人教大纲版高考数学题库考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切

人教大纲版高考数学题库考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切

‎ ‎ 考点9 角的三角函数及两角和与差的正弦、余弦、正切 ‎1.（2010·全国卷Ⅰ文科·Ｔ1）（ ）‎ ‎(A) (B)- (C) (D) ‎ ‎【命题立意】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识 ‎【思路点拨】利用角的推广公式将然后根据诱导公式求解.‎ ‎【规范解答】选C. .‎ ‎2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ2）记,那么（ ）‎ ‎(A) (B)- (C) (D) -‎ ‎【命题立意】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识，着重考查了三角变换中的弦切互化.‎ ‎【思路点拨】由及求出sin80°，再利用公式 求出tan100°的值.‎ ‎【规范解答】选B.方法一：,‎ 所以 方法二：cos80º=k，‎ ‎3.（2010·江西高考理科·Ｔ７）E，F是等腰直角斜边AB上的三等分点，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【命题立意】本题主要考查两角和与差的三角函数公式及三角函数诱导公式．‎ ‎ 【思路点拨】先求、的三角函数值，再求的正切.‎ ‎ 【规范解答】选Ｄ．设=，=，则tan=tan=，所以=. ‎ ‎【方法技巧】本题也可建立直角坐标系，利用向量坐标来解决，以点C为坐标原点，CA，CB分别为x轴和y轴建立直角坐标系，且设直角边长为3，则C（0,0），A（3,0），B（0,3），E（2,1），F（1,2），所以，，故.在解决平面几何有关问题时，利用坐标向量求角、距离，判断平行、垂直，来得更加快捷，思路也畅顺.‎ ‎4.（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ13）已知α是第二象限的角,，则cosα=__________‎ ‎【命题立意】本题考查了同角的三角函数关系公式.‎ ‎【思路点拨】利用同角的平方关系和商数关系列出方程求解.注意α是第二象限的角，即cosα<0.‎ ‎【规范解答】 及,α是第二象限的角.所以cos=-.‎ ‎【答案】-‎ ‎5.（2010·全国Ⅰ文科·Ｔ14）已知为第二象限的角，,则 .‎ ‎【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.‎ ‎【思路点拨】由为第二象限的角，利用，求出，然后求出.利 用倍角的正切公式代入求解.‎ ‎【规范解答】因为为第二象限的角,又, 所以，,‎ 所以.‎ ‎【答案】‎ ‎6.（2010·全国Ⅰ理科·Ｔ14）已知为第三象限的角，,则 .‎ ‎【命题立意】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,‎ 同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.‎ ‎【思路点拨】由为第三象限的角，判断 所在的象限，然后利用sin22+cos22=1‎ 求出的值，由和求出的值，再根据两角和的正切公式化简计算求值.‎ ‎【规范解答】‎ ‎【方法1】因为为第三象限的角,所以，又<0, 所以,于是有,‎ ‎,所以.‎ ‎【方法2】为第三象限的角，，，k∈Z ‎，k∈Z 在第二象限，‎ ‎.‎ ‎【答案】‎ ‎7.（2010·上海高考理科·Ｔ4）行列式的值是 ．‎ ‎【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用．‎ ‎【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值．‎ ‎【规范解答】原式=．‎ ‎【答案】0‎ ‎8.（2010·上海高考文科·Ｔ3）行列式的值是 ．‎ ‎【命题立意】本题考查行列式的计算及三角公式的应用．‎ ‎【思路点拨】先按行列式的计算公式计算，再用三角公式化简、求值．‎ ‎【规范解答】原式=．‎ ‎【答案】‎ ‎9.（2010·重庆高考文科·Ｔ１5）如图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。设第i段弧所对的圆心角为αi（i=1,2,3），则 ‎ ‎【命题立意】本小题考查圆的性质等基础知识，考查三角函数的基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法，考查化归与转化的思想.‎ ‎【思路点拨】第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角，再根据三个圆心确定的正三角形求解.‎ ‎【规范解答】作三段圆弧的连心线，连结一段弧的 ‎ 两个端点，如图所示,△是正三角形，点P是其中心，‎ 根据圆的有关性质可知，‎ 第i段弧所对的圆心角为αi都是，‎ 所以 ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】利用圆的对称性等有关性质可以快速解答.‎ ‎10.（2010·四川高考理科·Ｔ19）‎ ‎（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式；‎ ‎②由推导两角和的正弦公式+.‎ ‎（Ⅱ）已知的面积，且，求.‎ ‎【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的（Ⅰ）①②‎ 为课本上的内容，体现出试题源于课本的特点.‎ ‎【思路点拨】（I）①在单位圆中，分别作出角，，，，利用三角函数定义，分别写出各角的终边，始边与单位圆的交点坐标，由圆的性质，可知，结合两点间距离公式即可求解. ②中求的是两角和的正弦值，需借助能把余弦变为正弦的诱导公式，故可用求解.本题第（Ⅱ）问，由三角形的面积公式，向量的数量积公式可求得角的正、余弦值，又知的余弦值， 故可求的值，由诱导公式.‎ ‎【规范解答】（I）①如图，在平面直角坐标系内作单位圆， ‎ 并作出角，与，使角的始边为，交⊙于点，‎ 终边交⊙于点；角的始边为,终边交⊙于点，‎ 的始边位，终边交⊙于点，则，，‎ ‎，，‎ 由及两点间的距离公式得 展开并整理得，，‎ ‎∴.‎ ‎②∵，，‎ ‎ 由①易得 ‎，‎ ‎ ∴.‎ ‎（II）由题意，设的角，的对边分别为、，‎ 则S，bc ‎∴，，‎ 又,∴.‎ 由得，.‎ ‎.‎ ‎ 故.‎ ‎【方法技巧】对于本题的第（I）可用向量求解.‎ 解法如下：在平面直角坐标系内作单位圆，‎ 以为始边作角，，它们的终边与单位圆 的交点分别为，‎ 则，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 由向量数量积的概念可知，须[0,π]，‎ 则时，(0,π]，‎ ‎，故对任意的，，‎ 都有成立.‎ ‎.‎ ‎11.（2010·四川高考文科·Ｔ19）‎ ‎ （Ⅰ）证明两角和的余弦公式；‎ ‎ 由推导两角和的正弦公式.‎ ‎（Ⅱ）已知求.‎ ‎【命题立意】本小题考查两角和的正、余弦公式、诱导公式、三角形面积公式，平面向量的数量积公式、同角三角函数的基本关系等基础知识及运算能力. 本题的（Ⅰ）①②为课本上的内容，体现出试题源于课本的特点.‎ ‎【思路点拨】（Ⅱ）分别求出,,的值，套用公式求解.‎ ‎【规范解答】（Ⅰ）同理T19‎ ‎(Ⅱ）∵，∴.‎ ‎∵，∴，.‎ ‎. ‎