数列的综合应用知识点总结例题解析高考练习题带答案

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数列的综合应用知识点总结例题解析高考练习题带答案

数列的综合应用 ‎【考纲说明】‎ ‎1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和;‎ ‎2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题;‎ ‎3 .理解数列作为函数的特性,能够抽象出数列的模型;‎ ‎【知识梳理】‎ 考点一:通项公式的求解技巧 1. 归纳、猜想数列的通项.‎ 2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.‎ 3. 用等差(等比)数列的通项公式求数列的通项公式.‎ 4. 已知数列{an}前n项和Sn,则.‎ 5. 已知an-an-1=f(n)(n³2),则可用叠加法求an.‎ 6. 已知=f(n)(n³2),则可用叠乘法求an.‎ 7. 已知数列{an}前n项之积Tn,一般可求Tn-1,则an=.‎ 8. 已知混合型递推式f(an,Sn)=0,可利用an=Sn-Sn-1(n³2)将关系式转化为只含有an或Sn的递推式,再求an或先间接求出Sn再求出an.‎ 9. 已知数列{an}的递推关系,研究它的特点后,可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(an)}为等差或等比数列.‎ 例如:形如an+1=Aan+f(n)或an+1=Aan+qn,均可以两边同时除以An+1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如an=的递推数列可以两边同时倒数来求通项.‎ 考点二:数列求和的技巧 一、公式法 ‎1、等差数列的前项和公式 ‎ ‎ ‎2、等比数列的前项和公式 ‎ ‎ ‎3、常用几个数列的求和公式 ‎(1)‎ ‎(2)‎ ‎(3)‎ 二、 错位相减法 ‎ 用于求数列的前n项和,其中,分别是等差数列和等比数列。‎ 三、 裂项相消法 适用于{}其中{an}是各项不为0的等差数列。即:=(-),‎ 特别:;.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四、 倒序相加法 ‎ 推导等差数列的前项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它 ‎ ‎ 与原数列相加,就可以得到个。‎ 五、 分组求和法 ‎ 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等 ‎ 差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。‎ 考点三:数列的综合应用 一、 数列与函数的综合 二、 等差与等比数列的综合 一、 数列的实际应用 ‎ 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合 ‎【经典例题】‎ ‎【例1】 (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列,其公差为-2,且是与的 ‎ 等比中项,为的前n项和, ,则的值为 ‎ A.-110    B.‎-90    ‎ C.90   D.110‎ ‎【解析】D ‎【例2】(2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且 ‎ ‎ ,那么 ( )‎ ‎ A. 1 B. ‎9 C. 10 D. 55‎ ‎【解析】A ‎【例3】(2008年江西省高考题)数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10, ‎ ‎ 则项数为( )‎ ‎ A、11 B、‎99 C、120 D、121‎ ‎【解析】C ‎【例4】(2008安徽)设数列{an}满足a1=a,an+1=can+1-c,n∈N*,其中a,c为实数,c≠0‎ 1. 求数列{an}的通项公式;‎ 2. 设a=,c=,bn=n(1-an),n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn。‎ ‎【解析】(1)∵an+1-1=c(an-1)‎ ‎ ∴当a≠1时,{an-1}是首项为a-1,公比为c的等比数列 ‎ ∴an-1=(a-1)cn-1,即an=(a-1)cn-1+1‎ ‎ 当n=1时,an=a仍满足上式。‎ ‎ ∴数列{an}的通项公式为an=(a-1)cn-1+1(n∈N*)‎ ‎(2)由(1)得bn=n(1-a)cn-1=n()n,‎ ‎ Sn=b1+b2+…+bn=+2()2+…+n()n ①‎ ‎ Sn=()2+2()3+…+(n-1)()n+n()n+1 ②‎ ‎ ∴①-②得Sn=+()2+…+()n-n()n+1‎ ‎ ∴Sn=1++()2+…+()n-1-n()n=2[1-()n]-n()n ‎ ∴Sn=2-(2+n)()n ‎【例5】(2008浙江省) 已知数列{xn}的首项x1=3,通项xn=2np+nq(n∈N*,p,q为常数),‎ ‎ 且x1,x4,x5成等差数列,求:‎ (1) P,q的值;‎ (2) 数列{xn}前n项和Sn的公式。‎ ‎【解析】‎ (1) 由x1=3,得2p+q=3‎ ‎ 又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q ‎ 解得p=1,q=1‎ ‎(2)Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)=2n+1-2+‎ ‎【例6】 (2011年福建理16)已知等比数列{an}的公比q=3,前3项和S3=。‎ ‎(I)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(II)若函数在处取得最大值,且最大值 ‎ 为a3,求函数f(x)的解析式。‎ ‎【解析】(I)由 解得 所以 ‎(II)由(I)可知 因为函数的最大值为3,所以A=3。‎ 因为当时取得最大值,‎ 所以 又 ‎ 所以函数的解析式为 ‎【例7】(2011年全国新课标卷)等比数列的各项均为正数,且 ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)设 求数列的前项和.‎ ‎【解析】(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由得所以。‎ 由条件可知a>0,故。‎ 由得,所以。