高考数学平面解析几何时直线与直线的位置更多资料关注微博高中学习资料库

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平面解析几何第3课时　直线与直线的位置关系 ‎1. (必修2P104例2改编)两平行直线x＋3y－4＝0与2x＋6y－9＝0的距离为________．‎ 答案： 解析：在直线x＋3y－4＝0上取点P(4，0)，则点P(4，0)到直线2x＋6y－9＝0的距离d即为两平行直线之间的距离．‎ d＝＝＝.‎ ‎2. (必修2P93习题7改编)已知直线x＋ay＝2a＋2与直线ax＋y＝a＋1平行，则实数a的值为________．‎ 答案：1‎ 解析：由平行直线斜率相等得＝a，解得，a＝±1，由于当a＝－1时两直线重合，∴ a＝1. ‎ ‎3. (必修2P93习题16改编)直线l经过点(3，0)，且与直线l′：x＋3y－2＝0垂直，则l的方程是______________．‎ 答案：3x－y－9＝0‎ 解析：直线l′：x＋3y－2＝0的斜率为k′＝－，由题意，得k′k＝k＝－1，则k＝3.所以l的方程为y＝3(x－3)，即3x－y－9＝0.‎ ‎4. (必修2P96习题5改编)若直线l经过直线2x－y＋3＝0和3x－y＋2＝0的交点，且垂直于直线y＝2x－1，则直线l的方程为______________．‎ 答案：x＋2y－11＝0‎ 解析：由得即交点(1，5)，直线y＝2x－1的斜率为k＝2，与其垂直的直线斜率为－＝－，所以所求直线方程为y－5＝－(x－1)，‎ 即x＋2y－11＝0.‎ ‎5. (必修2P106习题18改编)已知直线l：y＝3x＋3，那么直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程为____________．‎ 答案：7x＋y＋22＝0‎ 解析：由得交点坐标P.又直线x－y－2＝0上的点Q(2，0)关于直线l的对称点为Q′，故所求直线(即PQ′)的方程为＝，即7x＋y＋22＝0.‎ ‎1. 两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2‎ A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)‎ 相交 k1≠k2‎ A1B2－A2B1≠0(A2B2≠0时，≠)‎ 垂直 k1＝－或k1k2＝－1‎ A1A2＋B1B＝0(当B1B2≠0时，·＝－1)‎ 平行 k1＝k2且b1≠b2‎ 或(当A2B2C2≠0，记为＝≠)‎ 重合 k1＝k2且b1＝b2‎ A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) (当A2B2C2≠0，记为＝＝)‎ ‎2. 两条直线的交点 设两条直线的方程是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交，此解就是交点坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立．‎ ‎3. 几种距离 ‎(1) 两点间的距离 平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式：‎ d(A，B)＝AB＝.‎ ‎(2) 点到直线的距离 点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.‎ ‎(3) 两条平行线间的距离 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.‎ ‎[备课札记]‎ 题型1　两直线的平行与垂直 例1　两条直线l1：(m＋3)x＋2y＝5－3m，l2：4x＋(5＋m)y＝16，‎ 分别求满足下列条件的m的值．‎ ‎(1) l1与l2相交；‎ ‎(2) l1与l2平行；‎ ‎(3) l1与l2重合；‎ ‎(4) l1与l2垂直．‎ 解：可先从平行的条件＝(化为a1b2＝a2b1)着手．由＝，得m2＋8m＋7＝0，解得m1＝－1，m2＝－7.‎ 由＝，得m＝－1.‎ ‎(1) 当m≠－1且m≠－7时，≠，l1与l2相交．‎ ‎(2) 当m＝－7时，＝≠.l1∥l2.‎ ‎(3) 当m＝－1时，＝＝，l1与l2重合．‎ ‎(4) 当a1a2＋b1b2＝0，即(m＋3)·4＋2·(5＋m)＝0，m＝－时，l1⊥l2.‎ 已知两直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，分别求满足下列条件的a、b的值．‎ ‎(1) 直线l1过点(－3，－1)，且l1⊥l2；‎ ‎(2) 直线l1与l2平行，且坐标原点到l1、l2的距离相等．‎ 解：(1) ∵ l1⊥l2，∴ a(a－1)＋(－b)·1＝0, 即a2－a－b＝0 ①.又点(－3，－1)在l1上，∴ －3a＋b＋4＝0 ②，由①②解得 a＝2，b＝2.‎ ‎(2) ∵ l1∥l2且l2的斜率为1－a. ∴ l1的斜率存在，即＝1－a，b＝.