历年中考中初一试题精选及详解

历年中考中初一试题精选及详解

答案与评分标准 一．选择题（共17小题）‎ ‎1．（2012•南昌）已知（m﹣n）2=8，（m+n）2=2，则m2+n2=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎3‎ 考点：‎ 完全平方公式。菁优网版权所有 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 根据完全平方公式由（m﹣n）2=8得到m2﹣2mn+n2=8①，由（m+n）2=2得到m2+2mn+n2=2②，然后①+②得，2m2+2n2=10，变形即可得到m2+n2的值．‎ 解答：‎ 解：∵（m﹣n）2=8，‎ ‎∴m2﹣2mn+n2=8①，‎ ‎∵（m+n）2=2，‎ ‎∴m2+2mn+n2=2②，‎ ‎①+②得，2m2+2n2=10，‎ ‎∴m2+n2=5．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．‎ ‎2．（2012•济南）化简5（2x﹣3）+4（3﹣2x）结果为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2x﹣3‎ B．‎ ‎2x+9‎ C．‎ ‎8x﹣3‎ D．‎ ‎18x﹣3‎ 考点：‎ 整式的加减。菁优网版权所有 分析：‎ 首先利用分配律相乘，然后去掉括号，进行合并同类项即可求解．‎ 解答：‎ 解：原式=10x﹣15+12﹣8x ‎ ‎=2x﹣3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．‎ ‎3．（2012•河北）如图，两个正方形的面积分别为16，9，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则（a﹣b）等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎7‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎4‎ 考点：‎ 整式的加减。菁优网版权所有 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 设重叠部分面积为c，（a﹣b）可理解为（a+c）﹣（b+c），即两个正方形面积的差．‎ 解答：‎ 解：设重叠部分面积为c，‎ a﹣b=（a+c）﹣（b+c）=16﹣9=7，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了等积变换，将阴影部分的面积之差转换成整个图形的面积之差是解题的关键．‎ ‎4．（2012•杭州）下列计算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣p2q）3=﹣p5q3‎ B．‎ ‎（12a2b3c）÷（6ab2）=2ab ‎　‎ C．‎ ‎3m2÷（3m﹣1）=m﹣3m2‎ D．‎ ‎（x2﹣4x）x﹣1=x﹣4‎ 考点：‎ 整式的混合运算；负整数指数幂。菁优网版权所有 分析：‎ 根据幂的乘方，积的乘方、整式的乘法、同底数幂的乘法和除法分别进行计算，即可判断．‎ 解答：‎ 解：A、（﹣p2q）3=﹣p6q3，故本选项错误；‎ B、12a2b3c）÷（6ab2）=2abc，故本选项错误；‎ C、3m2÷（3m﹣1）=，故本选项错误；‎ D、（x2﹣4x）x﹣1=x﹣4，故本选项正确；‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了整式的混合运算，用到的知识点是幂的乘方，积的乘方、整式的乘法、同底数幂的乘法和除法等，需熟练掌握运算法则，才不容易出错．‎ ‎5．（2012•东营）若3x=4，9y=7，则3x﹣2y的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎﹣3‎ D．‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方。菁优网版权所有 分析：‎ 由3x=4，9y=7与3x﹣2y=3x÷32y=3x÷（32）y，代入即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：∵3x=4，9y=7，‎ ‎∴3x﹣2y=3x÷32y=3x÷（32）y=4÷7=4÷7=．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了同底数幂的除法与幂的乘方的应用．此题难度适中，注意将3x﹣2y变形为3x÷（32）y是解此题的关键．‎ ‎6．（2012•滨州）求1+2+22+23+…+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22012，则2S=2+22+23+24+…+22013，因此2S﹣S=22013﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52012的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎52012﹣1‎ B．‎ ‎52013﹣1‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 同底数幂的乘法。