【数学】安徽省定远县育才学校2019-2020学年高二下学期期末考试（文）
安徽省定远县育才学校2019-2020学年
高二下学期期末考试（文）
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1.下列命题错误的是( )
A． 命题“若p，则q”与命题“若q，则p”互为逆否命题
B． 命题“∃x0∈R，x－x0>0”的否定是“∀x∈R，x2－x≤0”
C． ∀x>0且x≠1，都有x＋>2
D． “若am2
1，条件q：x>a，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥－1 B．a≤1
C．a≥1 D．a≤－3
5.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A． [0，) B． [，)
C． (，] D． [，π)
6.设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1，F2分别作x轴的垂线，交椭圆的四点构成一个正方形，则椭圆的离心率e为( )
A． B． C． D．
7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
A． B．
C． D．
8.在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )
A． B．r C．r D．r
9.已知函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，xf′(x)＜f(－x)成立(其中f′(x)是f(x)的导函数)，若a＝f()，b＝f(1)，c＝f，则a，b，c的大小关系是 ( )
A．c＞a＞b B．c＞b＞a
C．a＞b＞c D．a＞c＞b
10.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)＝0，当x＞0时，有＞0恒成立，则不等式f(x)＞0的解集为( )
A． (－1,0)∪(1，＋∞)
B． (－1,0)∪(0,1)
C． (－∞，－1)∪(1，＋∞)
D． (－∞，－1)∪(0,1)
11.M是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F为抛物线的焦点，以Fx为始边，FM为终边的角为α，且α＝60°，若|FM|＝4，则p等于( )
A． 1 B． 2
C． 3 D． 4
12.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2等于( )
A． B．
C． D．
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13.如图，直线y＝x－3与抛物线y2＝4x交于A，B两点，过A，B两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P，Q，则梯形APQB的面积为______．
14.若f(x)＝x3－4x＋2与直线y＝k有且只有一个交点，则k的取值范围为________．
15.命题p：若a，b∈R，则ab＝0是a＝0的充分条件，命题q：函数y＝的定义域是[3，＋∞)，则“p∨q”“p∧q”“p”中是真命题的为________．
16.下列结论：
①若命题p：∃x0∈R，tanx0＝2；命题q：∀x∈R，x2－x＋>0，则命题“p∧(q)”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③“设a，b∈R，若ab≥2，则a2＋b2>4”的否命题为“设a，b∈R，若ab<2，则a2＋b2≤4”．其中正确结论的序号为________．
三、解答题(共6小题,共70分)
17.（10分）已知命题p：对数loga(－2t2＋7t－5)(a>0，且a≠1)有意义，q：关于实数t的不等式t2－(a＋3)t＋(a＋2)<0.
(1)若命题p为真，求实数t的取值范围；
(2)若命题p是q的充分条件，求实数a的取值范围．
18.（12分）已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，椭圆上两点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，若△ABF2的面积为，∠BF2A＝120°.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点O(O为坐标原点)作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于M，N两点，证明：点O到直线MN的距离为定值．
19. （12分）已知函数f(x)＝lnx－x2＋x.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)若在y轴右侧，函数h(x)＝(a－1)x2＋2ax－1的图象都在函数f(x)图象的上方，求整数a的最小值．
20. （12分）已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点(，1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．
21. （12分）如图，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．
22. （12分）已知函数f(x)＝lnx－ax2(a∈R)．
(1)若f(x)在点(2，f(2))处的切线与直线x－2y＋1＝0垂直，求实数a的值
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)讨论函数f(x)在区间[1，e2]上零点的个数．
参考答案
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)
1. D
【解析】 D选项，“若am2－2时，f′(x)>0.
所以x<－2时，xf′(x)>0；
－20时，xf′(x)>0.
故选C.
8.D
【解析】如下图所示，为圆及其内接梯形，
设∠COB＝θ，则CD＝2rcosθ，h＝rsinθ，
∴S＝·rsinθ
＝r2sinθ(1＋cosθ)
∴S′＝r2[cosθ(1＋cosθ)－sin2θ]
＝r2(2cos2θ＋cosθ－1)
令S′＝0得cosθ＝－1(舍去)或cosθ＝.
即当cosθ＝时，梯形面积最大，此时上底CD＝2rcosθ＝r.
9.A
【解析】∵函数y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，
∴当x∈(－∞，0)时，
xf′(x)＜f(－x)等价为xf′(x)＋f(x)＜0，
构造函数g(x)＝xf(x)，
则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＜0，
∴当x∈(－∞，0)时，函数g(x)单调递减，
且函数g(x)是偶函数，
∴当x∈(0，＋∞)时，函数g(x)单调递增，
则a＝f()＝g()，b＝f(1)＝g(1)，
c＝f＝g＝g(－2)＝g(2)，
∵1＜<2，
∴g(1)＜g()＜g(2)，
即b＜a＜c，故选A.
