高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 选修4－1 第70课 课时分层训练14

高考数学 17-18版 附加题部分 第3章 选修4－1 第70课 课时分层训练14

课时分层训练(十四)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ ‎1．如图7011，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.‎ 图7011‎ 求证：△ABD∽△AEB.‎ ‎[证明]　因为AB＝AC.‎ 所以∠ABD＝∠C.‎ 又⊙O是三角形ABC的外接圆，‎ 所以∠E＝∠C，从而∠ABD＝∠E.‎ 又∠BAE＝∠BAD.‎ 故△ABD∽△AEB.‎ ‎2．(2017·泰州模拟)如图7012，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC＝2OC.‎ 图7012‎ 求证：AC＝2AD. 【导学号：62172368】‎ ‎[证明]　连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，‎ 所以∠ADO＝∠ACB＝90°.‎ 又因为∠A＝∠A，‎ 所以Rt△ADO∽Rt△ACB，‎ 所以＝.‎ 又BC＝2OC＝2OD，‎ 故AC＝2AD.‎ ‎3．如图7013，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA＝6，AE＝9，PC＝3，CE∶ED＝2∶1，求BE的长．‎ 图7013‎ ‎[解]　由切割线定理，得PA2＝PC·PD.‎ 因此PD＝＝＝12.‎ 又PC＝3，所以CD＝PD－PC＝9.‎ 由于CE∶ED＝2∶1，‎ 因此CE＝6，ED＝3.‎ 由相交弦定理，AE·EB＝CE·ED，‎ 所以BE＝＝＝2.‎ ‎4．如图7014，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：‎ 图7014‎ ‎(1)∠MEN＋∠NOM＝180°；‎ ‎(2)FE·FN＝FM·FO. 【导学号：62172369】‎ ‎[证明]　(1)如图所示，因为点M，N分别是弦AB，CD的中点，‎ 所以OM⊥AB，ON⊥CD，‎ 则∠OME＝90°，∠ENO＝90°，‎ 因此∠OME＋∠ONE＝180°.‎ 又四边形的内角和等于360°，‎ 故∠MEN＋∠NOM＝180°.‎ ‎(2)由(1)知，点O，M，E，N四点共圆．‎ 由割线定理，得FE·FN＝FM·FO.‎ B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．如图7015，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD.‎ 图7015‎ ‎(1)求证：l是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径OA＝5，AC＝4，求CD的长．‎ ‎[解]　(1)证明：连结OP，∵AC⊥l，BD⊥l，‎ ‎∴AC∥BD.‎ 又OA＝OB，PC＝PD，‎ ‎∴OP∥BD，从而OP⊥l.‎ ‎∵点P在⊙O上，‎ ‎∴l是⊙O的切线．‎ ‎(2)由(1)可得OP＝(AC＋BD)，‎ ‎∴BD＝2OP－AC＝10－4＝6.‎ 过点A作AE⊥BD，垂足为E，则 BE＝BD－AC＝6－4＝2.‎ ‎∴在Rt△ABE中，AE＝＝＝4，‎ ‎∴CD＝4.‎ ‎2．(2016·全国卷Ⅰ)如图7016，△OAB是等腰三角形，∠AOB＝120°，以O为圆心，OA为半径作圆．‎ 图7016‎ ‎(1)证明：直线AB与⊙O相切；‎ ‎(2)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.‎ ‎[证明]　(1)设E是AB的中点，连结OE.‎ 因为OA＝OB，∠AOB＝120°，‎ 所以OE⊥AB，∠AOE＝60°.‎ 在Rt△AOE中，OE＝AO，即O到直线AB的距离等于⊙O的半径，所以直线AB与⊙O相切．‎ ‎(2)因为OA＝2OD，‎ 所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心．‎ 设O′是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO′.‎ 由已知得O在线段AB的垂直平分线上，‎ 又O′在线段AB的垂直平分线上，所以OO′⊥AB.‎ 同理可证，OO′⊥CD，所以AB∥CD.‎ ‎3．如图7017，圆内接四边形ABCD的边BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．‎ 图7017‎ ‎(1)若EF∥CD，证明：EF2＝FA·FB；‎ ‎(2)若EB＝3EC，EA＝2ED，求的值．‎ ‎[解]　(1)证明：因为四边形ABCD内接于圆，所以∠B＝∠CDE.‎ 又EF∥CD，所以∠CDE＝∠FEA，‎ 因此，∠B＝∠FEA.‎ 而∠F为公共角，‎ 所以△FAE∽△FEB，‎ 于是，＝，即EF2＝FA·FB.‎ ‎(2)由割线定理，得ED·EA＝EC·EB，即ED·2ED＝EC·3EC，‎ 所以＝，即＝.‎ 因为∠B＝∠CDE，∠CED是公共角，所以△ECD∽△EAB，‎ 于是，＝＝＝·＝.‎ ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)如图7018，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．‎ 图7018‎ ‎(1)若∠PFB＝2∠PCD，求∠PCD的大小；‎ ‎(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明OG⊥CD.‎ ‎[解]　(1)如图，连结PB，BC，‎ 则∠BFD＝∠PBA＋∠BPD，‎ ‎∠PCD＝∠PCB＋∠BCD.‎ 因为＝，‎ 所以∠PBA＝∠PCB.‎ 又∠BPD＝∠BCD，‎ 所以∠BFD＝∠PCD.‎ 又∠PFB＋∠BFD＝180°，∠PFB＝2∠PCD，‎ 所以3∠PCD＝180°，‎ 因此∠PCD＝60°.‎ ‎(2)证明：因为∠PCD＝∠BFD，‎ 所以∠EFD＋∠PCD＝180°，‎ 由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，‎ 故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，‎ 所以G在CD的垂直平分线上．‎ 又O也在CD的垂直平分线上，因此OG⊥CD.‎