宁夏石嘴山市第一中学2020届高三高考适应性测试文科数学试题 Word版含解析

宁夏石嘴山市第一中学2020届高三高考适应性测试文科数学试题 Word版含解析

石嘴山市第一中学2020届高考适应性测试 数学试题（文科）‎ 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.‎ ‎2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.‎ ‎3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.‎ ‎4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.‎ ‎5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.‎ 一、单选题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出与中不等式的解集，确定出与，求出与的并集．‎ ‎【详解】解：集合，1，2，，，‎ 所以，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．‎ ‎2.设i为虚数单位，则等于（ ）‎ A. -2-3i B. -2+3i C. 2-3i D. 2+3i ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 18 -‎ 试题分析：，故选C.‎ 考点：复数计算.‎ ‎3.已知向量，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量垂直的坐标表示，列出等式，即得解 ‎【详解】由题意，向量，‎ 若，则 ‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题.‎ ‎4.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的方程，可判断双曲线的焦点在x轴上，可得，再结合，可得解 ‎【详解】由题意，双曲线的焦点在x轴上，‎ 故渐近线方程： ，故 ‎ 又 ‎ - 18 -‎ 故 ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.‎ ‎5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半，问两鼠在第几天相遇？（ ）‎ A. 第2天 B. 第3天 C. 第4天 D. 第5天 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法求得前几天挖的尺寸，由此求得第几天相遇.‎ ‎【详解】第一天共挖，前二天共挖，故前天挖通，故两鼠相遇在第天.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查中国古代数学问题，考查等比数列的概念，属于基础题.‎ ‎6.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出的值，利用二倍角的正弦公式可求得的值.‎ ‎【详解】，，因此，.‎ 故选：A.‎ - 18 -‎ ‎【点睛】本题考查利用二倍角的正弦公式求值，考查计算能力，属于基础题.s ‎7.若实数x，y满足的约束条件，则函数的最大值是（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的平面区域，根据的几何意义求解即可.‎ ‎【详解】画出不等式组表示的平面区域，如下图所示 由得，‎ 平移直线，当直线过点时，取得最大值 ‎∴.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了线性规划的求最值，属于中档题.‎ ‎8.在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且a2，+2，a5成等差数列，记Sn是数列{an}的前n项和，则S6＝（ ）‎ A. 62 B. ‎64 ‎C. 126 D. 128‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 18 -‎ ‎【分析】‎ a2，a4+2，a5成等差数列，可得a2+a5=2（a4+2），把已知代入解得q．再利用求和公式即可得出．‎ ‎【详解】设正数的等比数列{an}的公比为q＞0，a1=2，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴a2+a5=2（a4+2），∴2q+2q4=2（2q3+2），解得q=2．∵S6=.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎9.如图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为（　　）‎ A. 125 B. ‎150 ‎C. 175 D. 200‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出阴影部分的面积为，利用，可得结果．‎ ‎【详解】由题意知圆的半径为1，则圆的面积近似为3，‎ 又正方形面积为4，则阴影部分面积为.‎ 设落到阴影部分的豆子数为，‎ 则．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查几何概型概率的求法，求阴影部分面积是关键，属于基础题．‎ ‎10.已知，则大小关系是( )‎ - 18 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用对数函数和指数函数的单调性判断.‎ ‎【详解】‎ ‎，则，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指对数值大小比较.‎ 指数函数值大小比较：常化为同底或同指，利用指数函数的单调性，图象或1,0等中间量进行比较．‎ 对数函数值大小比较：‎ ‎（1）单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底;‎ ‎（2）中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“‎0”‎，“‎1”‎或其他特殊值进行“比较传递”;‎ ‎（3）图象法：根据图象观察得出大小关系.‎ ‎11.函数的图象大致是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B - 18 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.‎ ‎【详解】设，，则的定义域为.，当，，单增，当，，单减，则.则在上单增，上单减，.