2011年海淀区初三数学一模试题答案

2011年海淀区初三数学一模试题答案

海淀区九年级第二学期期中练习 数 学 参考答案及评分标准 2011.5‎ 说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数 ‎ 一、选择题（本题共32分，每小题4分） ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 D B C B A C C A 二、填空题（本题共16分，每小题4分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎2‎ 注：第12题答对一个给2分，答对两个给4分 ‎ 三、解答题（本题共30分，每小题5分）‎ ‎13．解：原式= …………………………….……………………………4分 ‎= 3. …………………………….……………………………5分 ‎14．解：解不等式，得 , …………………………….……………………………2分 解不等式，得 ,‎ 即 , …………………………….……………………………4分 ‎ 所以，这个不等式组的解集是. …………………………….……………………………5分 ‎15．证明：在△COD中,‎ ‎∵ CO=DO,‎ ‎∴ ∠ODC=∠OCD. …………………………….……………………………1分 ‎∵ AC=BD,‎ ‎∴ AD=BC. …………………………….……………………………2分 在△ADE和△BCF中, ‎ ‎∵‎ ‎∴ △ADE≌△BCF. …………………………….……………………………4分 ‎∴ AE=BF. …………………………….……………………………5分 ‎16．解：∵ 是方程的一个根，‎ ‎∴ .‎ ‎∴ ，. …………………………….……………………………2分 ‎∴ 原式= …………………………….……………………………3分 ‎ = …………………………….……………………………4分 ‎ ==4. …………………………….……………………………5分 ‎17．解：（1）∵ 反比例函数的图象过点A（2，1），‎ ‎∴ m=2. …………………………….……………………………1分 ‎∵ 点B（-1，n）在反比例函数的图象上，‎ ‎∴ n = -2 .‎ ‎∴ 点B的坐标为（-1，-2）. …………………………….……………………………2分 ‎∵ 直线过点A（2，1），B（-1，-2），‎ ‎∴ ‎ 解得 …………………………….……………………………3分 ‎（2）或. （写对1个给1分） …………….……………………………5分 ‎18．解：因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶.‎ 设小华兑换了x个保温杯和y支牙膏， …………….……………………………1分 依题意，得 …………….……………………………3分 ‎ 解得 …………….……………………………4分 ‎ 答：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏. …………….……………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分）‎ ‎19．解：过点D作DE⊥AC于点E，则∠AED=∠DEC=90°. ………….……………………1分 ‎ ∵ AC⊥AB， ‎ ‎∴ ∠BAC=90°.‎ ‎ ∵ ∠B=60°, ‎ ‎∴ ∠ACB=30°.‎ ‎∵ AD∥BC， ‎ ‎∴ ∠DAC=∠ACB=30°. ………….……………………2分 ‎ ∴ 在Rt△ADE中，DE=AD=3，AE=，∠ADE=60°. ….………3分 ‎ ∵ ∠ADC=105°，‎ ‎∴ ∠EDC=45°.‎ ‎∴ 在Rt△CDE中， CE=DE=3. …………….……………………………4分 ‎ ∴ AC=AE+CE=.‎ ‎∴ 在Rt△ABC中，AB=ACtan∠ACB=. …….……………………5分 ‎20．证明：连接OF.‎ ‎（1） ∵ CF⊥OC,‎ ‎∴ ∠FCO=90°.‎ ‎∵ OC=OB，‎ ‎∴ ∠BCO=∠CBO.‎ ‎∵ FC=FB，‎ ‎∴ ∠FCB=∠FBC. …………………………..1分 ‎∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC.‎ 即 ∠FBO=∠FCO=90°.‎ ‎∴ OB⊥BF.‎ ‎∵ OB是⊙O的半径,‎ ‎∴ BF是⊙O的切线. …………………………..2分 ‎ ‎ ‎（2） ∵ ∠FBO=∠FCO=90°，‎ ‎∴ ∠MCF+∠ACO =90°，∠M+∠A =90°.‎ ‎∵ OA=OC，‎ ‎∴ ∠ACO=∠A.‎ ‎∴ ∠FCM=∠M. ……………………………………3分 易证△ACB∽△ABM,‎ ‎∴ .‎ ‎∵ AB=4，MC=6，‎ ‎∴ AC=2. ………………………………………………..4分 ‎∴ AM=8，BM==.‎ ‎∴cos∠MC F = cosM ==. ‎ ‎∴ ∠MCF=30°. ………………………………………………..5分 ‎21.