【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-5三角函数的图象和性质学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）4-5三角函数的图象和性质学案

‎§4.5　三角函数的图象和性质 考纲展示►　‎ ‎1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．‎ ‎2．借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在上的性质．‎ 考点1　三角函数的定义域与值域 正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z).‎ ‎(1)[教材习题改编]函数y＝Asin x＋1(A>0)的最大值是3，则它的最小值是________．‎ 答案：－1‎ 解析：依题意，得A＋1＝3，所以A＝2，所以函数y＝2sin x＋1的最小值为1－2＝－1.‎ ‎(2)[教材习题改编]不等式2cos x>1的解集为________．‎ 答案：　‎ 解析：不等式2cos x>1，即cos x>，作出y＝cos x的图象(图略)，得解集为.‎ 求三角函数最值(值域)的两种方法：化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式来求；换元法．‎ ‎(1)[2013·天津卷改编]函数f(x)＝sin在区间上的最小值为________．‎ 答案：－ 解析：由x∈，得2x－∈，所以sin∈，‎ 故函数f(x)＝sin在区间上的最小值为－.‎ ‎(2)已知x∈，则函数y＝－cos2x＋cos x＋1的最小值为________．‎ 答案： 解析：y＝－cos2x＋cos x＋1＝－2＋，令t＝cos x，‎ 因为x∈，所以－≤t≤，‎ 所以当t＝cos x＝－时，‎ ymin＝－2＋＝.‎ ‎[典题1]　(1)函数y＝lg(2sin x－1)＋的定义域是________．‎ ‎[答案]　，k∈Z ‎[解析]　要使函数y＝lg(2sin x－1)＋有意义，则即 解得2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z.‎ 即函数的定义域为，k∈Z.‎ ‎(2)函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值的和为________．‎ ‎[答案]　2－ ‎[解析]　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，‎ ‎∴－≤sin≤1，‎ 故－≤2sin≤2.‎ 即函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值为2，最小值为－.‎ 所以最大值与最小值的和为2－.‎ ‎[题点发散1]　若将本例(2)中的函数换为“y＝3－sin x－2cos2x，x∈”，如何解决？‎ 解：∵x∈，∴sin x∈.‎ 又y＝3－sin x－2cos2x ‎＝3－sin x－2(1－sin2x)‎ ‎＝22＋，‎ ‎∴当sin x＝时，ymin＝；‎ 当sin x＝－或sin x＝1时，ymax＝2.‎ 故函数的最大值与最小值的和为2＋＝.‎ ‎[题点发散2]　若将本例(2)中的函数换为“y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]”，如何求解？‎ 解：令t＝sin x－cos x，又x∈[0，π]，‎ ‎∴t＝sin，t∈[－1， ]．‎ 由t＝sin x－cos x，得t2＝1－2sin xcos x，‎ 即sin xcos x＝.‎ ‎∴原函数变为y＝t＋，t∈[－1， ]．‎ 即y＝－t2＋t＋.‎ ‎∴当t＝1时，ymax＝－＋1＋＝1；‎ 当t＝－1时，ymin＝－－1＋＝－1.‎ 故函数的最大值与最小值的和为0.‎ ‎[题点发散3]　若将本例(2)中的函数换为“y＝sin x(cos x－sin x)，x∈”，如何求解？‎ 解：y＝sin x(cos x－sin x)＝sin xcos x－sin2x ‎＝sin 2x－ ‎＝(sin 2x＋cos 2x)－ ‎＝sin－.‎ ‎∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，‎ ‎∴当2x＋＝，即x＝时，ymax＝.‎ 当2x＋＝或2x＋＝，即x＝0或x＝时，ymin＝0，故函数的最大值与最小值的和为.‎ ‎[点石成金]　1.求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．‎ ‎2．求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型：‎ ‎(1)形如y＝asin x＋bcos x＋k的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再求最值(值域)；‎ ‎(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋k的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；‎ ‎(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值).‎ ‎1.函数y＝的定义域为________．‎ 答案： 解析：解法一：要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示．‎ 在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为.‎ 解法二：利用三角函数线，画出满足条件的终边 范围(如图阴影部分所示)．‎ ‎∴定义域为.‎ 解法三：sin x－cos x＝sin≥0，‎ 将x－视为一个整体，由正弦函数y＝sin x的图象和性质可知，2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)，‎ 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)．‎ 所以定义域为.‎ ‎2．函数f(x)＝cos2x＋sin x的值域为________．‎ 答案： 解析：f(x)＝cos2x＋sin x＝－sin2x＋sin x＋1＝－2＋，又∵x∈，‎ ‎∴sin x∈，∴f(x)∈.‎ 考点2　三角函数的单调性 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 单调 性 在上________；‎ 在上________‎ 在[2kπ，______]上单调递减；在[2kπ－π，____]上单调递增 在上 ‎______‎ 答案：单调递增　单调递减　2kπ＋π　2kπ　单调递增 ‎(1)[教材习题改编]函数y＝2cos x在区间[－π，0]上是________函数，在区间[0，π]上是________函数．‎ 答案：增　减 解析：由余弦函数的单调性，得函数y＝2cos x在区间[－π，0]上是增函数，在区间[0，π]上是减函数．‎ ‎(2)[教材习题改编]函数y＝tan的最小正周期是________，单调增区间是________．