故l1和l2的方程可分别表示为l1：(a－1)x＋y＋＝0，l2：(a－1)x＋y＋＝0.∵ 原点到l1和l2的距离相等，‎ ‎∴ 4＝，解得a＝2或.‎ 因此或 题型2　两直线的交点 例2　求经过直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程．‎ 解：解得直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点为，由已知垂直关系可求得所求直线的斜率为，进而得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.‎ 已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2‎ ‎：x＋y＋6＝0截得的线段之长为5，求直线l的方程．‎ 解：(解法1)若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1、l2的交点分别为A′(3，－4)和B′(3，－9)，截得的线段AB的长＝＝5，符合题意．‎ 若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1.‎ 解方程组，得A，‎ 解方程组，得B.‎ 由＝5，得＋(－＋)2＝52.‎ 解之，得k＝0，即所求的直线方程为y＝1.‎ 综上可知，所求l的方程为x＝3或y＝1.‎ ‎(解法2)由题意，直线l1、l2之间的距离为d＝＝，且直线l被平行直线l1、l2所截得的线段AB的长为5(如图)．‎ 设直线l与直线l1的夹角为θ，则sinθ＝＝，故θ＝45°.‎ 由直线l1：x＋y＋1＝0的倾斜角为135°，知直线l的倾斜角为0°或90°.又直线l过点P(3，1)，故直线l的方程为x＝3或y＝1.‎ ‎(解法3)设直线l与l1、l2分别相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.‎ 两式相减，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.　①‎ 又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，　②‎ 联立①②，可得 或 由上可知，直线l的倾斜角分别为0°或90°.‎ 故所求直线方程为x＝3或y＝1.‎ 题型3　点到直线及两平行直线之间的距离 例3　已知点A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，求一点P使|PA|＝|PB|，且点P到l的距离等于2.‎ 解：为使|PA|＝|PB|(如图)，点P必在线段AB的垂直平分线上，又点P到直线l的距离为2，所以点P又在距离l为2且平行于l的直线上，求这两条直线的交点即得所求点P.设点P的坐标为P(a，b)．‎ ‎∵ A(4，－3)，B(2，－1)．∴ AB的中点M的坐标为(3，－2)．又AB的斜率kAB＝＝－1.∴ AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.‎ 而P(a，b)在直线x－y－5＝0上．∴ a－b－5＝0①.‎ 又已知点P到l的距离为2，∴ 点P必在与l平行且距离为2的直线上，设直线方程为4x＋3y＋m＝0，由两条平行直线之间的距离公式，得＝2，‎ ‎∴ m＝8或－12.∴ 点P在直线4x＋3y＋8＝0或4x＋3y－12＝0上．∴ 4a＋3b＋8＝0或4a＋3b－12＝0 ②.由①②得a＝1，b＝－4或a＝，b＝－.‎ ‎∴ 点P(1，－4)或P(，－)为所求的点．‎ 已知点P1(2，3)、P2(－4，5)和A(－1，2)，求过点A且与点P1、P2距离相等的直线方程．‎ 解：(解法1)设所求直线方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由点P1、P2到直线的距离相等得 ＝.‎ 化简得＝，‎ 则有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，‎ 解得k＝－或方程无解．‎ 方程无解表明这样的k不存在，但过点A，所以直线方程为x＝－1，它与P1、P2的距离都是3.‎ ‎∴所求直线方程为y－2＝－(x＋1)或x＝－1.‎ ‎(解法2)设所求直线为l，由于l过点A且与P1、P2距离相等，所以l有两种情况，如下图：‎ ‎①当P1、P2在l的同侧时，有l∥P1P2，此时可求得l的方程为y－2＝(x＋1)，即y－2＝－(x＋1)；‎ ‎②当P1、P2在l的异侧时，l必过P1、P2的中点(－1，4)，此时l的方程为x＝－1.‎ ‎∴所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)或x＝－1.‎ 题型4　对称问题 例4　直线l1：2x＋y－4＝0，求l1关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线l2的方程．