2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第十章第一讲　椭圆

2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第十章第一讲　椭圆

第十章　圆锥曲线与方程 第一讲　椭　圆 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1.[2018全国卷Ⅱ,11,5分][文]已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点.若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率(　　)　　　　　　　　　　　　　　‎ A.1 - ‎3‎‎2‎ B.2 - ‎3‎ C.‎3‎‎ - 1‎‎2‎ D.‎3‎ - 1‎ ‎2.[2020山西大同高三调研]在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2在x轴上,离心率为‎2‎‎2‎,过F1的直线l交C于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为(　　)‎ A.x‎2‎‎36‎‎+‎y‎2‎‎18‎=1 B.x‎2‎‎16‎‎+‎y‎2‎‎10‎=1 C.x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1 D.x‎2‎‎16‎‎+‎y‎2‎‎8‎=1‎ ‎3.[2020湖北省宜昌一中模拟]椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的两个焦点为F1( - c,0),F2(c,0),M是椭圆上的一点,且满足F‎1‎M·F‎2‎M=0,则椭圆的离心率的取值范围为(　　)‎ A.(0,‎2‎‎2‎] B.(0,‎2‎‎2‎) C.(‎2‎‎2‎,1) D.[‎2‎‎2‎,1)‎ ‎4.[2020江西抚州高三第一次联考]已知点P是椭圆x‎2‎‎16‎‎+‎y‎2‎‎8‎=1上非顶点的动点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,O为坐标原点,若M为∠F1PF2的平分线上一点,且F‎1‎M·MP=0,则|OM|的取值范围为(　　)‎ A.(0,3] B.(0,2‎2‎] C.(0,3) D.(0,2‎2‎)‎ ‎5.[2020云南师大附中高三模拟]设F1,F2为椭圆C:x‎2‎‎4‎+y2=1的两个焦点,M为C上一点,且△MF1F2的内心I的纵坐标为2 - ‎3‎,则∠F1MF2的余弦值为　　　　. ‎ ‎6.[2019沈阳高三质量监测]已知椭圆的方程为x‎2‎‎9‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1,过椭圆中心的直线交椭圆于A,B两点,F2是椭圆的右焦点,则△ABF2的周长的最小值为　　　　,△ABF2的面积的最大值为　　　　. ‎ ‎　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 ‎ 考法1 椭圆定义的应用 ‎1(1)[2020武汉市武昌实验中学模拟]已知F1,F2分别是椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1(a>3)的左、右焦点,P为椭圆C上一点,且∠F1PF2=120°,则|PF1|·|PF2|=　　　. ‎ ‎(2)[2020江西省九江市三校联考]已知F是椭圆C:x‎2‎‎25‎‎+‎y‎2‎‎16‎=1的右焦点,P是椭圆上一点,A(0,‎36‎‎5‎),当△‎ APF的周长最大时,该三角形的面积为　　　. ‎ ‎(1)椭圆定义:|PF‎1‎|+|PF‎2‎|=2a余弦定理:|F‎1‎F‎2‎‎|‎‎2‎=|PF‎1‎‎|‎‎2‎+|PF‎2‎‎|‎‎2‎ - ‎‎2|PF‎1‎|·|PF‎2‎|cos120°‎→得到|PF1|·|PF2|的值 ‎(2)条件1:椭圆方程x‎2‎‎25‎+y‎2‎‎16‎=1‎条件2:△APF周长最大→直线AF'‎的方程yP的值→目标:S△APF=‎1‎‎2‎|FF'|·|yA - yP|‎ ‎(1)由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,且|F1F2|=2c=2a‎2‎‎ - 9‎.