‎ 答案：2　，k∈Z 单调性问题中的误区：单调区间表达不全；忽略影响单调性的符号．‎ ‎(1)函数y＝2sin x－1的单调递增区间是_____________．‎ 答案：(k∈Z)‎ 解析：函数y＝2sin x－1的单调性与正弦函数y＝sin x单调性一致．‎ ‎(2)函数y＝2－3cos x的单调递减区间是_____________________．‎ 答案：[2kπ－π，2kπ](k∈Z)‎ 解析：函数y＝2－3cos x的单调递减区间即为函数y＝－cos x的单调递减区间，也就是函数y＝cos x的单调递增区间，即[2kπ－π，2kπ](k∈Z)．‎ ‎[典题2]　(1)[2017·福建连城朋口中学高三上期中]函数y＝cos的单调递增区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ ‎[答案]　B ‎[解析]　∵cos＝cos，‎ ‎∴只需求y＝cos的单调递增区间，‎ 由2kπ－π≤x－≤2kπ得，‎ ‎－＋2kπ≤x≤＋2kπ，‎ 所以y＝cos的单调递增区间是 (k∈Z)，故选B.‎ ‎(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D．(0,2]‎ ‎[答案]　A ‎ [解析]　由＜x＜π得ω＋＜ωx＋＜πω＋，‎ 由题意知⊆，‎ ‎∴ ∴≤ω≤，故选A.‎ ‎[点石成金]　1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再求y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sin x的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数．‎ ‎2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法 ‎(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解．‎ ‎(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．‎ ‎(3)周期性：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解．‎ ‎3．若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.‎ 求函数f(x)＝sin的单调减区间．‎ 解：由已知可得，函数为y＝－sin，‎ 欲求函数的单调减区间，只需求y＝sin的单调增区间．‎ 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.‎ 故所求函数的单调减区间为(k∈Z)．‎ 考点3　三角函数的奇偶性、周期性及对称性 ‎　‎ 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 续表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 周期性 ‎2π ‎2π π 奇偶性 ‎________‎ ‎________‎ 奇函数 对称中心 ‎________‎ 续表 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 对称轴 x＝kπ＋ ‎________‎ 答案：奇函数　偶函数　(kπ，0)　x＝kπ 影响奇偶性判断的两个因素：函数化简有误；不注意定义域．‎ 下面两题请填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”中的一个．‎ ‎(1)函数y＝sin是________．‎ ‎(2)函数f(x)＝|sin x|＋cos x，x∈[－π，π)是________．‎ 答案：(1)偶函数　(2)非奇非偶函数 解析：(1)因为y＝sin＝sin＝－sin＝－cos x，则函数y＝sin是偶函数．‎ ‎(2)因为函数定义域不关于原点对称，所以函数不具奇偶性.‎ 正、余弦函数中每一条经过其最值点且垂直于x轴的直线都是它的________，也就是说正、余弦函数在对称轴处取得__________．‎ 答案：对称轴　最大值或最小值 ‎[考情聚焦]　正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．‎ 主要有以下几个命题角度：‎ 角度一 三角函数的周期性 ‎[典题3]　(1)函数y＝1－2sin2是(　　)‎ A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 ‎[答案]　A ‎[解析]　y＝1－2sin2 ‎＝cos 2＝－sin 2x，‎ 所以f(x)是最小正周期为π的奇函数．‎ ‎(2)设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ ‎[答案]　π ‎[解析]　∵f(x)在区间上具有单调性，所以≥－，即T ≥，‎ 又f＝f，‎ 所以x＝和x＝均不是f(x)的对称轴，‎ 其对称轴应为x＝＝，‎ 又因为f＝－f，且f(x)在区间上具有单调性，‎ 所以f(x)的一个对称中心的横坐标为＝，‎ 故函数f(x)的最小正周期 T＝4×＝π.‎ 角度二 求三角函数的对称轴或对称中心 ‎[典题4]　(1)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎[答案]　A ‎[解析]　＝2，即ω＝1，‎ ‎∴f(x)＝sin(x＋φ)，‎ ‎∴f＝sin＝±1.‎ ‎∵0＜φ＜π，∴＜φ＋＜，‎ ‎∴φ＋＝，∴φ＝.‎ ‎(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点中心对称，那么|φ|的最小值为________．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　由题意，得3cos＝3cos＝3cos＝0，‎ ‎∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝kπ－，k∈Z，‎ 取k＝0，得|φ|的最小值为.‎ 角度三 三角函数的奇偶性 ‎[典题5]　已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函数，则θ的值为(　　)‎ A．0 B. ‎ C. D. ‎[答案]　B ‎[解析]　据已知可得f(x)＝2sin，若函数为偶函数，则必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，‎ 又由于θ∈，故有θ＋＝，‎ 解得θ＝，经代入检验符合题意．‎ ‎[点石成金]　函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的奇偶性和对称性 ‎(1)若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则当x＝0时，f(x)取得最大值或最小值；若f(x)＝Asin(ωx＋φ)为奇函数，则当x＝0时，f(x)＝0.‎ ‎(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检测f(x0)的值进行判断．