‎ 解：在直线l1上取一点A(2，0)，又设点A关于直线l的对称点为B(x0，y0)，‎ 则解得B(，－)．‎ 又l1与l2的交点为M(3，－2)，故由两点式可求得直线l2的方程为2x＋11y＋16＝0.‎ 已知直线l：x＋2y－2＝0，试求：‎ ‎(1) 点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；‎ ‎(2) 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；‎ ‎(3) 直线l关于点(1，1)对称的直线方程．‎ 解：(1) 设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，‎ 则线段PP′的中点M在对称轴l上，且PP′⊥l.‎ ‎∴解得 即P′坐标为.‎ ‎(2) 直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P(x，y)关于l的对称点P′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立．‎ 由得 把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得7x－y－14＝0.‎ 即直线l2的方程为7x－y－14＝0.‎ ‎(3) 设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l′，则直线l上任一点P(x1，y1)关于点A的对称点P′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立．‎ 由得 将(x1，y1)代入直线l的方程得x＋2y－4＝0.‎ ‎∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.‎ 题型5　三角形中的直线问题 例5　直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，且A、B的坐标分别为A(－4，2)、B(3，1)，求顶点C的坐标并判断△ABC的形状．‎ 解：由题意画出草图(如图所示)．‎ 设点A(－4，2)关于直线l：y＝2x的对称点为A′(a，b)，则A′必在直线BC上．以下先求A′(a，b)．由对称性可得解得 ‎∴ A′(4，－2)．‎ ‎∴ 直线BC的方程为＝，‎ 即3x＋y－10＝0.‎ 由得C(2，4)．‎ ‎∴ kAC＝，kBC＝－3，∴ AC⊥BC.‎ ‎∴ △ABC是直角三角形．‎ 已知△ABC的顶点为A(3，－1)，AB边上的中线所在的直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在的直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在的直线方程．‎ 解：设B(4y1－10，y1)，由AB的中点在6x＋10y－59＝0上，可得6·＋10·－59＝0，解得y1 ＝ 5，‎ 所以B为(10，5)．‎ 设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，‎ 则有 A′(1，7)．‎ 故BC边所在的直线方程为2x＋9y－65＝0.‎ ‎1. 设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________条件．‎ 答案：充分不必要 解析：由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.‎ ‎2. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________．‎ 答案： 解析：因曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离为－＝2－＝，所以曲线C1与直线l不能相交，故x2＋a＞x，即x2＋a－x＞0.设C1：y＝x2＋a上一点为(x0，y0)，则点(x0，y0)到直线l的距离d＝＝＝≥＝，所以a＝.‎ ‎3. 与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．‎ 答案：3x＋4y＋5＝0‎ 解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.‎ ‎4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆＋＝1的右顶点，点D(1，0)，点P、B在椭圆上，＝.‎ ‎(1) 求直线BD的方程；‎ ‎(2) 求直线BD被过P、A、B三点的圆C截得的弦长；‎ ‎(3) 是否存在分别以PB、PA为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1) 设P(x0，y0)．因为＝，且D(1，0)，A(3，0)，点B、P在椭圆上，所以B(－x0，y0)，所以x0＝1，将其代入椭圆，得y0＝2，所以P(1，2)，B(－1，2)．