选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像的判断,用到了换元的思想,简化了运算,同学们还可以用特殊值法等方法进行判断.‎ ‎12.对于函数，有下列命题：‎ ‎①过该函数图象上一点的切线的斜率为；‎ ‎②函数的最小值为；‎ ‎③该函数图象与轴有4个交点；‎ ‎④函数在上为减函数，在上也为减函数.其中正确命题的序号是（ ）‎ A. ①④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据导数的方法，求出时的单调性与最值；根据二次函数的性质，确定时的单调性与最值，进而逐项判断，即可得出结果.‎ ‎【详解】当时，，，故，即①正确；‎ 由得；由得；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ - 18 -‎ 故时， ‎ 当时，在上单调递减，在上单调递增，‎ 故时，有最小值为；‎ 因为，所以的最小值为；即②④正确；‎ 因为时，恒成立，且；时，与轴有个交点；‎ 故该函数图像与轴有个交点，故③错.‎ 即正确命题的序号是：①②④.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数的方法求函数最值，单调性，以及函数零点问题，属于常考题型.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.抛物线的准线方程是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程.‎ ‎【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上，‎ 所以：，即，所以，‎ 所以准线方程为：，‎ 故答案是：.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目.‎ ‎14.已知某商场在一周内某商品日销售量的茎叶图如图所示，那么这一周该商品日销售量的平均数为________．‎ - 18 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接计算平均数得到答案.‎ ‎【详解】.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了茎叶图的平均值，意在考查学生的计算能力.‎ ‎15.在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由正弦定理进行边转化为角，再根据锐角三角形的角的范围，可求得角.‎ ‎【详解】,由正弦定理可得,, ,,.. 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的正弦定理，关键在于领悟边角互化，注意角的范围，属于基础题.‎ ‎16.已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设球的半径为，根据球的表面积为，算出，设正四棱柱的底面边长为，高为，则，再利用基本不等可得该四棱柱的侧面积的最大值.‎ - 18 -‎ ‎【详解】设球的半径为，球的表面积为，‎ ‎，，‎ 设正四棱柱的底面边长为，高为，‎ 则，即，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ ‎，即，‎ 又该四棱柱的侧面积为，‎ ‎，当且仅当时，等号成立，‎ 该四棱柱的侧面积的最大值为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查正四棱柱的外接球问题和正四棱柱的侧面积计算，解题关键正确表示出正四棱柱的外接球半径和侧面积，再利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.已知等差数列满足：，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设等差数列的首项为，公差为，根据所给条件列方程组，解方程组即可.‎ ‎（2）由（1）可得： ，再利用裂项相消法求前n项和.‎ - 18 -‎ ‎【详解】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，则，‎ 解得，，‎ ‎∴.‎ ‎（2）， ‎ ‎∴数列的前项和为 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n项和，考查计算能力，属于中档题.‎ ‎18.如图1，在直角梯形中，AB∥CD，，且．现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，如图2．‎ ‎（Ⅰ）求证：BC⊥平面DBE；‎ ‎（Ⅱ）求点D到平面BEC的距离.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）要证直线与平面垂直，题中翻折成平面与平面垂直，因此有平面，从而有一个线线垂直，另一个在梯形 - 18 -‎ 中由平面几何知识可证，从而得证线面垂直；（2）由（1）知平面与平面垂直，因此只要过作于点，则可得的长就是点到平面的距离，在三角形中计算可得．‎ 试题解析：（1）在正方形中，，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，所以.在直角梯形中，，可得，在中，，所以，所以，‎ 所以平面.‎ ‎（2）因为平面，所以平面平面，过点作的垂线交于点，则平面，所以点到平面的距离等于线段的长度.‎ 在直角三角形中，，所以，‎ 所以点到平面的距离等于.‎ 考点：线面垂直的判断，点到平面的距离．‎ ‎19.在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不少于120分的有10人，统计成绩后得到如下列联表：‎ 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 ‎4‎ ‎19‎ 线上学习时间不足5小时 ‎10‎ 合计 ‎45‎ ‎（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“‎ - 18 -‎ 高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；‎ ‎（2）在上述样本中从分数不少于120分的学生中，按照分层抽样的方法，抽到线上学习时间不少于5小时和线上学习时间不足5小时的学生共5名，若在这5名学生中随机抽取2人，求至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.