10.A
【解析】令g(x)＝，
则g′(x)＝，
由题意知g(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，
且g(1)＝0，
∵f(x)是R上的奇函数，
∴g(x)是R上的偶函数．
∴的草图如图所示：
由图象知：当x＞1时，f(x)＞0，
当－1＜x＜0时，f(x)＞0.
∴不等式f(x)＞0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)．
11.B
【解析】 不妨设M在第一象限，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，计算可得|MN|＝2，|FN|＝2，所以M的坐标为，代入y2＝2px(p>0)，得p＝2或p＝－6(舍)．
12.C
【解析】 由双曲线定义知，|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝2|PF2|，
∴|PF2|＝2，|PF1|＝4.|F1F2|＝2c＝2＝4.
∴cos∠F1PF2＝
＝＝＝.
二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)
13. 48
【解析】 由消去y，得x2－10x＋9＝0，
设B，A两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
解得或
∴|AP|＝10，|BQ|＝2，|PQ|＝8，
∴梯形APQB的面积为48.
14.∪
【解析】令g(x)＝f(x)－k，所以g(x)只有一个零点，
因为g′(x)＝f′(x)＝x2－4，
所以令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝－2，
g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：
g(x)有且仅有一个零点等价于g(－2)＜0或g(2)＞0，
所以－＋8＋2－k＜0或－8＋2－k＞0，解得k＞或k＜－.
故答案为k＞或k＜－.
15. p∨q，p
【解析】 p为假命题，q为真命题，故p∨q为真命题，p为真命题．
16. ①③
【解析】 ②l1⊥l2⇔a＋3b＝0.
三、解答题(共6小题,共70分)
17.解 (1)因为命题p为真，则－2t2＋7t－5>0，
解得10)，
由f′(x)<0，得2x2－x－1>0，即x>1或x＜－.
又x>0，所以x>1.
所以f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)．
(2)令g(x)＝f(x)－h(x)＝lnx－ax2＋(1－2a)x＋1，
所以g′(x)＝－2ax＋(1－2a)
＝.
当a≤0时，因为x>0，所以g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上是单调递增，
又因为g(1)＝ln 1－a×12＋(1－2a)＋1＝－3a＋2>0，
所以关于x的不等式f(x)≤(a－1)x2＋2ax－1不能恒成立；
当a>0时，g′(x)＝
＝－，
令g′(x)＝0，得x＝，
所以当x∈时，g′(x)>0；
当x∈时，g′(x)<0，
因此函数g(x)在上单调递增，在单调递减．
故函数g(x)的最大值为g＝－ln 2a.
令F(a)＝－ln 2a，
因为F＝>0，F(1)＝－ln 2<0，
又F(a)在a∈(0，＋∞)上单调递减．
所以当a≥1时，F(a)<0，
所以整数a的最小值为1.
20.解 (1)由e＝，可得＝，
所以a2＝3b2，
故双曲线方程可化为－＝1.
将点P(，1)代入双曲线C的方程，
解得b2＝1，所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)联立直线与双曲线方程，
⇒(1－3k2)x2－6kx－9＝0.
由题意得，
解得－10)的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝，
则FA的方程为y＝(x－1)．
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组得
所以N.
22. (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∵f(x)＝lnx－ax2，
∴f′(x)＝－ax＝，
由于直线x－2y＋1＝0的斜率为，
∴×＝－1，∴a＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝－ax＝，
当a≤0时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＜，由f′(x)<0，得x＞，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)由(2)可知，
当a＜0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，
∵f(x)min＝－a>0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点．
当a＝0时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，
∵f(1)＝－a＝0，∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点．
当a＞0时，①若≤1即a≥1时，f(x)在区间[1，e2]上单调递减，
∵f(1)＝－a＜0，∴f(x)在区间[1，e2]上没有零点，
②若1＜0，即a<时，由f(e2)＝2－ae4>0得a<，此时f(x)在区间[1，e2]上有一个零点，
由f(e2)＝2－ae4≤0得a≥，此时f(x)在区间[1，e2]上有两个零点，
③若≥e2即0＜a≤时，f(x)在区间[1，e2]上单调递增，
∵f(1)＝－a＜0，f(e2)＝2－ae4＞0，
∴f(x)在区间[1，e2]上有一个零点，
综上所述，当0≤a＜或a＝时，f(x)在区间[1，e2]上有一个零点；
当≤a＜时，f(x)在区间[1，e2]上有两个零点；
当a＜0或a＞时，f(x)在区间[1，e2]上没有零点．
