2018-2019学年云南省腾冲市第八中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2018-2019学年云南省腾冲市第八中学高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

腾八中2018—2019学年度高二下学期期中考试 文科数学试卷 ‎ 考试时间：120分钟，总分150分 ‎ 一．选择题（共12小题）‎ ‎1．已知全集U＝{x||x|＜2}，集合P＝{x|log2x＜1}，则∁UP＝（　　）‎ A．（﹣2，0] B．（﹣2，1] C．（0， 1） D．[1，2）‎ ‎2．若log2a＝0.3，0.3b＝2，c＝0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c ‎3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．2 B． ‎ C．2 D．2‎ ‎4．函数f（x）＝x2﹣6x+2ex的极值点所在区间为（　　）‎ A．（0， 1） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎5．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（　　）‎ A．20 B．27 C．54 D．64‎ ‎6．已知向量、的夹角为，且，，则＝（　　）‎ A． B．10 C． D．26‎ ‎7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，，2a2成等差数列，则＝（　　）‎ A．1 B．3 C．6 D．9‎ ‎8．若x、y满足，则目标函数f＝x+2y的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．△ABC中，（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC．其中a，b，c分别为内角A，B，C 的对边，则A＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＜0，f（0）＝1，则不等式exf（x）＜1的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）‎ ‎11．设函数，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程是（　　）‎ A． 5x﹣y﹣4＝0 B．3x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y＝0 D．x＝1‎ ‎12．已知点P是椭圆E：＝1上的任意一点，AB是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条直径，则的最大值是（　　）‎ A．32 B．36 C．40 D．48‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为， 则点A的直角坐标为　 　．‎ ‎14．实数x，y满足3x2+4y2＝12，则2x+y的最大值　 　．‎ ‎15．曲线上的点到直线的最大距离为　 　．‎ ‎16．若函数f（x）＝1+|x|+，则f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）＝　 　．‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知等比数列{an}的首项为2，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且a1+a2＝6，2b1+a3＝b4，S3＝3a2．‎ ‎（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎18．已知某单位全体员工年龄频率分布表为：‎ 年龄（岁）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ ‎[40，45）‎ ‎[45，50）‎ ‎[50，55）‎ 合计 人数（人）‎ ‎6‎ ‎18‎ ‎50‎ ‎31‎ ‎19‎ ‎16‎ ‎140‎ 经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如图：‎ ‎（Ⅰ）求a；‎ ‎（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；‎ ‎（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D是侧棱AA1的中点．‎ ‎（1）证明：DC1⊥平面BCD；‎ ‎（2）求三棱锥B1﹣BCD的体积．‎ ‎20．已知为椭圆上两点，过点P且斜率为k，﹣k（k＞0）的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0，求a的取值范围．‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，圆C的参数方程为．‎ ‎（1）求直线l1与圆C的普通方程；‎ ‎（2）已知动点P在圆C上，动点Q在直线l2：x﹣y﹣2＝0上，求线段PQ的取值范围.‎ 高二期中考试数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共13小题）‎ ‎1．已知全集U＝{x||x|＜2}，集合P＝{x|log2x＜1}，则∁UP＝（　　）‎ A．（﹣2，0] B．（﹣2，1] C．（0，1） D．[1，2）‎ ‎【解答】解：∵全集U＝{x||x|＜2}＝（﹣2，2），集合P＝{x|log2x＜1}＝（0，2）‎ ‎∴∁UP＝（﹣2，0]‎ 故选：A．‎ ‎2．若log2a＝0.3，0.3b＝2，c＝0.32，则实数a，b，c之间的大小关系为（　　）‎ A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c ‎【解答】解：a＝20.3＞20＝1，b＝log0.32＜log0.31＝0，0＜0.32＜1；‎ ‎∴a＞c＞b．‎ 故选：B．‎ ‎3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．2‎ ‎【解答】解：由题意，几何体的直观图如图，是正方体的一部分，四棱锥P﹣ABCD，‎ 几何体的表面积为：1×1+＝2+．‎ 故选：C．‎ ‎4．