菁优网版权所有 专题：‎ 整体思想。‎ 分析：‎ 根据题目提供的信息，设S=1+5+52+53+…+52012，用5S﹣S整理即可得解．‎ 解答：‎ 解：设S=1+5+52+53+…+52012，则5S=5+52+53+54+…+52013，‎ 因此，5S﹣S=52013﹣1，‎ S=．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了同底数幂的乘法，读懂题目提供的信息，是解题的关键，注意整体思想的利用．‎ ‎7．（2011•新疆）下列各式中正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎（﹣a3）2=﹣a6‎ B．‎ ‎（2b﹣5）2=4b2﹣25‎ C．‎ ‎（a﹣b）（b﹣a）=﹣（a﹣b）2‎ D．‎ a2+2ab+（﹣b）2=（a﹣b）2‎ 考点：‎ 完全平方公式；幂的乘方与积的乘方。菁优网版权所有 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 根据幂的乘方与积的乘方的计算法则和完全平方公式进行判断即可 解答：‎ 解：A、（﹣a3）2=a6，故选项错误；‎ B、（2b﹣5）2=4b2﹣20b+25，故选项错误；‎ C、（a﹣b）（b﹣a）=﹣（a﹣b）2，故选项正确；‎ D、a2+2ab+（﹣b）2=（a+b）2，故选项错误．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查幂的乘方与积的乘方和完全平方公式，熟记完全平方公式对解题大有帮助．‎ ‎8．（2002•连云港）已知a、b是整数，则2（a2+b2）﹣（a+b）2的值总是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 正整数 B．‎ 负整数 C．‎ 非负整数 D．‎ ‎4的整数倍 考点：‎ 整式的混合运算—化简求值。菁优网版权所有 分析：‎ 把原式化简后即可得出结果，利用非负数的性质求解．‎ 解答：‎ 解：原式=2a2+2b2﹣a2﹣2ab﹣b2=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2，‎ ‎∵平方是非负数，a、b是整数，‎ ‎∴（a﹣b）2，是非负整数．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了完全平方公式，任何数的平方都是非负数．‎ ‎9．已知x+y=0，xy=﹣2，则（1﹣x）（1﹣y）的值为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎1‎ C．‎ ‎5‎ D．‎ ‎﹣3‎ 考点：‎ 整式的混合运算—化简求值。菁优网版权所有 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 先按照多项式乘以多项式的法则展开，再整理，最后把x+y，xy的值整体代入计算即可．‎ 解答：‎ 解：原式=1﹣y﹣x+xy=1﹣（x+y）+xy，‎ 当x+y=0，xy=﹣2时，原式=1﹣0+（﹣2）=﹣1．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了整式的化简求值，解题的关键是整体代入．‎ ‎10．（2006•滨州）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ BE=CD B．‎ BE＞CD C．‎ BE＜CD D．‎ 大小关系不确定 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。菁优网版权所有 分析：‎ 由全等三角形的判定可证明△BAE≌△DAC，从而得出BE=CD．‎ 解答：‎ 解：∵△ABD与△ACE均为正三角形 ‎∴BA=DA，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°‎ ‎∴∠BAE=∠DAC ‎∴△BAE≌△DAC ‎∴BE=CD 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎11．（2009•荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3cm B．‎ ‎4cm C．‎ ‎5cm D．‎ ‎6cm 考点：‎ 勾股定理；翻折变换（折叠问题）。菁优网版权所有 分析：‎ 根据折叠的性质，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若设CN=x，则DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根据勾股定理就可以列出方程，从而解出CN的长．‎ 解答：‎ 解：设CN=xcm，则DN=（8﹣x）cm，由折叠的性质知EN=DN=（8﹣x）cm，‎ 而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8﹣x）2=16+x2，‎ 整理得16x=48，所以x=3．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，通常用勾股定理解决折叠问题．‎ ‎12．