2017-2018学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．若， ，则两点间的距离为（ ）‎ A. B. 25 C. 5 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A（1，3，-2）、B（-2，3，2），则A、B两点间的距离为 ‎ 故选C ‎2．直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由直线l的方程为x+3y-1=0，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tanα= ，，∴α=150°． 故选：D．‎ ‎3．抛物线的准线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【考点】抛物线的简单性质．‎ 专题：计算题．‎ 分析：先根据抛物线方程的标准形式，再根据抛物线的性质求出其准线方程即可．‎ 解答：解：抛物线的方程为抛物线x2=-8y，故p=4，‎ 其准线方程为y=2；‎ 故选B 点评：本题考查抛物线的简单性质，解题关键是记准抛物线的标准方程，别误认为p=-4，因看错方程形式马虎导致错误．‎ ‎4．已知是椭圆的两个焦点，焦距为4.过点的直线与椭圆相交于两点，的周长为32，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】焦距为4即 ；的周长为32，即 ‎ ‎ 所以椭圆的离心率为 ‎ 故选A ‎5．若实数满足，则曲线与曲线的（ ）‎ A. 实轴长相等 B. 虚轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 ‎【答案】D ‎【解析】当0＜k＜9，则0＜9-k＜9，16＜25-k＜25，即曲线，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9-k，c2=34-k，曲线表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25-k，b2=9，c2=34-k，即两个双曲线的焦距相等， 故选：D．‎ ‎6．已知双曲线经过圆与轴的两个交点，且双曲线的离心率，则此双曲线的标准方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】圆与轴的两个交点为A,B，令，则，‎ 即双曲线经过A，所以焦点在轴上，且 ，又双曲线的离心率，所以，则 ，双曲线的方程为 ‎ 故选B ‎7．光线自点射到后被轴反射，则反射光线所在的直线与圆： （ ）‎ A. 相离 B. 相切 C. 相交且过圆心 D. 相交但不过圆心 ‎【答案】D ‎【解析】∵点M（2，3）关于x轴对称点是（2，-3），∴反射光线过（1，0）和（2，-3）， ∴反射光线的方程： ，即3x+y-3=0．圆x2+（y-4）2=1的圆心是（0，4），半径r=1，∵圆心（0，4）到直线3x+y-3=0的距离 ‎ ‎∴反射光线3x+y-3=0与圆C：x2+（y-4）2=1相交但不过圆心． 故选D．‎ ‎8．已知抛物线，过点作倾斜角为的直线，若直线与抛物线交于两点，则弦的中点的横坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，直线l方程为： 代入抛物线y2=8x整理得：3x2-12x+12=8x ∴3x2-20x+12=0，设B（x1，y1）、C（x2，y2），∴弦BC的中点P到y轴的距离，‎ 故选A ‎9．已知是双曲线： 的一条渐近线， 是上的一点， 分别是的左右焦点，若，则点到轴的距离为（ ）‎ A. 2 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】双曲线： 的 即有设渐近线l的方程为y= x，且P（m， m） 则则P到x轴的距离为|m|=2‎ 故选A ‎10．过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为过点（3，1）作圆（x-1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然A、D选项不过（1，1），A、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，-1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，B满足． 故选B．‎ 点睛：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习．由题意判断出切点（1，1）代入选项排除A、D ‎，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．‎ ‎11．若方程有实数解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】方程 有实数解转化为 与 图像有交点，‎ 即 表示等轴双曲线轴上方的部分， 表示平行直线系，斜率都为2；把向左平移到 处， 有最小值，即，故；把向右平移到与双曲线相切时m有最小值， 得m,由题意可得与右支相切时，故 ‎ 综上：实数m的取值范围是 故选C 点睛：本题考查了函数与方程的问题，常转化为两个函数有交点，研究具体函数的性质图像，注意图像的准确性，动直线的变化规律要掌握清，关键是要注意 表示双曲线的一部分.‎ ‎12．已知，点的坐标为，点分别在图中抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，那么的周长的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的准线l：x=-1，焦点F（1，0），由抛物线定义可得|AF|=xA+1，∴△FAB 的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+1+（xB-xA）+2=3+xB，由抛物线y2=4x及圆（x-1）2+y2=4可得交点的横坐标为1∴xB∈（1，3）∴3+xB∈（4，6） 故选B 点睛：本题考查抛物线的定义，考查抛物线与圆的位置关系，由抛物线定义可得|AF|=xA+1，从而△FAB的周长=|AF|+|AB|+|BF|=xA+1+（xB-xA）+2=3+xB，确定B点横坐标的范围是关键.