所以直线BD的方程为x＋y－1＝0.‎ ‎(2) 线段BP的垂直平分线方程为x＝0，线段AP的垂直平分线方程为y＝x－1.解方程组得圆心C的坐标为(0，－1)．所以圆C的半径r＝CP＝.因为圆心C(0，－1)到直线BD的距离为d＝＝，所以直线BD被圆C截得的弦长为2＝4.‎ ‎(3) 这样的圆M与圆N存在．由题意得，点M一定在y轴上，点N一定在线段PC的垂直平分线y＝x－1上．当圆M与圆N是两个相外切的等圆时，一定有P、M、N在一条直线上，且PM＝PN.M(0，b)，则N(2，4－b)．因为点N(2，4－b)在直线y＝x－1上，所以4－b＝2－1，b＝3.所以这两个圆的半径为PM＝，方程分别为x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎1. 若动点A、B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，‎ 则AB的中点M到原点的距离的最小值为______．‎ 答案：3 解析：依题意知AB的中点M的集合为与直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距离都相等的直线，则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离，设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据平行线间的距离公式得＝|m＋7|＝|m＋5|m＝－6，所以l的方程为x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得M到原点的距离的最小值为＝3.‎ ‎2. 点(1，cosθ)(其中0≤θ≤π)到直线xsinθ＋ycosθ－1＝0的距离是，那么θ等于________．‎ 答案：或 解析：由已知得＝，即|sin θ－sin2θ|＝，‎ ‎∴ 4sin2θ－4sin θ－1＝0或4sin2θ－4sin θ＋1＝0，∴ sin θ＝或sinθ＝.∵ 0≤θ≤π，∴ 0≤sin θ≤1，∴ sin θ＝，即θ＝或.‎ ‎3. 求直线a：2x＋y－4＝0关于直线l：3x＋4y－1＝0对称的直线b的方程．‎ 解：由解得a与l的交点E(3，－2)，E点也在b上．‎ ‎(解法1)设直线b的斜率为k，又知直线a的斜率为－2，直线l的斜率为－.‎ 则＝，解得k＝－.‎ 代入点斜式得直线b的方程为y－(－2)＝－(x－3)，即2x＋11y＋16＝0.‎ ‎(解法2)在直线a：2x＋y－4＝0上找一点A(2，0)，设点A关于直线l的对称点B的坐标为(x0，y0)，‎ 由解得B.‎ 由两点式得直线b的方程为＝，‎ 即2x＋11y＋16＝0.‎ ‎(解法3)设直线b上的动点P(x，y)关于l：3x＋4y－1＝0的对称点为Q(x0，y0)，则有 解得x0＝，y0＝.‎ Q(x0，y0)在直线a：2x＋y－4＝0上，‎ 则2×＋－4＝0，‎ 化简得2x＋11y＋16＝0，即为所求直线b的方程．‎ ‎(解法4)设直线b上的动点P(x，y)，直线a上的点Q(x0，4－2x0)，且P、Q两点关于直线l：3x＋4y－1＝0对称，则有 消去x0，得2x＋11y＋16＝0或2x＋y－4＝0(舍)．‎ ‎4. 已知△ABC的两个顶点A(－1，5)和B(0，－1)，又知∠C的平分线所在的直线方程为2x－3y＋6＝0，求三角形各边所在直线的方程．‎ 解：设A点关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为A′(x1，y1)，‎ 则 ‎∴解得即A′，‎ 同理，点B关于直线2x－3y＋6＝0的对称点为B′.‎ ‎∵角平分线是角的两边的对称轴，∴A′点在直线BC上．‎ ‎∴直线BC的方程为y＝x－1，‎ 整理得12x－31y－31＝0.‎ 同理，直线AC的方程为y－5＝(x＋1)，‎ 整理得24x－23y＋139＝0.‎ 直线AB的方程为y＝x－1，‎ 整理得6x＋y＋1＝0.‎ ‎1. 在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑．‎ ‎2. 在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为Ax＋By＋C＝0的形式，否则会出错．‎ ‎3. 对称问题主要包括中心对称和轴对称 ‎(1) 中心对称 ‎① 点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 ‎② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．‎ ‎(2) 轴对称 ‎① 点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有×＝－1，A·＋B·＋C＝0.‎ ‎② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决