函数f（x）＝x2﹣6x+2ex的极值点所在区间为（　　）‎ A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（﹣2，﹣1）‎ ‎【解答】解：f′（x）＝2x﹣6+2ex，‎ ‎∴f′（1）＝2﹣6+2e＞0，f′（0）＝﹣6+2＜0，‎ 由f'（0）f'（1）＜0，‎ 故f（x）的极值点所在的区间为（0，1），‎ 故选：A．‎ ‎5．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒（大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（　　）‎ A．20 B．27 C．54 D．64‎ ‎【解答】解：设大正方体的边长为x，则小正方体的边长为﹣x，‎ 设落在小正方形内的米粒数大约为N，‎ 则＝，解得：N≈27‎ 故选：B．‎ ‎6．已知向量、的夹角为，且，，则＝（　　）‎ A． B．10 C． D．26‎ ‎【解答】解：向量、的夹角为，且，，‎ 则＝＝＝．‎ 故选：A．‎ ‎7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且3a1，，2a2成等差数列，则＝（　　）‎ A．1 B．3 C．6 D．9‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则 ‎∵各项均为正数的等比数列{an}，3a1，，2a2成等差数列，‎ ‎∴a3＝2a2+3a1，‎ ‎∴q2﹣2q﹣3＝0，‎ ‎∵q＞0，‎ ‎∴q＝3，‎ ‎＝q2＝9‎ 故选：D．‎ ‎8．若x、y满足，则目标函数f＝x+2y的最大值为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ 由z＝x+2y，得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线经过点A时，‎ 直线y＝﹣x+的截距最小，此时z最小，‎ 由，得A（1，1）‎ 此时z＝1+2×1＝3．‎ 故选：C．‎ ‎9．△ABC中，（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC．其中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则A＝（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：∵（a﹣b）（sinA+sinB）＝（c﹣b）sinC，‎ 由正弦定理可得，（a﹣b）（a+b）＝（c﹣b）c，‎ 化简可得，b2+c2﹣a2＝bc，‎ 由余弦定理可得，cosA＝＝‎ ‎∵0＜A＜π ‎∴A＝‎ 故选：B．‎ ‎10．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），若f（x）+f'（x）＜0，f（0）＝1，则不等式exf（x）＜1的解集为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，1） D．（1，+∞）‎ ‎【解答】解：根据题意，令g（x）＝exf（x），‎ 其导数g′（x）＝exf（x）+exf′（x）＝ex[f′（x）+f（x）]，‎ 又由对于任意实数x有f′（x）+f（x）＜0，则有g′（x）＝ex[f′（x）+f（x）]＜0，‎ 即函数g（x）在R上为减函数，‎ 又由f（0）＝1，则g（0）＝e0f（0）＝1，‎ 则exf（x）＜1⇒g（x）＜g（0），‎ 又由函数g（x）在R上为减函数，则有x＞0，‎ 即不等式exf（x）＜1的解集为（0，+∞）；‎ 故选：B．‎ ‎11．设函数，曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程是（　　）‎ A．5x﹣y﹣4＝0 B．3x﹣y﹣2＝0 C．x﹣y＝0 D．x＝1‎ ‎【解答】解：由，得f（1）＝f′（）﹣2，‎ 由，得f′（x）＝，取x＝，‎ 可得f′（）＝f′（）﹣2+2f（1），f（1）＝1，‎ 代入f（1）＝f′（）﹣2，得f′（）＝3，‎ ‎∴f（x）＝3x2﹣2x+lnx，则f′（x）＝6x﹣2+．‎ ‎∴f′（1）＝5，‎ ‎∴曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程是y﹣1＝5（x﹣1），即5x﹣y﹣4＝0．‎ 故选：A．‎ ‎12．已知点P是椭圆E：＝1上的任意一点，AB是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条直径，则的最大值是（　　）‎ A．32 B．36 C．40 D．48‎ ‎【解答】解：如图所示，设P（x，y），满足＝1．‎ ‎＝，＝，＝，＝﹣R2＝﹣4，‎ ‎∴＝（）•（）‎ ‎＝+•（）+＝﹣4，‎ ‎＝（x﹣2）2+y2﹣4‎ ‎＝（x﹣2）2+﹣4‎ ‎＝﹣4，﹣4≤x≤4．‎ ‎∴当且仅当x＝﹣4时，﹣4＝32．‎ ‎∴的最大值是32．‎ 故选：A．‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎13．以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A的极坐标为，则点A的直角坐标为　（1，）　．‎ ‎【解答】解：∵点A的极坐标为，‎ ‎∴x＝2cos＝1，‎ y＝2sin＝，‎ ‎∴点A的直角坐标为（1，）．‎ 故答案为：（1，）．‎ ‎14．实数x，y满足3x2+4y2＝12，则2x+y的最大值　5　．‎ ‎【解答】解：根据题意，实数x，y满足3x2+4y2＝12，即+＝1，‎ 设x＝2cosθ，y＝sinθ，‎ 则2x+y＝4cosθ+3sinθ＝5sin（θ+α），（tanα＝），‎ 又由﹣1≤5sin（θ+α）≤1，‎ 则﹣5≤2x+y≤5，‎ 即2x+y的最大值5；‎ 故答案为：5．‎ ‎15．曲线上的点到直线的最大距离为　　．‎ ‎【解答】解：设曲线上的点P（4cosθ，2sinθ），‎ 则曲线上的点到直线的距离：‎ d＝‎ ‎＝，‎ ‎∴当sin（）＝﹣1时，‎ 曲线上的点到直线的最大距离为：＝．‎ 故答案为：．‎ ‎16．若函数f（x）＝1+|x|+，则f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）＝　6　．‎ ‎【解答】解：f（x）＝1+|x|+，‎ ‎∴f（﹣x）+f（x）＝2+2|x|，‎ ‎∵lg＝﹣lg2，lg＝﹣lg5，‎ ‎∴f（lg2）+f（lg）+f（lg5）+f（lg）＝2×2+2（lg2+lg5）＝6，‎ 故答案为：6‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．已知等比数列{an}的首项为2，等差数列{bn}的前n项和为Sn，且a1+a2＝6，2b1+a3＝b4，S3＝3a2．