（2009•芜湖）如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎330°‎ B．‎ ‎315°‎ C．‎ ‎310°‎ D．‎ ‎320°‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质。菁优网版权所有 专题：‎ 网格型。‎ 分析：‎ 利用正方形的性质，分别求出多组三角形全等，如∠1和∠7所在的三角形全等，得到∠1+∠7=90°等，可得所求结论．‎ 解答：‎ 解：由图中可知：①∠4=×90°=45°，②∠1和∠7所在的三角形全等 ‎∴∠1+∠7=90°‎ 同理∠2+∠6=90°，∠3+∠5=90°∠4=45°‎ ‎∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=3×90°+45°=315°‎ 故选B．‎ 点评：‎ 考查了全等三角形的性质与判定；做题时主要利用全等三角形的对应角相等，得到几对角的和的关系，认真观察图形，找到其中的特点是比较关键的．‎ ‎13．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AB=6，则△DEB的周长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4‎ B．‎ ‎6‎ C．‎ ‎8‎ D．‎ ‎10‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。菁优网版权所有 分析：‎ 因为AC和BC相等，所以△ACB是等腰直角三角形，然后又利用角平分线，推出全等，最后得出结果．‎ 解答：‎ 解：∵CA=CB，∠C=90°，AD平分∠CAB，‎ ‎∴△ACB为等腰直角三角形，BC=AC=AE，‎ ‎∴△ACD≌△AED，‎ ‎∴CD=DE，‎ 又∵DE⊥AB于点E，‎ ‎∴△EDB为等腰直角三角形，DE=DB=CD，‎ ‎∴△DEB的周长=DE+EB+DB=CD+DB+EB=CB+EB=AE+EB=AB=6，‎ ‎∴周长为6．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题利用全等三角形的性质，来解出周长，解题时应注意找准边的关系，用递推的方式解答．‎ ‎14．如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF，②△BDF≌△CDE，③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 只有①‎ B．‎ 只有②‎ C．‎ 只有①和②‎ D．‎ ‎①，②与③‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质。菁优网版权所有 分析：‎ 根据三角形全等的判定方法，①由SAS判定△ABE≌△ACF；②由AAS判定BDF≌△CDE；‎ ‎③SAS判定△ACD≌△ABD，所以D在∠BAC的平分线上．‎ 解答：‎ 解：①∵AB=AC，AE=AF，∠A=∠A，‎ ‎∴△ABE≌△ACF；‎ ‎②∵△ABE≌△ACF，‎ ‎∴∠C=∠B，‎ ‎∵AB=AC，AE=AF，‎ ‎∴CE=FB，‎ ‎∵∠CDE=∠BDF，‎ ‎∴△BDF≌△CDE；‎ ‎③连接AD，‎ ‎∵△BDF≌△CDE，‎ ‎∴CD=BD，‎ ‎∵AB=AC，AD=AD，‎ ‎∴△ACD≌△ABD，‎ ‎∴∠CAD=∠BAD，‎ 即D在∠BAC的平分线上．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．‎ 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．‎ ‎15．（2012•梅州）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎150°‎ B．‎ ‎210°‎ C．‎ ‎105°‎ D．‎ ‎75°‎ 考点：‎ 三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）。菁优网版权所有 分析：‎ 先根据图形翻折变化的性质得出△ADE≌△A′DE，∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，再根据三角形内角和定理求出∠AED+∠ADE及∠A′ED+∠A′DE的度数，然后根据平角的性质即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：∵△A′DE是△ABC翻折变换而成，‎ ‎∴∠AED=∠A′ED，∠ADE=∠A′DE，∠A=∠A′=75°，‎ ‎∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=180°﹣75°=105°，‎ ‎∴∠1+∠2=360°﹣2×105°=150°．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．‎ ‎16．（2011•台湾）若△ABC中，2（∠A+∠C）=3∠B，则∠B的外角度数为何（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎36‎ B．‎ ‎72‎ C．‎ ‎108‎ D．‎ ‎144‎ 考点：‎ 三角形内角和定理；解二元一次方程组；对顶角、邻补角。