2015年高考数学江苏卷

2015年高考数学江苏卷

‎2015年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）‎ ‎1．已知集合，，则集合中元素的个数为　 ▲　．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为，所以该集合元素的个数为5． ‎ ‎2．已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为　 ▲　．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】这6个数的和为36，故平均数为6．‎ ‎3．设复数满足（是虚数单位），则的模为　 ▲　．‎ ‎【答案】‎ While ‎ End While ‎ Print ‎ ‎（第4题）‎ ‎【解析】设，则，结合条件得解得所以．‎ ‎4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为　 ▲　．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】 “追踪”循环体（就在图形的一旁标注，这样不容易出错）：‎ 于是，输出．‎ ‎5．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球.从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为　 ▲　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】从4个球中一次随机地取2个球，有6种取法：（白, 红），（白,黄1），（白,黄2），（红, 黄1），（红, 黄2），（黄1,黄2），其中，两个球不同颜色有5种取法，故所求概率为．（或先求颜色相同的概率为，再用对立事件求）‎ ‎6．已知向量，，若，则的值为　 ▲　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，得解得故．‎ ‎7．不等式的解集为　 ▲　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】原不等式即，得，即，得解集为．‎ ‎8．已知，，则的值为　 ▲　．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】．‎ ‎9．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为　 ▲　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设新的圆锥与圆柱的底面半径都为，原圆锥的体积，，由题意得，解得，即．‎ ‎10．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　 ▲　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线，即，该直线过定点，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，最大半径为这两点间的距离，故所求圆的标准方程为．‎ ‎11.设数列满足，且，则数列前10项的和为　 ▲　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎…，‎ ‎，‎ 将上面各式叠加得（也满足），‎ 所以.‎ 所以数列的前10项和．‎ ‎12．在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点．若点到直线的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为　 ▲　． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】双曲线的一条渐近线与已知直线平行，由题意知，所求的最大值，即这两条直线间的距离．‎ ‎13．已知函数，则方程实根的个数为　 ▲　．‎ ‎【答案】4；‎ ‎【解析】由，得，即或，问题转化为求函数与的图像交点个数.‎ 图2‎ 先画出的图像和的图像（图1），由图知与的图像有2个交点，与的图像也有2个交点（图2），共4个交点，即方程实根的个数为4．‎ 图1‎ ‎14．设向量，则的值为　 ▲　．‎ ‎【答案】；‎ 解析：，，，，，，，，，，，，．‎ 于是，，，，，，，，，，，，所以．‎ ‎15．在中，已知．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求的值．‎ 解：（1）在中，由余弦定理得，，所以.‎ ‎（2）在中，由正弦定理，得，所以.因为是最小边，所以为锐角.所以.‎ ‎（第16题）‎ 所以 ．‎ ‎16．如图，在直三棱柱中，已知．设的中点为，．‎ 求证：（1）∥平面；‎ ‎（2）．‎ 解：（1）因为三棱柱的侧面均为平行四边形，对角线互相平分，所以是的中点.又为的中点，所以为的中位线，即∥.又平面，平面，所以∥平面.‎ ‎（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面，平面，所以，.‎ 又，所以为正方形.因为正方形对角线互相垂直平分，所以. ①‎ 因为，且，，所以平面.‎ 因为面，所以. ②‎ 又，所以平面.因为平面，所以．‎ ‎（第17题）‎ ‎17．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路.记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为，计划修建的公路为.如图所示，为的两个端点，测得点到的距离分别为‎5千米和‎40千米，点到的距离分别为‎20千米和千米.以所在的直线分别为轴，建立平面直角坐标系.假设曲线符合函数（其中为常数）模型.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设公路与曲线相切于点，的横坐标为．‎ ‎ ①请写出公路长度的函数解析式，并写出其定义域；‎ ‎ ②当为何值时，公路的长度最短？求出最短长度．‎ 解：（1）由题意，得点的坐标分别为，．将其分别代入，得 解得 ‎（2）①由（1）知，，则点.设在点处的切线交轴分别于点，‎ ‎，则切线的方程为，由此得，．‎ 故.‎ ‎②设，则.令，解得.‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以当时，有极小值，也是最小值，即，此时．‎ 答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．‎ ‎18．如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（第18题）‎ ‎（2）过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程．‎ 解：（1）由题意得且，解得，，则，所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）①当轴时，，，不合题意；‎ ‎②当与轴不垂直时，设直线的方程为，设，，将代入，得，则.‎ 因为为的中点，所以，‎ ‎.‎ ‎ 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意；‎ 从而，故直线的方程为，令，得，‎ 于是，由，得，解得.‎ 于是直线的方程为或．‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）试讨论的单调性；‎ ‎（2）若 （实数是与无关的常数），当函数有三个不同的零点时，的取值范围恰好是，求的值．‎ 解：（1），由，解得，.‎ ‎①当时，因为，所以在上单调递增；‎ ‎②当时，时，；时，，‎ 所以在和上单调递增，在上单调递减；‎ ‎③当时，时，；时，；‎ 所以在和上单调递增，在上单调递减．‎ ‎（2）由（1）知，函数的两个极值为，，则函数有三个不同零点等价于，从而或 又，所以当时，或当时，.‎ 设，因为函数有三个不同零点时，的取值范围恰好是，‎ 则在上，且在上均恒成立，‎ 从而因此．‎ 此时，.‎ 因为函数有三个不同零点，所以有两个异于的不等实根，所以，且，解得，‎ 综上．‎ ‎20．设是各项为正数且公差为的等差数列．‎ ‎（1）证明：依次构成等比数列；‎ ‎（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；‎ ‎（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由．‎ ‎（1）证明：因为是同一个不为0的常数（或证），‎ 所以依次构成等比数列.‎ ‎（2）解：不存在，理由如下：‎ 令，则分别为．‎ 假设存在，使得依次构成等比数列，‎ 则再令，则化简得将代入式，得，因为，所以，显然不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立.‎ 因此不存在，使得依次构成等比数列．‎ ‎（3）解：不存在，理由如下：‎ 假设存在及正整数，使得依次构成等比数列，则，且，‎ 分别在两个等式的两边同除以及，并令，‎ 则，且.‎ 将上述两个等式两边取对数，得，且，‎ 化简得，‎ 且，将这两式相除，化简得 ‎. （）‎ 令，‎ 则.‎ 再令，‎ 则.‎ 令，则.‎ 令，则. ‎ 由，，知在和上均单调.故只有唯一零点，即方程（）只有唯一解，故假设不成立.‎ ‎（第21题）‎ 所以不存在及正整数，使得依次构成等比数列．‎ ‎21． A．[选修4-1：几何证明选讲] ‎ 如图，在中，，的外接圆⊙的弦交于点．‎ 求证：∽．‎ 证明：因为，所以.又因为，所以.又为公共角，所以∽．‎ B．[选修4-2：矩阵与变换] ‎ 已知，向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量，求矩阵以及它的另一个特征值．‎ 解：由已知得，即，即，则解得所以矩阵.‎ 于是矩阵的特征多项式.‎ 所以矩阵的另一个特征值为1．‎ C.[选修4-4：坐标系与参数方程] ‎ 已知圆的极坐标方程为，求圆的半径.‎ 解：以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点，以极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，则，.‎ 原极坐标方程即，‎ 化简，得，即，化为标准方程，所以圆的半径为.‎ D．[选修4-5：不等式选讲] ‎ 解不等式．‎ ‎（第22题）‎ 解：原不等式可化为或解得或.所以原不等式的解集为．‎ ‎22．如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,.‎ ‎（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；‎ ‎（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．‎ ‎（第22题）‎ 解： （1）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．‎ 因为平面，所以是平面的一个法向量．‎ 因为，，设平面的一个法向量为，则即得可取.设向量的夹角为，所以，‎ 所求二面角的平面角与相等或互补，根据图形可知，所求二面角的平面角为锐角，‎ 所以平面与平面所成二面角的余弦值为.‎ ‎（2）因为，设，又，则，.‎ 从而.设，‎ 于是（当且仅当时取等号），此时.因为在上是减函数，所以此时直线与所成角取得最小值.又因为，所以．‎ ‎23. 已知集合，，令表示集合所含元素的个数.‎ ‎（1）写出的值；‎ ‎（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明．‎ 解：（1）时，，‎ 当时，可以取；当时，可以取；当时，可以取，故．‎ ‎（2）当时，.‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，，结论成立；‎ ‎②假设时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：‎ ‎ 若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎ 若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎ 若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎ 若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎ 若，则，此时有 ‎，结论成立；‎ ‎ 若，则，此时有 ‎，结论成立.‎ 综上，结论对满足的自然数均成立．‎