‎ 故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎(Ⅱ )‎ 故 所以数列的前n项和为 ‎【例8】(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为,且,,成等比数列(Ⅰ)求数列的通项公式及(Ⅱ)记,,当时,试比较与的大小.‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎ 则 ,‎ ‎(Ⅱ) ‎ 因为,所以 当时, 即;‎ 所以当时,;当时, .‎ ‎【课堂练习】‎ 1. ‎(2009江西卷文)公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中 ‎ 项, ,则等于 ‎ ‎ A. 18 B. ‎24 C. 60 D. 90 ‎ ‎2.(2010江西理数)等比数列中,,=4,函数,则( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ (1) ‎(2010湖北文数)7.已知等比数列{}中,各项都是正数,且,成等差数 ‎ 列,则 ‎ A. B. C. D ‎4.(2010福建理数)设等差数列的前n项和为,若,,则当 ‎ 取最小值时,n等于 ‎ A.6 B.‎7 ‎ C.8 D.9‎ ‎5.(2013年福建(理))已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是( )‎ A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为 C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为 6.(2013年重庆(理))已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则 ‎7.(2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学(理)试题(WORD版))已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________. ‎ ‎8、(2009年全国卷)设等差数列{}的前项和为,公比是正数的等比数列{}的前项和为,已知的通项公式。‎ ‎9、(2011浙江卷)已知公差不为0的等差数列的首项为,且,,成等比数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)对,试比较与的大小.‎ ‎10、(2010年山东卷)已知等差数列满足:,,的前项和为 ‎(Ⅰ)求及;‎ ‎(Ⅱ)令(),求数列的前项和为。‎ ‎11.(2013年湖北卷(理))已知等比数列满足:,.‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎12.(2013年山东(理))设等差数列的前n项和为,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.‎ ‎【课后作业】‎ ‎1.(2009重庆卷文)设是公差不为0的等差数列,且成等比数列,则的前项和=( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(2010安徽理数)设是任意等比数列,它的前项和,前项和与前项和分别 为,则下列等式中恒成立的是 A、 B、‎ C、 D、‎ 3.(2013辽宁)下面是关于公差的等差数列的四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4.(2013年新课标Ⅱ卷)等差数列的前项和为,已知,则的最 ‎ 小值为________.‎ ‎ ‎ ‎5. 已知(2008年湖北省质检题)求和:Sn=-1+3-5+7-…+(-1)n(2n-1) ‎ ‎6. {an}的通项an=lg,求{an}的前n项和Sn。‎ ‎7.(2013年高考四川卷(理))在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.‎ ‎8.(2009辽宁卷)等比数列{}的前n 项和为,已知,,成等差数列 ‎ (1)求{}的公比q;‎ ‎ (2)求-=3,求 ‎ ‎9.(2010重庆文数)(16)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分. )‎ 已知是首项为19,公差为-2的等差数列,为的前项和.‎ ‎(Ⅰ)求通项及;‎ ‎(Ⅱ)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的通项公式及其前项和.‎ ‎10.若函数对任意都有。‎ ‎(1),数列是等差数列吗?是证明你的结论;‎ ‎(2)求数列的的前项和。‎ ‎【参考答案】‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1、C 2、C 3、C 4、A 5、C 6、64 7、63‎ ‎8、解: 设的公差为,的公比为 由得 ①‎ 由得 ②‎ 由①②及解得 ‎ ‎ 故所求的通项公式为 ‎ ‎9、解:设等差数列的公差为,由题意可知 ‎ 即,从而 因为 ‎ 故通项公式 ‎ (Ⅱ)解:记 ‎ 所以 ‎ 从而,当时,;当 ‎10、解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为,‎ 由于,,所以,,‎ 解得,,由于, ,‎ 所以,‎ ‎(Ⅱ)因为,所以 因此 故 ‎ 所以数列的前项和 ‎11、解:(I)由已知条件得:,又,, ‎ ‎ 所以数列的通项或 (II)若,,不存在这样的正整数; 若,,不存在这样的正整数. ‎ ‎12、解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得,, 因此 (Ⅱ)由题意知: 所以时, 故, 所以, 则 两式相减得 整理得 所以数列数列的前n项和 ‎ ‎【课后作业】‎ 1、 A 2、D 3、D 4、-49 5、当n为偶数时,Sn=n;当n为奇数时,Sn=-n ‎6、∵an=lg=lg(n+1)-lgn ‎ ∴Sn=(lg2-lg1)+(lg3-lg2)+…+(lg(n+1)-lgn)=lg(n+1)-lg1=lg(n+1)‎ ‎7、解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前项和或 ‎ ‎8、解:(Ⅰ)依题意有 ‎ 由于 ,故 ‎ ‎ 又,从而 ‎ ‎ (Ⅱ)由已知可得 ‎ 故 ‎ ‎9、‎ ‎10.解:(1)、(倒序相加)‎ ‎ ‎ 则,由条件:对任意都有。‎ 从而:数列是的等差数列。‎ ‎(2)、‎ ‎=‎ ‎=‎ 故:=‎
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