菁优网版权所有 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 由∠A+∠B+∠C=180°，得到2（∠A+∠C）+2∠B=360°，求出∠B=72°，根据∠B的外角度数=180°﹣∠B即可求出答案．‎ 解答：‎ 解：∵∠A+∠B+∠C=180°，‎ ‎∴2（∠A+∠B+∠C）=360°，‎ ‎∵2（∠A+∠C）=3∠B，‎ ‎∴∠B=72°，‎ ‎∴∠B的外角度数是180°﹣∠B=108°，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查对二元一次方程组，三角形的内角和定理，邻补角等知识点的理解和掌握，能根据三角形的内角和定理求出∠B的度数是解此题的关键．‎ ‎17．（2006•天门）如图所示，从边长为a的大正方形中挖去一个边长是b的小正方形，小明将图甲中的阴影部分拼成了一个如图乙所示的矩形，这一过程可以验证（　　）‎ ‎　‎ A．‎ a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2‎ B．‎ a2+b2+2ab=（a+b）2‎ ‎　‎ C．‎ ‎2a2﹣3ab+b2=（2a﹣b）（a﹣b）‎ D．‎ a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）‎ 考点：‎ 平方差公式的几何背景。菁优网版权所有 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 利用正方形的面积公式可知阴影部分面积为=a2﹣b2，根据矩形面积公式可知阴影部分面积=（a+b）（a﹣b），二者相等，即可解答．‎ 解答：‎ 解：由题可知a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式．‎ 二．填空题（共3小题）‎ ‎18．如图，求作一点M，使MC=MD，且使M到∠AOB两边的距离相等．‎ 考点：‎ 作图—基本作图。菁优网版权所有 专题：‎ 作图题。‎ 分析：‎ ‎∵MC=MD，∴点M在CD的垂直平分线上，∵M到∠AOB两边的距离相等，∴点M在∠AOB的角平分线上，∴CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线的交点处即为点M．‎ 解答：‎ 解：‎ 点评：‎ 主要考查了线段的垂直平分线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握．‎ ‎19．如图，已知：直线a∥b，则∠A=　72°　．‎ 考点：‎ 平行线的性质。菁优网版权所有 分析：‎ 首先过点A作AE∥a，过点B作BF∥a，过点C作CG∥a，又由直线a∥b，即可得AE∥BF∥CG∥a∥b，根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案．‎ 解答：‎ 解：过点A作AE∥a，过点B作BF∥a，过点C作CG∥a，‎ ‎∵直线a∥b，‎ ‎∴AE∥BF∥CG∥a∥b，‎ ‎∴∠8=∠9=30°，‎ ‎∴∠7=48°﹣∠8=18°，‎ ‎∴∠6=∠7=18°，‎ ‎∴∠5=30°﹣∠6=12°，‎ ‎∴∠4=∠5=12°，‎ ‎∵∠1=120°，‎ ‎∴∠2=60°，‎ ‎∴∠3=∠2=60°，‎ ‎∴∠DAB=∠3+∠4=60°+12°=72°．‎ 故答案为：72°．‎ 点评：‎ 此题考查了平行线的性质．此题难度适中，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．‎ ‎20．（2009•梅州）找规律．下列图中有大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第n幅图中共有　2n﹣1　个．‎ 考点：‎ 规律型：图形的变化类。菁优网版权所有 专题：‎ 规律型。‎ 分析：‎ 对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ 解答：‎ 解：分析可得：第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，…，‎ ‎∵1=1×2﹣1，3=2×2﹣1，5=3×2﹣1，‎ ‎∴故第n幅图中共有2n﹣1个．‎ 点评：‎ 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．‎ 三．解答题（共10小题）‎ ‎21．（2012•泰安）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE=∠CBE．‎ ‎（1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；‎ ‎（2）求证：BG2﹣GE2=EA2．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。菁优网版权所有 专题：‎ 证明题；几何综合题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据三角形的内角和定理求出∠BCD=∠ABC，∠ABE=∠DCA，推出DB=CD，根据AAS证出△DBH≌△DCA即可；‎ ‎（2）根据DB=DC和F为BC中点，得出DF垂直平分BC，推出BG=CG，根据BE⊥AC和∠ABE=∠CBE得出AE=CE，在Rt△CGE中，由勾股定理即可推出答案．