重庆南开中学2020届高三下学期线上期中考试理科数学试题

重庆南开中学2020届高三下学期线上期中考试理科数学试题

重庆南开中学高2020级高三下学期线上中期考试 数学（理科）试题 理科数学测试卷共4页．满分150分．考试时间120分钟．‎ 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知为纯虚数，则实数的值是（ ）‎ A． B． C． D．1‎ ‎2．已知集合，，则集合的子集个数为（ ）‎ A．8 B．‎16 ‎C．32 D．64‎ ‎3．已知曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（ ）‎ A． B．‎1 ‎C．2 D．3‎ ‎4．已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A． B． C．1 D．3‎ ‎5．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最．长的棱长为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7．函数的最小值为（ ）‎ A． B． C．0 D．‎ ‎8．抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（ ）‎ A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的结果为（ ）‎ A．511 B．‎1022 ‎C．1023 D．2046‎ ‎10．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显，，…，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止此时所进行的试验次数记为，则，，…，那么 ‎（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎1l‎．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的两支分别交于两点，，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎12．已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知均为单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为______．‎ ‎14．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中的系数为_____．‎ ‎15．正三棱柱中，，，为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为______．‎ ‎16．已知定义在上的函数满足，当时，则关于函数有如下四个结论：①为偶函数；②的图象关于直线对称；③方程有两个不等实根；④；其中所有正确结论的编号______．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17．如图，在中，，点在边上．‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，，求的值．‎ ‎18．如图，在四棱锥中，面，，且，，，为的中点．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若二面角为，求直线与平面成角的正弦值．‎ ‎19．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．‎ 日期代码 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 累计确诊人数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎31‎ ‎51‎ ‎71‎ ‎97‎ ‎122‎ 为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①，②对变量和的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差），‎ 且经过计算得，，其中，．‎ ‎（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；‎ ‎（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；‎ ‎（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．‎ ‎20．已知函数，．‎ ‎（1）若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）是否存在实数，使得函数的图像与轴相切？若存在，求满足条件的的个数，请说明理由．‎ ‎21．已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点均在椭圆上，点在抛物线上，若的重心为坐标原点，且的面积为，求点的坐标．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22．[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出直线和曲线的的直角坐标方程；‎ ‎（2）过动点且平行于的直线交曲线于两点，若，求动点到直线的最近距离．‎ ‎23．[选修4—5：不等式选讲]‎ 已知函数．‎ ‎（1）若关于的不等式有解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若不等式对任意成立，求实数的取值范围．‎ 重庆南开中学高2020级高三下学期线上中期考试 数学（理科）答案 一、选择题 B C A B D C A D B A B C 二、填空题 ‎ 560 ①②③‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）由得，，‎ 由得；‎ ‎（2）设，，由得，，‎ 中，，．‎ ‎18．证明：（1）易知：，‎ ‎①又平面②‎ 由①②可得平面平面平面；‎ ‎（2）由（1）知二面角的平面角即为，．‎ 取中的，连接，易得，直线两两垂直，‎ 以为原点，分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 设平面的法向量为，则由，设直线与平面所成角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．‎ ‎19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；‎ ‎（2）由（1），知关于的回归方程为，令，则，由题知，‎ 又，，‎ ‎，关于的回归方程为；‎ ‎（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为 ‎（人）．‎ ‎20．解：（1），由单增得恒成立，分离参数得恒成立，令，，则，‎ ‎，在上单调递增，，；‎ ‎（2）设，则，‎ 设函数的图像与轴相切于处，则 由②得：或，‎ 当时，由①得：③；‎ 当时，由①得：，‎ 令，则：，，‎ 在单调递减，在单调递增，，‎ 在单调递增，又，，‎ 只有一解，且，④，‎ 由③④可知：满足条件的实数有两个：，．‎ ‎21解：（1）由题意易知：椭圆；‎ ‎（2），①‎ 设，，则由题知，‎ 由点在抛物线上得：②‎ ‎③‎ 将②代入③整理得：或，相应的或1，‎ 所以或．‎ ‎22．解：（1）直线，曲线；‎ ‎（2）过平行于的直线的参数方程为（为参数）‎ 联立曲线得：，，‎ 所以，‎ 点的到直线的距离：，‎ 当，（满足式）时取“”点的到直线的最近距离为．‎ ‎23．解，（1）‎ ‎，即 ‎（2）由（1）可得的图象如下 要使恒成立，当函数的一段经过点时满足要求，‎ 此时，结合图象可知，当时满足条件．‎