‎ ‎（Ⅰ）求{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d．‎ 由a1+a2＝6，得 a1+a1q＝6．因为a1＝2，所以q＝2．‎ 所以．‎ 由得 解得 所以bn＝b1+（n﹣1）d＝3n﹣2．………..（8分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn＝3n﹣2．‎ 所以．‎ 从而数列{cn}的前n项和＝＝6×2n﹣2n﹣6．．（13分）‎ ‎18．已知某单位全体员工年龄频率分布表为：‎ 年龄（岁）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ ‎[40，45）‎ ‎[45，50）‎ ‎[50，55）‎ 合计 人数（人）‎ ‎6‎ ‎18‎ ‎50‎ ‎31‎ ‎19‎ ‎16‎ ‎140‎ 经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如图：‎ ‎（Ⅰ）求a；‎ ‎（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；‎ ‎（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率．‎ ‎【解答】（本小题13分）‎ 解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：（a+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025）×5＝1．‎ 所以a＝0.02．‎ ‎（Ⅱ）该单位[25，35）岁职工共24人，由于[25，35）岁男女职工人数相等，所以[25，35）岁的男职工共12人．‎ 由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25，35）岁的频率为0.15，‎ 所以男职工共有人，‎ 所以女职工有140﹣80＝60人，‎ 所以男女比例为4：3．‎ ‎（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25，30）岁的频率为0.05．‎ 由（Ⅱ）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在[25，30）岁的有4人，分别记为A1，A2，A3，A4．‎ 又全体员工年龄在[25，30）岁的有6人，所以女职工年龄在[25，30）岁的有2人，分别记为B1，B2．‎ 从年龄在25～30岁的职工中随机抽取两人的结果共有（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2），（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）15种情况，‎ 其中一男一女的有（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2）8种情况，‎ 所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为．‎ ‎19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝1，AA1＝2，点D是侧棱AA1的中点．‎ ‎（1）证明：DC1⊥平面BCD；‎ ‎（2）求三棱锥B1﹣BCD的体积．‎ ‎【解答】（1）证明：∵ACC1A1是矩形，且AC＝1，AA1＝2，D是棱AA1的中点，‎ ‎∴△DAC，△DA1C1均为等腰直角三角形，∴DC1⊥DC．‎ 又∵BC⊥侧面AC1，∴BC⊥DC1．‎ 又∵BC∩DC＝C，BC，CD⊂面BCD，‎ ‎∴DC1⊥平面BCD；‎ ‎（2）解：∵B1C1∥BC，且BC⊂面BCD，B1C1⊄面BCD，∴B1C1∥面BCD．‎ ‎∴＝．‎ ‎20．已知为椭圆上两点，过点P且斜率为k，﹣k（k＞0）的两条直线与椭圆M的交点分别为B，C．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）若四边形PABC为平行四边形，求k的值．‎ ‎【解答】（共13分）‎ 解：（ I）由题意得解得 所以椭圆M的方程为．‎ 又，‎ 所以离心率．………………………..（5分）‎ ‎（ II）设直线PB的方程为y＝kx+m（k＞0），‎ 由消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2﹣12）＝0．‎ 当△＞0时，设B（x1，y1），C（x2，y2），‎ 则，即．‎ 将代入y＝kx+m，整理得，所以．‎ 所以．所以．‎ 同理．‎ 所以直线BC的斜率．‎ 又直线PA的斜率，所以PA∥BC．‎ 因为四边形PABC为平行四边形，所以|PA|＝|BC|．‎ 所以，解得或.时，B（﹣2，0）与A重合，不符合题意，舍去．‎ 所以四边形PABC为平行四边形时，．………………………………（13分）‎ ‎21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）．‎ ‎（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝lnx﹣2x，‎ ‎∴f′（x）＝，则f′（1）＝﹣1，‎ 又f（1）＝﹣2，‎ ‎∴f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝﹣（x﹣1），‎ 即x+y+1＝0；‎ ‎（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝．‎ 当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）＝﹣a≥0，不合题意；‎ 当a＞0时，当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．‎ ‎∴函数f（x）在x＝时求得最大值为f（）＝ln﹣1．‎ ‎∵对于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜0，∴直线＜0，即a＞．‎ ‎∴a的取值范围是（）．‎ ‎22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为，圆C的参数方程为．‎ ‎（1）求直线l1与圆C的普通方程；‎ ‎（2）已知动点P在圆C上，动点Q在直线l2：x﹣y﹣2＝0上，求线段PQ的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）由消去参数t得2x﹣y+4＝0；由消去θ得x2+（y﹣2）2＝4；‎