黑龙江省大庆中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

黑龙江省大庆中学2020届高三上学期期中考试数学（理）试题

大庆中学2019--2020学年高三期中考试试题 理科数学 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ 1. 集合,,则(    )‎ A. B. C. 1, D. 2,‎ 2. 的值等于(    )‎ A. B. ‎10 ‎C. D. ‎ 3. 已知a,b,,则下列说法正确的是 A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 4. 已知,,且,则 A. 1 B. ‎3 ‎C. D. ‎ 5. 定义在R上的函数满足则等于   ‎ A. B. C. 3 D. 8‎ 6. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是质点P移动五次后位于点的概率是(    )‎ A. B. C. D. ‎ 7. 圆与圆的公切线有几条(    )‎ A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 1. 如图所示,D,C,B三点在地面同一直线上 ,,从C,D两点测得A点的仰角分别是,,则A点离地面的高等于 ‎ A. B. C. D. ‎ 2. 的图象如图所示,为了得到的图象,则只要将的图象(    ) ​‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 3. 在中,,则的周长为(    )‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知数列满足：,,,那么使成立的n的最大值为(    )‎ A. 4 B. ‎5 ‎C. 24 D. 25‎ 5. 已知椭圆与双曲线有相同的焦点,,点P是两曲线的一个公共点,且,,分别是两曲线,的离心率,则的最小值是(    )‎ A. 4 B. ‎6 ‎C. 8 D. 16‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 6. 已知a,,i是虚数单位,若,则的值为______．‎ 1. 在锐角中,,,,则 ______ ．‎ 2. 已知,在处有极值,则 ______ ．‎ 3. 如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题： 平面PAC； 平面MOB； 平面PAC； 平面平面PBC． 其中正确的命题的序号是______． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ 4. 在数列中,设,且满足,且． 设,证明数列为等差数列； 求数列的前n项和． ‎ 5. 现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择为增加趣味性,约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率 用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列． ‎ 1. 如图,等腰直角中,,平面平面ABC,,,。 ‎ Ⅰ求证：；‎ Ⅱ求二面角的正弦值。 ‎ 2. 如图,已知椭圆的离心率为,E的左顶点为A、上顶点为B,点P在椭圆上,且的周长为． ‎ 求椭圆的方程； 设C,D是椭圆E上两不同点,,直线CD与x轴、y轴分别交于M,N两点,且的取值范围． ‎ 1. 设函数Ⅰ求函数的单调区间；Ⅱ若函数有两个零点,,求满足条件的最小正整数a的值． ‎ 2. 选修：坐标系与参数方程 ‎ 在极坐标系中,圆C的方程为,以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy,直线l的参数方程为为参数．‎ 求圆C的直角坐标方程化为标准方程和直线l的极坐标方程；‎ 若l与圆C的一个交点为异于原点,l与直线的交点为Q,且求a的值． ‎ 大庆中学2019--2020学年高三数学期中考试试题 答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. D 2. B 3. D 4. C 5. D 6. B 7. C 8. A 9. A 10. A 11. C 12. C ‎ ‎13. 2  ‎ ‎14.   ‎ ‎15.   ‎ ‎16.   ‎ ‎17. 解：证明：由已知得, 得, , 又, , 是首项为1,公差为1的等差数列． ：由Ⅰ知,, ,   , 两边乘以2,得, 两式相减得, ．  ‎ ‎18. 