2021高考数学大一轮复习单元质检四三角函数解三角形B理新人教A版

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单元质检四　三角函数、解三角形(B)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第8页　 ‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.(2019山东潍坊统一考试)已知函数y=‎3‎sin 2x-cos 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位长度,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的值为(　　)‎ A.π‎12‎ B.π‎6‎ ‎ C.π‎4‎ D.‎π‎3‎ 答案:B 解析:由题意知,y=‎3‎sin2x-cos2x=2sin‎2x-‎π‎6‎,其图象向右平移φ个单位长度,得到函数g(x)=2sin‎2x-2φ-‎π‎6‎的图象.因为g(x)为偶函数,所以2φ+π‎6‎‎=‎π‎2‎+kπ,k∈Z,所以φ=π‎6‎‎+‎kπ‎2‎,k∈Z.又因为φ∈‎0,‎π‎2‎,所以φ=π‎6‎.‎ ‎2.已知tan θ+‎1‎tanθ=4,则cos2θ+‎π‎4‎=(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ 答案:B 解析:由tanθ+‎1‎tanθ=4,得sinθcosθ‎+‎cosθsinθ=4,即sin‎2‎θ+cos‎2‎θsinθcosθ=4,‎ ‎∴sinθcosθ=‎1‎‎4‎,‎ ‎∴cos2‎θ+‎π‎4‎‎=‎1+cos‎2θ+‎π‎2‎‎2‎=‎‎1-sin2θ‎2‎ ‎=‎1-2sinθcosθ‎2‎‎=‎1-2×‎‎1‎‎4‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ‎0<φ<‎π‎2‎个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=π‎3‎,则φ=(　　)‎ 7‎ A.‎5π‎12‎ B.π‎3‎ C.π‎4‎ D.‎π‎6‎ 答案:D 解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).‎ 由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).‎ 不妨令2x1=π‎2‎+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-π‎2‎+2mπ(m∈Z),‎ 则x1-x2=π‎2‎-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).‎ 因为|x1-x2|min=π‎3‎,0<φ<π‎2‎,‎ 所以当k-m=0,即k=m时,有π‎2‎-φ=π‎3‎,解得φ=π‎6‎.故选D.‎ ‎4.已知函数y=sin‎2x-‎π‎3‎与y=cos‎2x+‎‎2π‎3‎的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是(　　)‎ A.π‎24‎ B.π‎12‎ C.π‎8‎ D.‎‎11π‎24‎ 答案:A 解析:因为函数y=sin‎2x-‎π‎3‎的图象关于直线x=a对称的图象对应的函数为y=sin‎2(2a-x)-‎π‎3‎,‎ 即y=cosπ‎2‎‎-‎‎2(2a-x)-‎π‎3‎ ‎=cos‎2x+‎5π‎6‎-4a,‎ 又因为函数y=sin‎2x-‎π‎3‎与y=cos‎2x+‎‎2π‎3‎的图象关于直线x=a对称,‎ 所以y=cos‎2x+‎‎2π‎3‎ ‎=cos‎2x+‎5π‎6‎-4a,‎ 所以a可以为π‎24‎,故选A.‎ ‎5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cos C),则△ABC周长的取值范围是(　　)‎ 7‎ A.(1,3] B.[2,4] C.(2,3] D.[3,5]‎ 答案:C 解析:在△ABC中,由余弦定理可得2cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎ab.‎ ‎∵a=1,2cosC+c=2b,∴‎1+b‎2‎-‎c‎2‎b+c=2b,‎ ‎∴(b+c)2-1=3bc.‎ ‎∵bc≤b+c‎2‎‎2‎,∴(b+c)2-1≤3×b+c‎2‎‎2‎,‎ 即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.‎ 故a+b+c≤3.‎ ‎∵b+c>a=1,∴a+b+c>2.‎ 故△ABC的周长的取值范围是(2,3].‎ ‎6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin A·cos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)‎ A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案:A 解析:∵sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,‎ ‎∴sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,‎ ‎∴sinB+2sinBcosC=sinB+sinAcosC,‎ ‎∴2sinBcosC=sinAcosC,‎ 又△ABC为锐角三角形,‎ ‎∴2sinB=sinA,‎ 由正弦定理,得a=2b.故选A.‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=‎4‎‎5‎,cos C=‎5‎‎13‎,a=1,则b=　　　　　. ‎ 7‎ 答案:‎‎21‎‎13‎ 解析:因为cosA=‎4‎‎5‎,cosC=‎5‎‎13‎,且A,C为△ABC的内角,‎ 所以sinA=‎3‎‎5‎,sinC=‎12‎‎13‎,‎ sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)‎ ‎=sinAcosC+cosAsinC=‎63‎‎65‎.‎ 又因为asinA‎=‎bsinB,‎ 所以b=asinBsinA‎=‎‎21‎‎13‎.‎ ‎8.已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是　　　　　,cos∠BDC=　　　　　. ‎ 答案:‎‎15‎‎2‎‎　‎‎10‎‎4‎ 解析:如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.‎ 在Rt△ABE中,‎ cos∠ABE=BEAB‎=‎‎1‎‎4‎,‎ ‎∴cos∠DBC=-‎1‎‎4‎,‎ sin∠DBC=‎1-‎‎1‎‎16‎‎=‎‎15‎‎4‎.‎ ‎∴S△BCD=‎1‎‎2‎×BD×BC×sin∠DBC=‎15‎‎2‎.‎ ‎∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-‎1‎‎4‎,且∠DBF为锐角,‎ 7‎ ‎∴sin∠DBF=‎10‎‎4‎.‎ 在Rt△BDF中,‎ cos∠BDF=sin∠DBF=‎10‎‎4‎.‎ 综上可得,△BCD的面积是‎15‎‎2‎,cos∠BDC=‎10‎‎4‎.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)(2019北京,理15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-‎1‎‎2‎.‎ ‎(1)求b,c的值;‎ ‎(2)求sin(B-C)的值.‎ 解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,‎ 得b2=32+c2-2×3×c×‎-‎‎1‎‎2‎.‎ 因为b=c+2,‎ 所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×‎-‎‎1‎‎2‎.‎ 解得c=5,所以b=7.‎ ‎(2)由cosB=-‎1‎‎2‎得sinB=‎3‎‎2‎.‎ 由正弦定理得sinC=cbsinB=‎5‎‎3‎‎14‎.‎ 在△ABC中,∠B是钝角,‎ 所以∠C为锐角.‎ 所以cosC=‎1-sin‎2‎C‎=‎‎11‎‎14‎.‎ 所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=‎4‎‎3‎‎7‎.‎ ‎10.(15分)已知函数f(x)=‎3‎sin 2ωx-cos 2ωx的图象关于直线x=π‎3‎对称,其中ω∈‎-‎1‎‎2‎,‎‎5‎‎2‎.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ 7‎ ‎(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足fB‎2‎‎+‎π‎12‎‎=‎‎2‎‎5‎‎3‎,b=‎2‎,求△ABC面积的最大值.‎ 解:(1)因为f(x)=‎3‎sin2ωx-cos2ωx=2sin‎2ωx-‎π‎6‎的图象关于直线x=π‎3‎对称,‎ 所以2ω×π‎3‎‎-‎π‎6‎=kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 所以ω=‎3k‎2‎+1(k∈Z).‎ 因为ω∈‎-‎1‎‎2‎,‎‎5‎‎2‎,‎ 所以-‎1‎‎2‎‎<‎‎3k‎2‎+1<‎5‎‎2‎(k∈Z),‎ 所以-1

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