根据余弦定理,得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|·|PF2|cos 120°,所以4(a2 - 9)=4a2 - 2|PF1|·|PF2|+|PF1|·|PF2|=4a2 - |PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=36.故填36.‎ ‎(2)设椭圆的左焦点为F',由椭圆方程得a=5,F(3,0),F'( - 3,0).△APF的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a - |PF'|≤10+(|AF|+|AF'|),当A,F',P三点共线且F'在线段AP上时取等号,此时△APF的周长最大.设点P的坐标为(xP,yP),yP<0.易知直线AF'的方程为x‎ - 3‎‎+‎y‎36‎‎5‎=1,又xP‎2‎‎25‎‎+‎yP‎2‎‎16‎=1,可得yP= - ‎12‎‎5‎.所以S△APF=‎1‎‎2‎|FF' |·|yA - yP|=‎1‎‎2‎×6×(‎36‎‎5‎‎+‎‎12‎‎5‎)=‎144‎‎5‎.故填‎144‎‎5‎.‎ 本题组的第(2)题中,利用数形结合的思想方法,巧妙地将求三角形APF的周长的最大值转化为三角形的三边关系的分析,从而化繁为简,减少了计算量.‎ ‎1.[2019全国卷Ⅲ,15,5分][文]设F1,F2为椭圆C:x‎2‎‎36‎‎+‎y‎2‎‎20‎=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　. ‎ 考法2 椭圆的标准方程 ‎2过点(‎3‎, - ‎5‎),且与椭圆y‎2‎‎25‎‎+‎x‎2‎‎9‎=1有相同焦点的椭圆的标准方程为 A.x‎2‎‎20‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1 B.x‎2‎‎2‎‎5‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1‎ C.y‎2‎‎20‎‎+‎x‎2‎‎4‎=1 D.x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎2‎‎5‎=1‎ 解法一　(定义法)椭圆y‎2‎‎25‎‎+‎x‎2‎‎9‎=1的焦点为(0, - 4),(0,4),即c=4.‎ 由椭圆的定义知,2a=‎(‎3‎ - 0‎)‎‎2‎+( - ‎5‎+4‎‎)‎‎2‎+‎ ‎(‎3‎ - 0‎)‎‎2‎+( - ‎5‎ - 4‎‎)‎‎2‎‎,解得a=2‎5‎.‎ 由c2=a2 - b2,可得b2=4.‎ 所以所求椭圆的标准方程为y‎2‎‎20‎‎+‎x‎2‎‎4‎=1.‎ 解法二　(待定系数法)设所求椭圆方程为y‎2‎‎25+k‎+‎x‎2‎‎9+k=1(k> - 9),将点(‎3‎, - ‎5‎)的坐标代入,可得‎( - ‎‎5‎‎)‎‎2‎‎25+k‎+‎‎(‎‎3‎‎)‎‎2‎‎9+k=1,解得k= - 5,所以所求椭圆的标准方程为y‎2‎‎20‎‎+‎x‎2‎‎4‎=1.‎ C ‎2.[2019全国卷Ⅰ,12,5分][文]已知椭圆C的焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x‎2‎‎2‎+y2=1 B.x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1 C.x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1 D.x‎2‎‎5‎‎+‎y‎2‎‎4‎=1‎ 考法3 椭圆的几何性质 命题角度1　求椭圆离心率或其取值范围 ‎3 [2017全国卷Ⅲ,10,5分]已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx - ay+2ab=0相切,则C的离心率为 A.‎6‎‎3‎ B.‎3‎‎3‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎1‎‎3‎ 根据已知求出圆的方程,根据直线与圆相切列出关于a,b的等式,结合a2=b2+c2求出离心率.‎ 以线段A1A2为直径的圆的方程为x2+y2=a2,由原点到直线bx - ay+2ab=0的距离d=‎2abb‎2‎‎+‎a‎2‎=a,得a2=3b2,所以C的离心率e=‎1 - ‎b‎2‎a‎2‎‎=‎‎6‎‎3‎.