解：依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为, 去参加乙游戏的人数的概率为, ‎ 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件1,2,3,, , 这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为； 设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B, 则,由于与互斥, , 这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为； 的所有可能取值为0,2,4,由于与互斥,与互斥, 故, , , 的分布列是 ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎．  ‎ ‎19. 解：Ⅰ证明：直角中是直角,即, 平面平面ABEF, 平面平面ABEF于AB,平面ABC, 平面ABEF, 又平面ABEF, ；Ⅱ由Ⅰ知平面ABEF, 故建立如图所示空间直角坐标系, ‎ ‎ 设, 则由已知可得0,,2,,,,,,, 设平面CEF的一个法向量为, 则有, 令,则, 即． 设平面BCE的一个法向量, 则有, , 令,则, 设二面角的平面角为, 则, 所以, 所以二面角的的正弦值为  ‎ ‎20. 解：由题意知：, ,, 椭圆方程为． ‎ ‎,,． 由,设直线CD的方程为, 由已知,得,, 设,, 由,得, ,, ,, 由得, ,即, 同理,由,得, , 由,得 ,．  ‎ ‎21. 解：Ⅰ． 当时,在上恒成立, 所以函数单调递增区间为,此时无单调减区间． 当时,由,得, 由,得,得, 所以函数的单调增区间为,单调减区间为Ⅱ由Ⅰ可知函数有两个零点, 所以,的最小值,即． 因为,所以． 令,显然在上为增函数,且,, ‎ 所以存在,． 当时,；当时,, 所以满足条件的最小正整数． 又当时,,, 所以时,有两个零点． 综上所述,满足条件的最小正整数a的值为3．  ‎ ‎22. 解：由,得,易得直线l的极坐标方程为, 由圆C的方程为,得, 易得,化简得圆C的直角坐标方程为 将代入得,则, 易得,则,从而,解得．  ‎ ‎【解析】‎ ‎1. 解：解绝对值不等式|x-1|⩽2得：-1≤x≤3，又x∈Z，所以N=， 又M={x|x＞0，x∈R}， 所以M∩N=， 故选：D． 由绝对值不等式的解法及集合交集的运算得：N=，又M={x|x＞0，x∈R}，所以M∩N=，得解． 本题考查了绝对值不等式的解法及集合交集的运算，属简单题．‎ ‎2. 解：原式, 故选：B． 利用指数与对数的运算法则即可得出． 本题考查了指数与对数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．‎ ‎3. 【分析】 本题考查了不等式的概念与不等关系,不等式性质,‎ 属于基础题利用不等式性质分别判断各选项,即可得结果． 【解答】 解：错误,当时,无意义； B.错误,比如,便得不到； C.错误,比如,得不到； D.正确,若,根据不等式的性质,则成立． 故选D．‎ ‎4. 【分析】 本题考查平面向量共线的表示,向量的模,是一个基础题,这种题目可以单独出现,也可以作为解答题目的一部分出现． 根据所给的向量的坐标和两个向量平行的关系,写出两个向量平行的共线的充要条件,求出x的值,再求模即可  【解答】 解：已知,,且, 所以, 解得, 所以 则． 故选C．‎ ‎5. 【分析】 本题考查分段函数的函数的值,以及利用函数的周期求出函数值,属于基础题． 根据解析式先求出当时,函数的周期为6,再用周期性和解析式得,代入解析式求解． 【解答】 解：定义在R上的函数满足 由题意得, ‎ ‎． 故选D．‎ ‎6. 【分析】‎ 本题考查n次独立重复试验中恰有k次发生的概率计算,关键是明确质点P移动5次后位于点质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次．‎ ‎【解答】‎ 解：根据题意,易得位于坐标原点的质点P移动5次后位于点,在移动过程中向右移动2次向上移动3次．‎ 则其概率为P ．‎ 故选B．‎ ‎7. 【分析】 本题考查了圆的一般式方程与标准方程的互化和两圆位置关系的判断等知识点,属于中档题． 将圆的方程化为标准方程,求出圆心距及半径,可得两圆相外切,由此可确定两圆的公切线的条数． 【解答】 解：圆化为标准方程为：, 则圆心坐标为,半径为2, 圆化为标准方程为：, 则圆心坐标为,半径为3, 圆心距, 即两圆的圆心距等于两圆的半径的和, 两圆相外切, 两圆的公切线有3‎ 条． 故选C．‎ ‎8. 【分析】‎ 本题考查了解三角形的应用,根据已知条件,设出AB的长度,然后建立关于x的方程,解方程即可．‎ ‎【解答】‎ 解：设,则在中, , , 在中,, ,‎ 求得 ,‎ 故选A．‎ ‎9. 【分析】 本题主要考查利用了的图象变换规律,属于基础题． 先根据图象确定A的值,进而根据三角函数结果的点求出求与的值,确定函数的解析式,然后根据诱导公式将函数化为余弦函数,再平移即可得到结果． 【解答】 解：函数的部分图象, 可得,,,则, 再根据五点法作图可得 ,求得, 故 函数的图象向左平移个单位, 可得 的图象,  则只要将的图象向右平移个单位长度可得 ‎． 