天津市静海区第一中学2020届高三3月学生学业能力调研考试数学试题

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天津市静海区第一中学2020届高三3月学生学业能力调研考试数学试题

静海一中2019-2020第二学期高三数学(5周)‎ 学生学业能力调研考试试卷 考生注意:本次考试收到试卷1:45考试时间为2:00—3:30交卷时间截止到3:40请同学们严格按照考试时间作答,并将答题纸拍照上传 本试卷分第Ⅰ卷基础题(130分)和第Ⅱ卷提高题两部分,共150分.‎ 知识与技能 学习能力(学法)‎ 内容 函数与导数 三角函数与解三角形 数列 集合与简易逻辑 易混易错 方法归类 一题多变 分数 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ 第Ⅰ卷基础题(共130分)‎ 一、选择题:(每小题6分,共42分,每小题只有一个正确选项)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由绝对值不等式的解法和对数函数的性质,求得,,再根据集合的运算,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,可求得,,则,‎ 所以.故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数的混合运算,其中解答中涉及到绝对值不等式的求解,以及对数函数的性质,正确求解集合 是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.‎ ‎2.已知,则“”是“”的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 找到两个不等式之间的关系,理解充分,必要条件的概念可得结果.‎ 详解】由,所以或,‎ 即或,所以可知 ‎“”是“”的充分不必要条件.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查充分,必要条件的概念,可以等价于集合之间的包含关系,属基本题型.‎ ‎3.已知是定义在上的偶函数,且在上是增函数.设,,,则,,的大小关系是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数的对称性分析函数的单调性,利用指数函数、对数函数的单调性比较出的大小关系从而比较函数值的大小关系.‎ ‎【详解】由题意可知在上是增函数,在上是减函数.‎ 因为,,,‎ 所以,故.‎ 故选:A ‎【点睛】本题考查函数的性质,利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系,涉及指数函数、对数函数的单调性,属于基础题.‎ ‎4.在平面直角坐标系中,经过点,渐近线方程为的双曲线的标准方程为( )‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所求双曲线的渐近线方程为,可设所求双曲线的标准方程为k.再把点代入,求得 k的值,可得要求的双曲线的方程.‎ ‎【详解】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k.又在双曲线上,则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为 故选B ‎【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程,双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于基础题.‎ ‎5.函数的部分图像大致为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断函数的奇偶性,再根据与的性质,确定函数图象 ‎【详解】,定义域为,,所以函数是偶函数,排除A、C,又因为且接近时,,且,所以,选择B ‎【点睛】函数图象的辨识可以从以下方面入手:‎ ‎1从函数定义域,值域判断;‎ ‎2.从函数的单调性,判断变化趋势;‎ ‎3.从函数的奇偶性判断函数的对称性;‎ ‎4.从函数的周期性判断;‎ ‎5.从函数的特征点,排除不合要求的图象 ‎6.将函数的图像向右平移个单位长度,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,若为奇函数,则的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的变换规则表示出,根据是奇函数,可得的取值,再求其最小值.‎ ‎【详解】解:由题意知,将函数的图像向右平移个单位长度,得,再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变),得到函数的图像,,‎ 因为是奇函数,‎ 所以,解得,‎ 因为,所以的最小值为.‎ 故选:‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质,属于基础题.‎ ‎7.若函数,有三个不同的零点,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知且,故函数最多两个零点,故函数必须有零点,而函数是单调函数,故函数最多有一个零点,所以得出函数必须有一个零点,函数必须有两个零点,再结合图象,根据函数零点存在定理得出的范围.‎ ‎【详解】解:由题意可知且,‎ 当时,‎ 函数的导函数为,‎ 所以函数在为减函数,在为增函数,‎ 故函数最多两个零点;‎ 而当时,‎ 函数是单调函数,‎ 故函数最多有一个零点;‎ 根据上述分析可以得出:函数必须有两个零点,函数必须有一个零点.‎ 当时,‎ 在函数中,‎ 因为,‎ 故,解得,‎ 当时,‎ 当时,函数单调递减,‎ ‎,不满足题意,‎ 当时,函数是单调递增,‎ 因为在时有一个零点,‎ 则,解得:‎ 综上:,故选C.‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数的零点问题,解题时运用了数形结合、分类讨论等思想方法进行求解,属于较难题.‎ 二、填空题(每小题6分共42分)‎ ‎8.若复数(i为虚数单位)为纯虚数,则实数的值为______‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将整理为的形式,再令实部为0,虚部不为0求解即可 ‎【详解】由题,,‎ 因为是纯虚数,所以,‎ 故答案为:0‎ ‎【点睛】本题考查已知复数类型求参数,考查复数的除法法则的应用 ‎9.在一次医疗救助活动中,需要从A医院某科室的6名男医生、4名女医生中分别抽调3名男医生、2名女医生,且男医生中唯一的主任医师必须参加,则不同的选派案共有________种.(用数字作答)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先选派男医生中唯一的主任医师,由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.‎ ‎【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师,‎ 然后从名男医生、名女医生中分别抽调2名男医生、名女医生,‎ 故选派的方法为:.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则:一是按元素(或位置)的性质进行分类;二是按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置).‎ ‎10.过点作直线,与圆交于两点, 若,则直线的方程为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的方程化为标准方程,确定圆心与半径,当斜率存在时,设斜率为,方程,利用垂径定理,结合勾股定理, 可求得 的值,再验证当斜率不存在时是否满足题意即可得结果.‎ ‎【详解】圆化为,圆心,半径,‎ 点在圆内,‎ 当斜率存在时,设斜率为,方程,即,‎ 圆心到直线距离为,‎ ‎,的方程 当斜率不存在时,直线也满足,‎ 的方程或,‎ 故答案为或.