【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第四章第四讲　正、余弦定理及解三角形学案

【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第四章第四讲　正、余弦定理及解三角形学案

第四讲　正、余弦定理及解三角形 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.[2018 全国卷Ⅱ,6,5 分][理]在△ABC 中,cos 퐶 2 = 5 5 ,BC=1,AC=5,则 AB= (　　) A.4 2 B. 30 C. 29 D.2 5 2.[2017 山东,9,5 分][理]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若△ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)= 2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 3.[2019 福建宁德联考]在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a=18,b=24,A=45°,则此三角形 (　　) A.无解 B.有一解 C.有两解 D.解的个数不确定 4.[改编题]下列说法正确的是(△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c) (　　) ①在△ABC 中,若 A>B,则必有 sin A>sin B; ②在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则△ABC 为锐角三角形; ③在△ABC 中,若 A=60°,a=4 3,b=4 2,则 B=45°或 B=135°; ④若满足条件 C=60°,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,则实数 a 的取值范围是( 3,2); ⑤在△ABC 中,若 acos B=bcos A,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤ D.①③⑤ 5.[2017 全国卷Ⅲ,15,5 分]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60°,b= 6,c=3,则 A=　　　　. 6.[2019 全国卷Ⅱ,15,5 分] [理]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 b=6,a=2c,B= π 3,则△ABC 的面积 为　　　　. 7.[2019 浙江,14,6 分]在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点 D 在线段 AC 上.若∠BDC=45°,则 BD=　　　　,cos∠ABD=　　　　. 8.[2016 全国卷Ⅱ,13,5 分][理]△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= 4 5,cos C= 5 13,a=1,则 b=　　　　. 9.[2019 江西名校高三质检]已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,S△ABC 表示△ABC 的面积,且有 b(asin A+bsin B)= 4sin B·S△ABC+bcsin C,若 c= 6,则△ABC 的外接圆 半径为　　　.　　　　 10.[2015 湖北,13,5 分][理]如图 4 - 4 - 1,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧 一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则 此山的高度 CD=　　　m. 考法 1 利用正、余弦定理解三角形 1 在△ABC 中,C= π 4,AB=2,AC= 6,则 cos B 的值为 A. 1 2 B. - 3 2 C. 1 2或 - 3 2 D. 1 2或 - 1 2 根据条件,两边和其中一边的对角→选用正弦定理求解 由题意知 C= π 4,c=AB=2,b=AC= 6,......................................................(条件类型:两边和其中一边的对角) 由正弦定理 푏 sin퐵 = 푐 sin퐶,得 sinB= 6sinπ 4 2 = 3 2 . ....................................................................(利用正弦定理求 sinB) 因为 b>c,所以 B>C= π 4,....................................................................................(利用“大边对大角”确定角的范围) 又 0C= π 4,显然 π 3与 2π 3 都满足题意. 解该题的过程中易出现的问题是漏解. (2)若该题是已知 B= π 3,AB= 2,AC= 6,求 C,则由正弦定理可得 sinC= 퐴퐵sin퐵 퐴퐶 = 2sinπ 3 6 = 1 2.又 AB0,则 b= 푡 푎. 代入上式可得 a2+ 푡2 푎2 = 푡2 16 - t. 左边式子呈现出基本不等式的结构,故利用基本不等式可得 푡2 16 - t=a2+ 푡2 푎2≥2 푎2 × 푡2 푎2=2t,即 푡2 16≥3t,解得 t≥48,当 且仅当 a=b=4 3时取等号,即 ab 的最小值为 48. 9 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 C=3B,则 푐 푏的取值范围为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.(0,3) B.(1,3) C.(0,3] D.(1,3] 由正弦定理可得 푐 푏 = sin퐶 sin퐵 = sin3퐵 sin퐵 = sin2퐵cos퐵 + cos2퐵sin퐵 sin퐵 =2cos2B+cos2B=4cos2B - 1. ∵ A+B+C=180°,C=3B,∴0° 1 8,∴方案 2 好. 素养探源　 核心素养 考查途径 素养水平 数学建模 根据不同的方案,确定参数,选择 适当的面积公式. 二 数学运算 求面积、求最值、比较大小. 二 试题评析　 本题以江水养殖场为背景,创设了求三角形面积最大值问题,体现了用三角知识解决生活中的问题,培养学生 的数学应用意识.本题中求△MPQ 面积的最值难度比较大,已知三角形中,两边之和为定值,往往想到利用基本 不等式求两边之积的最大值,结合面积公式,再求夹角正弦值的最大值,需要两次求最值的条件同时满足才可 以;求△EOF 面积的最值比较常规,利用基本不等式求最值,结合面积公式得面积最值. 9.如图 4 - 4 - 6,经过村庄 A 有两条夹角为 60°的公路 AB,AC,根据规划要在两条 公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求 PM=PN=MN=2(单位:千米).记∠AMN=θ. (1)将 AN,AM 用含 θ 的关系式表示出来; (2)如何设计(即AN,AM 为多长时),可使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距 离 AP 最大)? 1.A　因为 cos C=2cos2 퐶 2 - 1=2× 1 5 - 1= - 3 5,所以由余弦定理,得 AB2=AC2+BC2 - 2AC×BCcos C=25+1 - 2×5×1×( - 3 5)=32,所以 AB=4 2,故选 A. 2.A　由题意可知 sin B+2sin Bcos C=sin Acos C+sin(A+C),即 2sin Bcos C=sin Acos C,又 cos C≠0,故 2sin B=sin A,由正弦定理可知 a=2b.故选 A. 3.C　∵bsin A=12 2B,则 a>b, 푎 2푅 > 푏 2푅(R 为△ABC 的外接圆的半径),即 sin A>sin B,①正确; 对于②,在△ABC 中,若 b2+c2>a2,则 A 是锐角,但△ABC 不一定是锐角三角形,②错误; 对于③,由 푎 sin퐴 = 푏 sin퐵得 sin B= 푏 푎sin A= 4 2 4 3 × 3 2 = 2 2 ,因为 a>b,所以 B0,于是有 cos B<0,即 B 为钝角,所以△ABC 是钝 角三角形.故选 A. 3.(1)C　根据题意及三角形的面积公式知 1 2absin C= 푎2 + 푏2 - 푐2 4 ,所以 sin C= 푎2 + 푏2 - 푐2 2푎푏 =cos C,所以在△ABC 中,C= π 4. (2)15　 7　由 4sin B=5sin C,得 4sin(π - A - C)=5sin C,即 4sin(A+C)=5sin C,即 4(sin Acos C+cos Asin C)=5sin C. 又 A=2C,所以 4(sin 2Ccos C+cos 2Csin C)=5sin C,即 4[2sin Ccos2C+(2cos2C - 1)sin C]=5sin C. 因为 A=2C,所以 0

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