故选：A．‎ ‎10. 解：, 由正弦定理可得：, 的周长 故选：A． 由正弦定理可得,利用三角函数恒等变换的应用,三角形内角和定理,化简即可得解． 本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于基础题．‎ ‎11. 解：由题意, 为首项为1,公差为1的等差数列, ,又,则, 由得, ． 那么使成立的n的最大值为24． 故选C． 由题意知为首项为1,公差为1的等差数列,由此可知,再结合题设条件解不等式即可得出答案． 本题考查数列的性质和应用,解题时要注意整体数学思想的应用．‎ ‎12. 【分析】 本题考查的最小值的求法,是中档题,解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义,‎ 注意均值定理的合理运用． 由题意设焦距为‎2c,椭圆长轴长为,双曲线实轴为,令P在双曲线的右支上, 由已知条件结合双曲线和椭圆的定义推出,由此能求出的最小值． 【解答】 解：由题意设焦距为‎2c,椭圆长轴长为,双曲线实轴为, 令P在双曲线的右支上, 由双曲线的定义, 由椭圆定义, 又, , ,得, 将代入,得, ,即的最小值是8． 故选C．‎ ‎13. 【分析】 根据复数相等的充要条件,构造关于a,b的方程,解得a,b的值,进而可得答案． 本题考查的知识点是复数的乘法运算,复数相等的充要条件,难度不大,属于基础题． 【解答】 解：,a,, 解得： , 故答案为2．‎ ‎14. 【分析】 本同题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦公式的应用,属于基础题． 利用同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,求得 的值． 【解答】 解：锐角中,,,, ,, 则, 故答案为．‎ ‎15. 【分析】 本题考查了函数的单调性、极值问题,考查导数的应用,难度较易,属于基础题． 求出函数的导数,得到关于a,b的方程组,求出a,b的值,从而求出的值即可． 【解答】 解：, 由,在处有极值, 得,解得：, 故, 故答案为．‎ ‎16. 【分析】 本题主要考查了直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质以及面面垂直的判定,考查了空间想象能力和推理论证能力,考查了数形结合思想的应用,属于中档题． 先证明,即可判定平面PAC； 在平面MOB内,可得错误； 可证,平面即可证明平面PAC不成立； 由知平面PAC,即可证明平面平面PBC． 【解答】 解：因为,平面PAC,平面PAC,所以正确； 因为PA在平面MOB内,所以错误； ‎ 因为PA垂直于圆O所在的平面,平面ABC,所以． 又,,所以平面因为空间内过一点作已知平面的垂线有且只有一条,所以平面PAC不成立,错误； 由知平面PAC,且平面PBC,所以平面平面PBC． 正确命题的序号是． 故答案为．‎ ‎17. 根据数列的递推公式可得是首项为1,公差为1的等差数列． 先化简,利用利用错位相减求和法求解． 本题考查数列的通项与求和,解题时要注意错位相减法的合理运用,考查学生的计算能力,属于中档题．‎ ‎18. 本题考查概率知识的求解,考查互斥事件的概率公式,考查离散型随机变量的分布列与期望,属于中档题． 人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的人数的概率为,设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件1,2,3,,故,这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为； 设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏”为事件B,则,利用互斥事件的概率公式可求； 的所有可能取值为0,2,4,由于与互斥,与互斥,求出相应的概率,可得的分布列．‎ ‎19. 本题考查面面垂直的性质,线面垂直的判定与性质,利用空间向量求二面角,属于基础题．Ⅰ利用面面垂直的性质得到线面垂直,即可证明线线垂直；Ⅱ建立适当的空间直角坐标系,利用法向量求二面角．‎ ‎20. 由题意知：,由此能求出椭圆方程． 由,,知由,设直线CD的方程为,由已知,得,‎ ‎,设,,由,得,再由根的判别式和韦达定理知,同理,,由此能求出,． 本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化．‎ ‎21. 本题考查了利用导数求函数的单调区间以及根的存在性原理的运用,属于中档题．Ⅰ利用导数的运算法则即可得出,并对a分类讨论即可；Ⅱ由Ⅰ的结论,结合根的存在性原理,可以判断存在,,当,；‎ ‎22. 本题考查极坐标方程及其应用和圆的标准方程,是基础题． 由直线的参数方程得到直线的极坐标方程,由圆的极坐标方程两边同时乘以,,再化成标准方程； 将代入得,则,从而得到Q的坐标,求出,由,解得．‎