴
对称中心：原点
顶点
顶点坐标：
A1(－a,0)，A2(a,0)
顶点坐标：
A1______，A2______
渐近线
y＝±x
__________
离心率
e＝，e∈______，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2
|＝____；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c
的关系
c2＝______(c>a>0，c>b>0)
2.等轴双曲线
______和______等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为______，离心率为______．
答案
1．(0，－a) (0，a) y＝±x (1，＋∞) 2a a2＋b2
2．实轴 虚轴 y＝±x e＝
3．双曲线方程：＋＝1，那么k的范围是( )
A．k>5
B．25
解析：由题意知，(|k|－2)(5－k)<0，解得－25.
答案：D
4．(2016·新课标全国卷Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B．
C. D．2
解析：设F1(－c,0)，将x＝－c代入双曲线方程，得－＝1，所以＝－1＝，所以y＝±.因为sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝＝＝＝－＝－＝，所以e2－e－1＝0，所以e＝.故选A.
答案：A
5．(选修1－1P53练习第3题改编)以椭圆＋＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为__________．
解析：设要求的双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，由椭圆＋＝1，得焦点为(±1,0)，顶点为(±2,0)．所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以双曲线标准方程为x2－＝1.
答案：x2－＝1
热点一 双曲线的定义及应用
【例1】 已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1,4)，P在双曲线右支上运动，则|PF|＋|PA|的最小值为______．
【解析】 如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
【答案】 9
【总结反思】
双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.
(1)已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A. B.
C. D.
(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线
C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：(1)由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义，|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，
|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2
＝＝.
(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5，0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，
则||PF1|－|PF2||＝8<10＝|F1F2|.
由双曲线的定义知曲线C2为双曲线且a＝4，b＝3.
故曲线C2的标准方程为－＝1.
答案：(1)C (2)A
热点二 双曲线的标准方程
【例2】 (2016·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D．－＝1
【解析】 由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
【答案】 A
【总结反思】
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值.
(1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与圆x2＋y2－10x＝0的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________．
解析：(1)由题意知圆心坐标为(5,0)，即c＝5，又e＝＝，所以a
2＝5，b2＝20，所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2)法1：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
法2：∵渐近线y＝x过点(4,2)，而<2，∴点(4，)在渐近线y＝x的下方，在y＝－x的上方(如图)．∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由已知条件可得解得∴双曲线的标准方程为－y2＝1.
答案：(1)A (2)－y2＝1
热点三 双曲线的几何性质
考向1 求双曲线的离心率
【例3】 (2016·山东卷)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)．若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
【解析】
如图，由题意不妨设|AB|＝3，则|BC|＝2.设AB，CD的中点分别为M，N，则在Rt△BMN中，|MN|＝2c＝2，故|BN|＝＝＝.由双曲线的定义可得2a＝|BN|－|BM|＝－＝1，而2c＝|MN|＝2.所以双曲线的离心率e＝＝2.
【答案】 2
考向2 求双曲线的渐近线
【例4】 已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A.x±y＝0 B．x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
【解析】 由题意，不妨设|PF1|>|PF2|，则根据双曲线的定义得，|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝6a，解得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.在△PF1F2中，|F1F2|＝2c，而c>a，所以有|PF2|<|F1F2|，所以∠PF1F2＝30°，所以(2a)2＝(2c)2＋(4a)2－2·2c·4acos30°，得c＝a，所以b＝＝a.所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，即x±y＝0.
【答案】 A
考向3 求变量的取值范围
【例5】 已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由题意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.
(1)(2017·安徽合肥质检)若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝( )
A．2 B．4
C．6 D．8
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
(3)(2017·江西名校学术联盟一调)设A1，A2分别为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率k·k<2，则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A．(0，) B．(1，)
C．(，＋∞) D．(0,3)
解析：(1)由题意，得＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.
(2)由题意得，e＝＝⇒c＝a⇒a2＝a2＋b2⇒b＝a，故渐近线方程为y＝±x＝±x，故选C.
(3)设M(x，y)，A1(－a,0)，A2(a,0)，则k＝，k＝，∴k·k＝(*)．又M(x，y)在双曲线－＝1上，∴y2＝b2，代入(*)式得，＝<2，即＝e2－1<2⇒1
查看更多