（1）‎ ‎…………………………….……………………………2分 ‎（2）易知选择音乐类的有4人，选择美术类的有3人.记选择音乐类的4人分别是小丁；选择美术类的3人分别是小李.可画出树状图如下：‎ 由树状图可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是. .…………………………….……………………………4分 ‎ 或列表：‎ 小丁 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 小丁，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 小丁，‎ 小李 ‎，小李 ‎，小李 ‎，小李 小丁，小李 由表可知共有12中选取方法，小丁和小李都被选中的情况仅有1种，所以小丁和小李恰好都被选中的概率是. .…………………………….……………………………4分 ‎（3）由（1）可知问卷中最喜欢体育运动的的学生占40%，得 ‎ ‎ 所以该年级中最喜欢体育运动的学生约有200名. …………….……………………………5分 ‎22． 解：（1）; .…………………………….……………………………2分 ‎（2）. .…………………………….……………………………5分 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）‎ ‎ 23．证明：（1），‎ 所以方程总有两个实数根. .…………………………….……………………………2分 解：（2）由（1），根据求根公式可知,‎ ‎ 方程的两根为：‎ 即：，,‎ ‎ 由题意，有，即. ……………………….……………………………5分 ‎（3）易知，抛物线与y轴交点为M（0，）,由（2）可知抛物线与x轴的 交点为（1,0）和（,0），它们关于直线的对称点分别为（0,）和（0, ），‎ 由题意，可得：‎ 或，即或. ……….……………………………7分 ‎24．解：（1）由题意，可得及，解得，‎ 所以，抛物线的解析式为，直线的解析式为. …………………………2分 ‎ （2）设点P的坐标为，可得点Q的坐标为，则 ‎ ‎ ‎ 所以，当时，的长度取得最大值为4. ………………………………4分 ‎（3）易知点M的坐标为（1，-1）.过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形.直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为.因为点M在直线上，解得b =3,即直线MN的方程为，将其代入，可得 ‎ ‎ 即 ‎ 解得 ，‎ 易得 ，‎ 所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3,3）. …………5分 如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，‎ 显然四边形MNHG是平行四边形.可得点G（1,2），H（3,6）.‎ 所以，梯形AOMN的面积. ……………………7分 ‎25． 解：（1）k=1； ……………………….……………………………2分 ‎（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q. ‎ 由题意，tan∠BAC=，‎ ‎∴ .‎ ‎∵ D、E、B三点共线，‎ ‎∴ AE⊥DB.‎ ‎∵ ∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,‎ ‎∴ ∠QBC=∠EAQ.‎ ‎∵ ∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，‎ ‎∴ ∠ECA=∠BCG. ‎ ‎∴ .‎ ‎∴ .‎ ‎∴ GB=DE.‎ ‎∵ F是BD中点，‎ ‎∴ F是EG中点.‎ 在中，,‎ ‎∴ . .…………………………….……………………………5分 ‎（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，‎ ‎∵∠ACB=90°， tan∠BAC=，且BC= 6,‎ ‎∴AC=12，AB=.‎ ‎∵M为AB中点，∴CM=,‎ ‎∵AD=，‎ ‎∴AD=.‎ ‎∵M为AB中点，F为BD中点，‎ ‎∴FM== 2.‎ ‎∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=.‎ ‎.…………………………….……………………………6分 情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，‎ 连结MF和CM，‎ 类似于情况1，可知CF的最大值为. ‎ ‎………….……………………………7分 综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的 三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.‎ ‎ ‎ ‎.…………………………….……………………………8分