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°，∠ABC=45°，‎ ‎∴∠BCD=45°=∠ABC，∠A+∠DCA=90°，∠A+∠ABE=90°，‎ ‎∴DB=DC，∠ABE=∠DCA，‎ ‎∵在△DBH和△DCA中 ‎∵，‎ ‎∴△DBH≌△DCA，‎ ‎∴BH=AC．‎ ‎（2）连接CG，‎ ‎∵F为BC的中点，DB=DC，‎ ‎∴DF垂直平分BC，‎ ‎∴BG=CG，‎ ‎∵∠ABE=∠CBE，BE⊥AC，‎ ‎∴∠AEB=∠CEB，‎ 在△ABE和△CBE中 ‎∵，‎ ‎∴△ABE≌△CBE，‎ ‎∴EC=EA，‎ 在Rt△CGE中，由勾股定理得：BG2﹣GE2=EA2．‎ 点评：‎ 本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．‎ ‎22．（2010•德州）如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，AF与DE交于点O．‎ ‎（1）求证：AB=DC；‎ ‎（2）试判断△OEF的形状，并说明理由．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定。菁优网版权所有 专题：‎ 证明题。‎ 分析：‎ ‎（1）根据BE=CF得到BF=CE，又∠A=∠D，∠B=∠C，所以△ABF≌△DCE，根据全等三角形对应边相等即可得证；‎ ‎（2）根据三角形全等得∠AFB=∠DEC，所以是等腰三角形．‎ 解答：‎ ‎（1）证明：∵BE=CF，‎ ‎∴BE+EF=CF+EF，‎ 即BF=CE．‎ 又∵∠A=∠D，∠B=∠C，‎ ‎∴△ABF≌△DCE（AAS），‎ ‎∴AB=DC．‎ ‎（2）解：△OEF为等腰三角形 理由如下：∵△ABF≌△DCE，‎ ‎∴∠AFB=∠DEC，‎ ‎∴OE=OF，‎ ‎∴△OEF为等腰三角形．‎ 点评：‎ 本题主要考查三角形全等的判定和全等三角形对应角相等的性质及等腰三角形的判定；根据BE=CF得到BF=CE是证明三角形全等的关键．‎ ‎23．（2008•新疆）如图，在△ABC中，∠C=2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠B．‎ 求证：AB=AC+CD．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质。菁优网版权所有 专题：‎ 证明题。‎ 分析：‎ 先根据AAS判定△ACD≌△AED，从而得出对应边相等，根据AB=AE+BE做相关的替换，便能得到AB=AC+CD．‎ 解答：‎ 证明：∵∠1=∠B（已知），‎ ‎∴∠AED=2∠B（三角形外角的性质），DE=BE（等角对等边），‎ 又∠C=2∠B，‎ ‎∴∠C=∠AED（等量代换），‎ 在△ACD和△AED中，‎ ‎，‎ ‎∴△ACD≌△AED（AAS），‎ ‎∴AC=AE，CD=DE（对应边相等），‎ ‎∴CD=BE（等量代换），‎ ‎∴AB=AE+EB=AC+CD．‎ 点评：‎ 此题考查了学生对角平分线的性质及全等三角形的判定方法的理解及运用能力，要熟练掌握并灵活运用这些知识．‎ ‎24．（2008•北京）已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质。菁优网版权所有 专题：‎ 证明题。‎ 分析：‎ 根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．‎ 解答：‎ 证明：∵AB∥ED，‎ ‎∴∠B=∠E．‎ 在△ABC和△CED中，，‎ ‎∴△ABC≌△CED．‎ ‎∴AC=CD．‎ 点评：‎ 本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．‎ ‎25．（2007•乐山）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．‎ ‎（1）求证：AD=CE；‎ ‎（2）求∠DFC的度数．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。菁优网版权所有 专题：‎ 几何综合题。‎ 分析：‎ 根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．‎ 解答：‎ 解：（1）∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．‎ 又∵AE=BD，‎ ‎∴△AEC≌△BDA（SAS）．‎ ‎∴AD=CE；‎ ‎（2）由（1）△AEC≌△BDA，得∠ACE=∠BAD，‎ ‎∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．‎ 点评：‎ 本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．‎ ‎26．（2006•黄石）如图，已知BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，BE与CF相交于点D，且BD=CD．求证：AE=AF．‎ 考点：‎ 全等三角形的判定与性质。菁优网版权所有 专题：‎ 证明题。‎ 分析：‎ 要证AE=AF，可证△AFC≌△AEB，那么必先证△BDF≌△CDE才可行．