‎ 二、填空题 ‎13．直线与直线互相垂直，则实数等于________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线与直线互相垂直, , ‎ 故答案为2‎ ‎14．执行如图的程序框图，如果输入，则输出的_________． ‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】由图可以看出，循环体被执行4次，第n次执行，对S作的运算就是加进n，即.‎ 故答案为10 ‎ ‎15．双曲线的离心率为，则__________．‎ ‎【答案】-9‎ ‎【解析】双曲线=1,则 故答案为-9‎ ‎16．已知抛物线的焦点为， 关于原点的对称点为，过作 轴的垂线交抛物线于两点，给出下列五个结论：‎ ‎①必为直角三角形；‎ ‎②必为等边三角形；‎ ‎③直线必与抛物线相切；‎ ‎④直线必与抛物线相交；‎ ‎⑤的面积为.‎ 其中正确的结论是__________．‎ ‎【答案】①③⑤‎ ‎【解析】抛物线的焦点为, 过作轴的垂线交抛物线于两点，则, 则F为MN的中点，且|PF|=,∴△PMN为直角三角形，易得|PM|≠|MN|，故①正确，②不正确；直线PM的方程为y=x+, 与抛物线y2=2px联立消去x，得y2-2py+p2=0，△=4p2-4p2=0，∴直线PM与抛物线相切，故③正确，④不正确． 的面积为, ⑤正确 故答案为①③⑤‎ 点睛：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查抛物线的标准方程与几何性质，考查作图、分析与综合运算能力，考查转化思想与方程思想，利用斜边中线长等于斜边的一半判断此三角形是直角三角形.‎ 三、解答题 ‎17．直线经过两直线与的交点，且与直线： 平行.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）若点到直线的距离与直线到直线的距离相等，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）联立方程组求得两直线的交点坐标，由直线l1：x+y-6=0的斜率求得直线l的斜率，然后代入直线的点斜式方程得答案；（2）直接由点到直线的距离公式求得a的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）解得，即交点坐标为.‎ ‎∵直线： 的斜率为，‎ ‎∴直线的斜率为 ‎∴直线的方程为，即.‎ ‎（2）由题知，‎ 整理得，‎ 解得或.‎ ‎18．已知的三顶点坐标分别为： .‎ ‎（1）求的外接圆的标准方程；‎ ‎（2）已知过的直线被的外接圆截得的弦长为，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知圆上三个点的坐标求圆的方程可以采用一般式方程，设外接圆的方程： 则有，解得即可（2）过的直线被的外接圆截得的弦长为，转化为圆心到直线的距离，①当直线的斜率不存在时， 符合题意②当直线的斜率存在时设直线： ，根据点到直线的距离公式得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）设外接圆的方程： ‎ 则有，解之得，‎ 则外接圆的方程： ，即.‎ ‎（2）由（1）及题意知圆心到直线的距离 ‎①当直线的斜率不存在时， 符合题意 ‎②当直线的斜率存在时设直线： 即 ‎∴解之得，‎ ‎∴，即 综上，直线的方程为或.‎ ‎19．设抛物线： ， 为的焦点，过的直线与相交于两点.‎ ‎（1）设的斜率为1，求；‎ ‎（2）求证： 是一个定值.‎ ‎【答案】(1) （2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；‎ 试题解析：‎ ‎(1)解：∵由题意可知抛物线的焦点为，准线方程为，‎ ‎∴直线的方程为 设，由 得，‎ ‎∴，‎ 由直线过焦点，则.‎ ‎（2）证明：设直线的方程为，‎ 由得 ‎∴， ‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎，‎ ‎∴是一个定值.‎ 点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.‎ ‎20．已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为，长轴长为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是坐标原点，直线： 与椭圆C交于不同的两点，求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1) （2）‎ ‎【解析】试题分析：(1) 焦点在轴上，设椭圆的方程为，由题意得，即得a,c即可得方程；（2）由整理得，设，则，表示弦长及到的距离，‎ 则利用均值不等式即求解.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵焦点在轴上，‎ ‎∴设椭圆的方程为 由题意得，∴ ‎ ‎∴‎ ‎∴所求椭圆的方程为.‎ ‎（2）由整理得，‎ 设，‎ 则 ‎∴，‎ 又到的距离 ‎，‎ ‎（当且仅当即时取等号）‎ ‎∴所求面积的最大值为.‎ 点睛：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次的根与系数、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，最后求面积的最值涉及分式求最值的类型，通常用均值不等式，分离常数，换元，求导等方法.‎