‎ A 命题角度2　求与椭圆有关的最值或取值范围问题 ‎4[2017全国卷Ⅰ,12,5分][文]设A,B是椭圆C:x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是 A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,‎3‎]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,‎3‎]∪[4,+∞)‎ 焦点位 置不确定,分情况讨论.‎ 依题意得‎3‎m‎≥tan‎∠AMB‎2‎,‎‎03,‎所以‎3‎m‎≥tan60°,‎‎03,‎解得00,且m≠5,‎ 将直线与椭圆的方程联立,得y - kx - 1=0,‎x‎2‎‎5‎‎+y‎2‎m=1,‎ 整理,得(5k2+m)x2+10kx+5(1 - m)=0.‎ 因为直线与椭圆恒有公共点,故Δ=(10k)2 - 4×(5k2+m)×5(1 - m)=20(5k2m - m+m2)≥0.因为m>0,所以不等式等价于5k2 - 1+m≥0,即k2≥‎1 - m‎5‎,由题意,可知不等式恒成立,则‎1 - m‎5‎≤0,解得m≥1.‎ 综上,m的取值范围为m≥1且m≠5.‎ 解法二　因为方程x‎2‎‎5‎‎+‎y‎2‎m=1表示椭圆,所以m>0且m≠5.‎ 因为直线y - kx - 1=0过定点(0,1),‎ 所以要使直线和椭圆恒有公共点,点(0,1)在椭圆上或椭圆内,即‎0‎‎2‎‎5‎‎+‎‎1‎‎2‎m≤1,整理得‎1‎m≤1,解得m≥1.‎ 综上,m的取值范围为m≥1且m≠5.‎ 命题角度2　弦长问题 ‎6 [2019河北省六校联考]已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的焦距为2c,且b=‎3‎c,圆O:x2+y2=r2(r>0)与x轴交于点M,N,P为椭圆E上的动点,|PM|+|PN|=2a,△PMN面积的最大值为‎3‎.‎ ‎(1)求圆O与椭圆E的方程;‎ ‎(2)圆O的切线l交椭圆E于点A,B,求|AB|的取值范围.‎ ‎(1)由题意,结合几何关系即可求得a,b,c的值→求出圆O的方程及椭圆E的方程 ‎(2)当直线l的斜率不存在时,计算出|AB|→当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,利用圆心到 直线l的距离等于半径可得m2=1+k2→联立直线与椭圆方程并消去y可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,由弦长公式表示出|AB|→‎ 利用换元法及二次函数的性质可得|AB|的取值范围 ‎(1)因为b=‎3‎c,所以a=2c.‎ 因为|PM|+|PN|=2a,所以点M,N为椭圆的焦点,所以r2=c2=‎1‎‎4‎a2.‎ 设P(x0,y0), - b≤y0≤b,则S△PMN=r·|y0|=‎1‎‎2‎a|y0|,‎ 当|y0|=b时,(S△PMN)max=‎1‎‎2‎ab=‎3‎,‎ 所以r=c=1,b=‎3‎,a=2,‎ 所以圆O的方程为x2+y2=1,椭圆E的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1.‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,不妨取直线l的方程为x=1,则可取A(1,‎3‎‎2‎),B(1, - ‎3‎‎2‎),|AB|=3.‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,kx1+m),B(x2,kx2+m),‎ 因为直线l与圆O相切,所以‎|m|‎‎1+‎k‎2‎=1,即m2=1+k2,‎ 由x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎y=kx+m消去y,可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2 - 12=0,‎ Δ=64k2m2 - 4(4k2+3)(4m2 - 12)=48(4k2+3 - m2)=48(3k2+2)>0,x1+x2= - ‎8km‎4k‎2‎+3‎,x1x2=‎4m‎2‎ - 12‎‎4k‎2‎+3‎.