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆的方程与性质,以及点到直线距离公式以及圆的弦长的求法,求圆的弦长有两种方法:一是利用弦长公式,结合韦达定理求解;二是利用半弦长,弦心距,圆半径构成直角三角形,利用勾股定理求解.‎ ‎11.若实数满足,且,则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据对数的运算性质可得xy=2,再根据基本不等式即可求 ‎【详解】实数x、y满足x>y>0,且log2x+log2y=1,则xy=2,‎ 则,‎ 当且仅当x﹣y,即x﹣y=2时取等号 故的最大值为,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,考查了对数的运算,其中对代数式进行变形与灵活配凑,是解本题的关键,属于中等题.‎ ‎12.三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为,的体积为,则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由已知设点到平面距离为,则点到平面距离为,‎ 所以,‎ 考点:几何体的体积.‎ ‎13.已知四边形中,,,为中点且,则___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量基本定理将与都用来表示,进行数量积的运算即可.‎ ‎【详解】,‎ 又,,‎ ‎,‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量基本定理的应用,考查了数量积的运算,属于中档题.‎ ‎14.已知函数,其中为自然对数的底数,若,则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用奇偶性定义判断函数的奇偶性,利用导数结合不等式与三角函数的有界性判断函数的单调性,再将原不等式转化为求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,‎ ‎,‎ 是奇函数,且,‎ 又,‎ ‎,‎ ‎,‎ 在上递增,‎ ‎,‎ 化为,‎ ‎,故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性,考查了奇偶性的应用、单调性的应用,属于难题. 解决抽象不等式时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数,则;若函数为减函数,则.‎ 三、解答题(46分)‎ ‎15.在中,内角所对的边分别为.已知,.‎ ‎(I)求的值;‎ ‎(II)求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ 试题分析:利用正弦定理“角转边”得出边的关系,再根据余弦定理求出,‎ 进而得到,由转化为,求出,进而求出,从而求出的三角函数值,利用两角差的正弦公式求出结果.‎ 试题解析:(Ⅰ)解:由,及,得.‎ 由,及余弦定理,得.‎ ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ),可得,代入,得.‎ 由(Ⅰ)知,A为钝角,所以.于是,‎ ‎,故 ‎.‎ 考点:正弦定理、余弦定理、解三角形 ‎【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系,利用“角转边”寻求边的关系,利用余弦定理借助三边关系求角,利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点,经常利用三角形内角和定理,三角形面积公式,结合正、余弦定理解题.‎ ‎16.如图,在三棱锥中,顶点在底面上的射影在棱上,,,,为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证: ‎ ‎(Ⅱ)求二面角的余弦值;‎ ‎(Ⅲ)已知是平面内一点,点为中点,且平面,求线段的长.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;‎ ‎(Ⅱ);‎ ‎(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论;‎ ‎(Ⅱ)建立空间直角坐标系,求得半平面的法向量,利用法向量计算余弦值即可;‎ ‎(Ⅲ)利用空间向量求得点Q的坐标,然后结合点P的坐标可得线段的长.‎ ‎【详解】(Ⅰ)∵顶点在底面上的射影在棱上,‎ ‎∴平面平面,‎ ‎∵,∴,‎ ‎∵平面平面,∴平面,面,∴,‎ 由,,得,∴,‎ ‎∵,∴平面.‎ ‎(Ⅱ)连结,分别以、、为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,‎ ‎,,,,,,‎ ‎,,,‎ 设为平面的一个法向量,则,‎ 取,得,‎ ‎,,‎ 设平面的法向量,则,‎ 取,则,‎ 设二面角的平面角为,则.‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎(Ⅲ)设,,‎ 因为平面,所以 所以,,所以.‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和二面角的求解问题,意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力;解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,通过严密推理,同时对于立体几何中角的计算问题,往往可以利用空间向量法,通过求解平面的法向量,利用向量的夹角公式求解.‎ ‎17.已知数列满足.‎ ‎(1)设,求数列的通项公式;‎ ‎(2)求数列的前项和;‎ ‎(3)记,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)(3)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】(1)由得,得;‎ ‎(2)易得, ‎ 错位相减得 所以其前项和;‎ ‎(3)‎ ‎,‎ ‎ 或写成.‎ 点睛:用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形;(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式;(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ 第Ⅱ卷提高题(共20分)‎ ‎18.已知函数.‎ ‎(1)若曲线存在斜率为-1的切线,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)求的单调区间;‎ ‎(3)设函数,求证:当时, 在上存在极小值.‎ ‎【答案】(1) .(2)答案见解析;(3)证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析:‎ ‎(1)求出函数的导数,问题转化为存在大于的实数根,根据在时递增,求出的范围即可;‎ ‎(2)求出函数的导数,通过讨论的范围,判断导数的符号,求出函数的单调区间即可;‎ ‎(3)求出函数,根据,得到存在,满足,从而让得到函数单调区间,求出函数的极小值,证处结论即可.‎ 试题解析:‎ ‎(1)由得.‎ 由已知曲线存在斜率为-1的切线,所以存在大于零的实数根,‎ 即存在大于零的实数根,因为在时单调递增,‎ 所以实数a的取值范围.‎ ‎(2)由可得 当时, ,所以函数的增区间为;‎ 当时,若, ,若, ,‎ 所以此时函数的增区间为,减区间为.‎ ‎(3)由及题设得,‎ 由可得,由(2)可知函数在上递增,‎ 所以,取,显然,‎ ‎,所以存在满足,即存在满足,所以, 在区间(1,+∞)上的情况如下:‎ ‎ ‎ ‎ - 0 +‎ ‎ ↘ 极小 ↗‎ 所以当-1
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