‎ ‎(3)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数图象的对称轴或对称中心时，都是把“ωx＋φ”看作一个整体，然后根据y＝sin x和y＝cos x的图象的对称轴或对称中心进行求解.‎ ‎[方法技巧]　1.讨论三角函数的性质，应先把函数式化成y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．‎ ‎2．对于函数y＝sin(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．‎ ‎3．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.‎ ‎4．三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．‎ ‎5．在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：‎ 设f(x)＝Asin(ωx＋φ)，g(x)＝Acos(ωx＋φ)，x＝x0是对称轴方程⇔f(x0)＝±A，g(x0)＝±A；(x0,0)是对称中心⇔f(x0)＝0，g(x0)＝0.‎ ‎[易错防范]　1.闭区间上的最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．‎ ‎2．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时要注意ω的符号，尽量化成ω>0时的情况．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2015·四川卷]下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是(　　)‎ A．y＝cos B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 答案：A 解析：y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos 2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确．‎ ‎2．[2016·浙江卷]设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期(　　)‎ A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关 C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 答案：B 解析：由于f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝＋bsin x＋c.当b＝0时，f(x ‎)的最小正周期为π；当b≠0时，f(x)的最小正周期为2π.c的变化会引起f(x)图象的上下平移，不会影响其最小正周期．故选B.‎ ‎3．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为(　　)‎ A．11 B．9 ‎ C．7 D．5‎ 答案：B 解析：因为x＝－为函数f(x)的零点，x＝为y＝f(x)图象的对称轴，所以＝＋(k∈Z，T为周期)，得T＝(k∈Z)．又f(x)在上单调，所以T≥，k≤.又当k＝5时，ω＝11，φ＝－，f(x)在上不单调；当k＝4时，ω＝9，φ＝，f(x)在上单调，满足题意，故ω＝9，即ω的最大值为9.‎ ‎4．[2015·浙江卷]函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．‎ 答案：π　(k∈Z)‎ 解析：∵f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1‎ ‎＝＋sin 2x＋1‎ ‎＝sin 2x－cos 2x＋ ‎＝sin＋，‎ ‎∴ 函数f(x)的最小正周期T＝π.‎ 令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．‎ ‎5．[2015·重庆卷]已知函数f(x)＝sinsin x ‎－cos2x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期和最大值；‎ ‎(2)讨论f(x)在上的单调性．‎ 解：(1)f(x)＝sinsin x－cos2x ‎＝cos xsin x－(1＋cos 2x)‎ ‎＝sin 2x－cos 2x－ ‎＝sin－，‎ 因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.‎ ‎(2)当x∈时，0≤2x－≤π.‎ 当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增；‎ 当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．‎ 综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减．‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 三角函数的最值问题 三角函数的最值问题是三角函数中最基本的问题，是历年高考考查的重点和热点内容，对于这类问题如果能找到恰当的方法，掌握其规律，就可以简捷地求解．前面考点3中介绍了两种类型，还有如下几种常见类型．‎ ‎1．y＝asin2x＋bsin x＋c型函数的最值 可将y＝asin2x＋bsin x＋c中的sin x看作t，即令t＝sin x，则y＝at2＋bt＋c，这样就转化为二次函数的最值问题．但这里应注意换元前后变量的取值范围要保持不变，即要根据给定的x的取值范围，求出t的范围．另外，y＝acos2x＋bcos x＋c，y＝asin2x＋bcos x＋c等形式的函数的最值都可归为此类．‎ ‎[典例1]　设x∈，求函数y＝4sin2x－12sin x－1的最值．‎ ‎[思路分析]　‎ → ‎→ ‎[解]　令t＝sin x，由于x∈，‎ 故t∈.‎ y＝4t2－12t－1＝42－10，‎ 因为当t∈时，函数单调递减，‎ 所以当t＝－，即x＝－时，ymax＝6；‎ 当t＝1，即x＝时，ymin＝－9.‎ ‎2．y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函数的最值 可利用降幂公式将y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x整理转化为y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C求最值．‎ ‎[典例2]　求函数y＝sin x(cos x－sin x)的最大值．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[解]　y＝sin x(cos x－sin x)‎ ‎＝sin xcos x－sin2x ‎＝sin 2x－ ‎＝(sin 2x＋cos 2x)－ ‎＝sin－.‎ 因为00，a>1时，不能用基本不等式求最值，宜用函数在区间上的单调性求解．‎