‎ ‎|AB|=k‎2‎‎+1‎·‎‎(x‎1‎+x‎2‎‎)‎‎2‎ - 4‎x‎1‎x‎2‎ ‎=4‎3‎·k‎2‎‎+1‎·‎‎4k‎2‎+3 - ‎m‎2‎‎4k‎2‎+3‎ ‎=‎‎4‎3‎·‎‎(k‎2‎+1)(3k‎2‎+2)‎‎4k‎2‎+3‎ ‎=‎‎4‎3‎·‎‎(k‎2‎+‎3‎‎4‎+‎1‎‎4‎)[3(k‎2‎+‎3‎‎4‎) - ‎1‎‎4‎]‎‎4k‎2‎+3‎ ‎=‎3‎·‎ - ‎1‎‎16‎·‎1‎‎(k‎2‎+‎‎3‎‎4‎‎)‎‎2‎+‎1‎‎2‎·‎1‎k‎2‎‎+‎‎3‎‎4‎+3‎.‎ 令t=‎1‎k‎2‎‎+‎‎3‎‎4‎,0b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点.若线段AB的中点坐标为(1, - 1),则E的方程为　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.x‎2‎‎45‎‎+‎y‎2‎‎36‎=1 B.x‎2‎‎36‎‎+‎y‎2‎‎27‎=1‎ C.x‎2‎‎27‎‎+‎y‎2‎‎18‎=1 D.x‎2‎‎18‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1‎ 由“点差法”得到中点坐标和斜率的关系式→利用焦点坐标和中点坐标,结合c=3,求出a2,b2的值→得到椭圆方程 设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得x‎1‎‎2‎a‎2‎‎+y‎1‎‎2‎b‎2‎=1　①,‎x‎2‎‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎‎2‎b‎2‎=1　②,‎① - ②得x‎1‎‎2‎‎ - ‎x‎2‎‎2‎a‎2‎‎+‎y‎1‎‎2‎‎ - ‎y‎2‎‎2‎b‎2‎=0,易知x1≠x2,‎ ‎∴x‎1‎‎+‎x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎1‎‎ - ‎y‎2‎x‎1‎‎ - ‎x‎2‎·y‎1‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=0.‎ ‎∵x1+x2=2,y1+y2= - 2,kAB=‎ - 1 - 0‎‎1 - 3‎‎=‎‎1‎‎2‎,‎ ‎∴‎2‎a‎2‎‎+‎1‎‎2‎×‎‎ - 2‎b‎2‎=0,即a2=2b2.‎ 又c=3=a‎2‎‎ - ‎b‎2‎,∴a2=18,b2=9.‎ ‎∴椭圆E的方程为x‎2‎‎18‎‎+‎y‎2‎‎9‎=1.‎ D 本题设出A,B两点的坐标,却不求出A,B两点的坐标,而是利用点差法,巧妙地表达出直线AB的斜率,并利用焦点坐标和中点坐标建立几何量之间的关系,从而快速解决问题.‎ 数学应用 椭圆与物理知识的融合 ‎8如图10 - 1 - 3所示,椭圆有这样的一个光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=1,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,若e=‎3‎‎2‎,SΔPMF‎1‎SΔPMF‎2‎‎=‎‎1‎‎3‎,则椭圆C的标准方程为 A.x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1　　　　　　　B.x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1 C.x‎2‎‎4‎+y2=1 D.x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1‎ 由光学知识得到直线l'平分∠F1PF2→由三角形面积比和已知条件可求出a的值,再利用椭圆的定义、离心率可求出b的值→即得椭圆的方程 由光学知识可知直线l'平分∠F1PF2,‎ 因为SΔPMF‎1‎SΔPMF‎2‎‎=‎|F‎1‎M|‎‎|F‎2‎M|‎=‎1‎‎2‎‎|F‎1‎P||PM|sin∠F‎1‎PM‎1‎‎2‎‎|F‎2‎P||PM|sin∠F‎2‎PM=‎‎|PF‎1‎|‎‎|PF‎2‎|‎=‎ ‎1‎‎3‎‎,|PF1|=1,所以|PF2|=3,又|PF1|+|PF2|=2a,所以a=2.‎ 因为e=ca‎=‎‎3‎‎2‎,b2=a2 - c2,所以b=1,‎ 所以椭圆的标准方程为x‎2‎‎4‎+y2=1.