‎ 解答：‎ 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，‎ ‎∴∠CED=∠BFD=90°，∠AFC=∠AEB=90°．‎ ‎∵△BDF与△CDE中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDF≌△CDE（ASA）．‎ ‎∴DF=DE，BD=CD，∠B=∠C．‎ ‎∴BE=CF．‎ ‎∵在△AFC与△AEB中，‎ ‎，‎ 则△AFC≌△AEB．‎ ‎∴AE=AF．‎ 点评：‎ 本题重点考查了三角形全等的判定定理．做题时从已知条件开始思考，结合全等的判定方法由易到难，找寻全等的三角形．‎ ‎27．（2011•益阳）观察下列算式：‎ ‎①1×3﹣22=3﹣4=﹣1‎ ‎②2×4﹣32=8﹣9=﹣1‎ ‎③3×5﹣42=15﹣16=﹣1‎ ‎④　4×6﹣52=24﹣25=﹣1　‎ ‎…‎ ‎（1）请你按以上规律写出第4个算式；‎ ‎（2）把这个规律用含字母的式子表示出来；‎ ‎（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．‎ 考点：‎ 整式的混合运算。菁优网版权所有 专题：‎ 规律型。‎ 分析：‎ ‎（1）根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；‎ ‎（2）将（1）中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；‎ ‎（3）一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．‎ 解答：‎ 解：（1）第4个算式为：4×6﹣52=24﹣25=﹣1；（2分）‎ ‎（2）答案不唯一．如n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1；（5分）‎ ‎（3）一定成立．‎ 理由：n（n+2）﹣（n+1）2=n2+2n﹣（n2+2n+1）（7分）‎ ‎=n2+2n﹣n2﹣2n﹣1=﹣1．（8分）‎ 故n（n+2）﹣（n+1）2=﹣1成立．‎ 故答案为：4×6﹣52=24﹣25=﹣1．‎ 点评：‎ 本题是规律型题，考查了整式的混合运算的运用．关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行检验．‎ ‎28．（2006•安徽）老师在黑板上写出三个算式：52﹣32=8×2，92﹣72=8×4，152﹣32=8×27，王华接着又写了两个具有同样规律的算式：112﹣52=8×12，152﹣72=8×22，…‎ ‎（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；‎ ‎（2）用文字写出反映上述算式的规律；‎ ‎（3）证明这个规律的正确性．‎ 考点：‎ 平方差公式。菁优网版权所有 专题：‎ 规律型。‎ 分析：‎ 通过观察可知，等式左边一直是两个奇数的平方差，右边总是8乘以一个数．根据平方差公式，把等式左边进行计算，即可得出结论任意两个奇数的平方差等于8的倍数．‎ 解答：‎ 解：（1）112﹣92=8×5，132﹣112=8×6．‎ ‎（2）规律：任意两个奇数的平方差等于8的倍数．‎ ‎（3）证明：设m，n为整数，两个奇数可表示2m+1和2n+1，‎ 则（2m+1）2﹣（2n+1）2=4（m﹣n）（m+n+1）．‎ 当m，n同是奇数或偶数时，m﹣n一定为偶数，所以4（m﹣n）一定是8的倍数．‎ 当m，n﹣奇﹣偶时，则m+n+1一定为偶数，所以4（m+n+1）一定是8的倍数 所以，任意两奇数的平方差是8的倍数．‎ 点评：‎ 本题为规律探究题，考查学生探求规律解决问题的思维能力．‎ ‎29．（2000•内蒙古）计算：‎ 考点：‎ 平方差公式；有理数的混合运算。菁优网版权所有 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 分析直接计算繁，仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，然后利用平方差公式进行计算．‎ 解答：‎ 解：由题意可设字母n=12346，那么12345=n﹣1，12347=n+1，‎ 于是分母变为n2﹣（n﹣1）（n+1）．‎ 应用平方差公式化简得 n2﹣（n2﹣12）=n2﹣n2+1=1，‎ 即原式分母的值是1，‎ 所以原式=24690．‎ 点评：‎ 此题主要考查平方差公式的性质及其应用，是一道好题，计算时要仔细．‎ ‎30．a、b、c是三个连续的正整数（a＜b＜c），以b为边长作正方形，分别以c、a为长和宽作长方形，哪个图形的面积大？为什么？‎ 考点：‎ 平方差公式。菁优网版权所有 专题：‎ 几何图形问题。‎ 分析：‎ a、b、c是三个连续的正整数，且a＜b＜c，以中间量b为基础，把a、c都转化为用b表示，即a=b﹣1，c=b+1，矩形面积ac=（b﹣1）（b+1），正方形面积b2．再比较大小．‎ 解答：‎ 解：以b为边长的正方形面积大．‎ ‎∵a、b、c是三个连续的正整数（a＜b＜c），‎ ‎∴a=b﹣1，c=b+1，‎ ‎∴以c、a为长和宽作长方形的面积为ac=（b﹣1）（b+1）=b2﹣1，‎ ‎∴b2﹣1＜b2，‎ ‎∴以b为边长的正方形面积大．‎ 点评：‎ 本题考查了平方差公式，运用了三个连续正整数a、b、c之间的关系，把面积问题都转化为关于b的表达式是解题的关键．‎