‎ ‎（下面的临界值表供参考）‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式其中）‎ ‎【答案】（1）见解析，有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）（或0.7）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）首先根据条件填写列联表，并根据公式计算，并和比较大小，并得出判断；‎ ‎（2）依题意，根据分层抽样，分别计算抽到线上学习时间不少于5小时的学生和线上学习时间不足5小时的学生人数，并编号列举所有基本事件，计算至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率.‎ ‎【详解】（1）‎ 分数不少于120分 分数不足120分 合计 线上学习时间不少于5小时 ‎15‎ ‎4‎ ‎19‎ 线上学习时间不足5小时 ‎10‎ ‎16‎ ‎26‎ 合计 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ - 18 -‎ ‎∵‎ ‎∴有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关” ‎ ‎（2）依题意，抽到线上学习时间不少于5小时的学生人，设为，，，线上学习时间不足5小时的学生2人，设为，‎ 所有基本事件有：‎ ‎，，，，，，，，，共10种 至少1人每周线上学习时间不足5小时包括：，，，，，，共7种 故至少1人每周线上学习时间不足5小时的概率为（或0.7）‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验和古典概型，重点考查读懂题意，重点考查根据数据分析问题，解决问题的能力，属于基础题型，本题第二问的关键是根据分层抽样正确求出两组的人数.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，其中左焦点为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的中点在圆上，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意求出、的值，即可得出椭圆的方程；‎ ‎（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，并将点的坐标代入圆的方程，可求出实数的值.‎ ‎【详解】（1）由题意可得，，则，‎ - 18 -‎ 因此，椭圆的方程为；‎ ‎（2）设点、，‎ 将直线的方程与椭圆的方程联立，得，‎ ‎，解得.‎ 由韦达定理得，则，.‎ 所以，点的坐标为，‎ 代入圆的方程得，解得，合乎题意.‎ 综上所述，.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了弦的中点问题，考查运算求解能力，属于中等题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若方程没有实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）单调递减，在上单调递增；‎ ‎（II）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）先对函数求导，结合导数与单调性的关系即可求解函数的单调性；‎ ‎（II）由没有实数解，结合a的范围，利用函数的单调性及函数的性质可判断函数的零点存在情况，即可求解．‎ - 18 -‎ ‎【详解】（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，‎ 所以，‎ 令，得，‎ 又因为函数单调递增，‎ 所以在上，，单调递减；‎ 在上，，单调递增.‎ ‎（II）方程没有实数解，‎ 即方程没有实数解，‎ 设函数，‎ ‎，‎ ‎（i）当时，，函数没有零点；‎ ‎（ii）当时，函数单调递减，，且，函数有零点；‎ ‎（iii）当时，令，则，‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，‎ 令，得，‎ 即函数没有零点，‎ 综上所述，若函数没有零点，‎ - 18 -‎ 即方程没有实数解，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了利用函数讨论含数的单调性问题，零点问题，导数与函数的综合应用，属于较难的压轴题．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程] ‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为 (为参数)．在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的方程为.‎ ‎(1)写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点坐标为，圆与直线交于两点，求值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由加减消元得直线的普通方程,由得圆的直角坐标方程；（2）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，由直线参数方程几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2,再根据韦达定理可得结果 试题解析：解：（Ⅰ）由得直线l的普通方程为x+y﹣3﹣=0‎ 又由得 ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程为x2+（y﹣）2=5；‎ ‎（Ⅱ）把直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，‎ 得（3﹣t）2+（t）2=5，即t2﹣3t+4=0‎ 设t1，t2是上述方程的两实数根，‎ 所以t1+t2=3‎ 又直线l过点P，A、B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ - 18 -‎ 所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．‎ ‎[选修4—5：不等式选讲] ‎ ‎23.已知函数，记不等式的解集为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，证明：.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用零点分段法将表示为分段函数的形式，由此解不等式求得不等式的解集.‎ ‎（2）将不等式坐标因式分解，结合（1）的结论证得不等式成立.‎ ‎【详解】（1）解：，‎ 由，解得，‎ 故.‎ ‎（2）证明：因为，所以，，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，属于基础题.‎ - 18 -‎