‎ C ‎316‎ ‎1.D　由题意知∠F1PF2=90°,∠PF2F1=60°,|F1F2|=2c,所以|PF2|=c,|PF1|=‎3‎c.由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,即‎3‎c+c=2a,所以(‎3‎+1)c=2a,故椭圆C的离心率e=ca‎=‎2‎‎3‎‎+1‎=‎‎3‎ - 1.故选D.‎ ‎2.D　设椭圆的方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),由e2=c‎2‎a‎2‎=1 - b‎2‎a‎2‎‎=‎‎1‎‎2‎,得a2=2b2,根据椭圆的定义可知△ABF2的周长为4a,所以4a=16,即a=4,a2=16,b2=8,则椭圆的标准方程为x‎2‎‎16‎‎+‎y‎2‎‎8‎=1,故选D.‎ ‎3.D　设点M(x0,y0),因为F‎1‎M·F‎2‎M=0,所以(x0+c)·(x0 - c)+y‎0‎‎2‎=0,即x‎0‎‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎=c2　①.‎ 又点M在椭圆C上,所以x‎0‎‎2‎a‎2‎‎+‎y‎0‎‎2‎b‎2‎=1　②.①②联立,结合a2 - b2=c2,可得x‎0‎‎2‎‎=‎a‎2‎‎(c‎2‎ - b‎2‎)‎c‎2‎.由椭圆的性质可知0≤x‎0‎‎2‎≤a2,即a‎2‎‎(c‎2‎ - b‎2‎)‎c‎2‎‎≥0,‎a‎2‎‎(c‎2‎ - b‎2‎)‎c‎2‎‎≤a‎2‎,‎即c‎2‎‎≥b‎2‎,‎c‎2‎‎ - b‎2‎≤c‎2‎,‎所以c2≥b2,所以c2≥a2 - c2,即2c2≥a2,可得e2≥‎1‎‎2‎.又00,‎y>0,‎得x=3,‎y=‎15‎,‎ 所以M的坐标为(3,‎15‎).‎ ‎2.B　设椭圆C的标准方程为x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0),因为|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,所以|BF1|=3|F2B|.又|BF1|+|F2B|=2a,所以|F2B|=a‎2‎,则|AF2|=a,|AB|=|BF1|=‎3‎‎2‎a,|AF1|=a.‎ 解法一　在△ABF1中,由余弦定理得cos∠BAF1=‎|AB‎|‎‎2‎+|AF‎1‎‎|‎‎2‎ - |BF‎1‎‎|‎‎2‎‎2|AB||AF‎1‎|‎‎=‎(‎3a‎2‎‎)‎‎2‎+a‎2‎ - (‎‎3a‎2‎‎)‎‎2‎‎2·‎3a‎2‎·a=‎‎1‎‎3‎.因为椭圆C的焦点为F1( - 1,0),F2(1,0),所以c=1,|F1F2|=2.在△AF1F2中,由余弦定理得|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2 - 2|AF1||AF2|·cos∠BAF1,即4=a2+a2 - 2a2·‎1‎‎3‎,解得a2=3,所以b2=a2 - c2=2.于是椭圆C的标准方程为x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1.故选B.‎ 解法二　因为|AF1|=|AF2|=a,所以点A为椭圆的上顶点或下顶点.不妨设A(0, - b),因为AF‎2‎=2F‎2‎B,所以B(‎3‎‎2‎,b‎2‎),代入椭圆方程得‎9‎‎4‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎4‎b‎2‎=1,解得a2=3.又c=1,所以b2=a2 - c2=2.于是椭圆C的标准方程为x‎2‎‎3‎‎+‎y‎2‎‎2‎=1.故选B.‎ ‎3.4　 由题意知a=2,因为e=ca‎=‎‎1‎‎2‎,所以c=1,b2=a2 - c2=3.故椭圆方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1.设P点坐标为(x0,y0), - 2≤x0≤2, - ‎3‎≤y0≤‎3‎.因为F( - 1,0),‎ A(2,0),PF=( - 1 - x0, - y0),PA=(2 - x0, - y0),x‎0‎‎2‎‎4‎‎+‎y‎0‎‎2‎‎3‎=1,所以PF·PA‎=‎x‎0‎‎2‎ - x0 - 2+y‎0‎‎2‎‎=‎‎1‎‎4‎x‎0‎‎2‎ - x0+1=‎1‎‎4‎(x0 - 2)2.则当x0= - 2时,PF·PA取得最大值4.‎