高考数学应用题

高考数学应用题

应用题训练 ‎1．（闸北区2013届高三一模）一人在海面某处测得某山顶的仰角为，在海面上向山顶的方向行进米后，测得山顶的仰角为，则该山的高度为 米．（结果化简） ‎ ‎2．【四川省资阳市2013届高三第一次诊断性考试】电视台应某企业之约播放两套连续剧．其中连续剧甲每次播放时间为80 min，其中广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，其中广告时间为1 min，收视观众为20万．已知该企业与电视台达成协议，要求电视台每周至少播放6 min广告，而电视台每周只能为该企业提供不多于320 min的节目时间．则该电视台通过这两套连续剧所获得的收视观众最多为（ ）‎ A．220万 B．200万 C．180万 D．160万 ‎3．（烟台市2013届高三期末 理科）某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．‎ ‎（1）试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）当k=‎50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？‎ ‎4．（泰安市2013届高三1月模拟）小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该年每年的运输收入均为25万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为25万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．‎ ‎（I）大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？‎ ‎（II）在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？‎ ‎（利润=累计收入+销售收入-总支出）‎ B A D C P 东 北 ‎5．（2010哈六中一模）“神州”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为）．当返回舱距地面‎1万米的点时（假定以后垂直下落，并在点着陆），救援中心测得飞船位于其南偏东方向，仰角为，救援中心测得飞船位于其南偏西方向，仰角为．救援中心测得着陆点位于其正东方向．‎ ‎（1）求两救援中心间的距离； ‎ ‎（2）救援中心与着陆点间的距离．‎ ‎6．（奉贤区2013届高三一模）某海域有、两个岛屿，岛在岛正东4海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线，曾有渔船在距岛、岛距离和为8海里处发现过鱼群．以、所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系．‎ ‎（1）求曲线的标准方程； ‎ ‎（2）某日，研究人员在、两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），、两岛收到鱼群在处反射信号的时间比为，问你能否确定处的位置（即点的坐标）？ ‎ ‎7．（2012年高考（湖南））某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．‎ ‎（1）用d表示a1,a2，并写出与an的关系式；‎ ‎（2）若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．‎ ‎8．（静安区2013届高三一模）某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是正方形，其中AB=‎2米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆． ‎ G E A B N D M C ‎（1）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数； ‎ ‎（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．‎ ‎9．（湖南省长郡中学2009届高三第二次月考）某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器，次品率p与日产量x（件）之间大体满足关系：P=．已知每生产一件合格的仪器可盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，厂方希望定出适当的日产量．‎ ‎（1）试判断：当日产量（件）超过94件时，生产这种仪器能否赢利?并说明理由；‎ ‎（2）当日产量x件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T（元）表示成日产量x（件）的函数；‎ ‎（3）为了获得最大利润，日产量x件应为多少件?‎ ‎10．（广东省珠海一中2011年2月高三第二学期第一次调研理科）某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第天的利润 (单位：万元，)，记第天的利润率，例如 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求第天的利润率；‎ ‎（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大?并求该天的利润率．‎ 参考答案 ‎1．； ‎ ‎2．B ‎3．‎ ‎4．‎ ‎5．解：（1）由题意知，则均为直角三角形…………………1分 在中，，解得…………………………2分 在中，，解得…………………………3分 又，万米. …………………………5分 ‎（2），，…………………………7分 又，所以.…………………………9分 在中，由正弦定理，…………………………10分 万米…………………………12分 ‎6．解（1）由题意知曲线是以、为焦点且长轴长为8的椭圆 3分 ‎ 又，则，故 5分 ‎ 所以曲线的方程是 6分 ‎（2）由于、两岛收到鱼群发射信号的时间比为，‎ 因此设此时距、两岛的距离分别比为 7分 即鱼群分别距、两岛的距离为5海里和3海里． 8分 设，，由 ， 10分 ‎， 12分 ‎ ‎ 13分 点的坐标为或 14分 ‎7．【解析】（1）由题意得, ‎ ‎, ‎ ‎. ‎ ‎（2）由（1）得 ‎. ‎ 整理得 . ‎ 由题意, ‎ 解得. ‎ 故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元. ‎ ‎8．E N G D M A B C 图1‎ 解：（1）①如图1所示，当MN在正方形区域滑动，‎ 即0＜x≤2时， ‎ ‎△EMN的面积S==； 2分 ‎②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，‎ 即2＜x＜时，‎ 如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，‎ ‎∵ E为AB中点，‎ E A B G N D M C 图2‎ H F ‎∴ F为CD中点，GF⊥CD，且FG＝.‎ 又∵ MN∥CD，‎ ‎∴ △MNG∽△DCG．‎ ‎∴ ，即． 5分 故△EMN的面积S＝‎ ‎＝； 7分 综合可得： ‎ ‎ 8分 说明：讨论的分段点x=2写在下半段也可．‎ ‎（2）①当MN在正方形区域滑动时，，所以有； 10分 ‎②当MN在三角形区域滑动时，S=.‎ 因而，当（米），S在上递减，无最大值，．‎ 所以当时，S有最大值，最大值为‎2平方米. 14分 ‎9．解：（1）当x>94时，p=，故每日生产的合格品约为x件，次品约为x件，‎ 合格品共可赢利xA元，次品共亏损x·xA元．‎ 因盈亏相抵，故当日产量超过94件时，不能赢利．‎ ‎（2）当1≤x≤94时，p=，每日生产的合格品约为x(1－)件，次品约为件，‎ ‎∴T=x(1－)A－·=[x－]A(1≤x≤94)．‎ ‎（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利．‎ 当1≤x≤94时，‎ ‎∵x≤94，96－x＞0，‎ ‎∴T≤‎ 当且仅当（96－x）=时，即x=84时，等号成立.‎ 故要获得最大利润，日产量应为84件．‎ ‎10．解：（1）当时， 当时，．‎ ‎（2）当时,．‎ ‎．‎ 当时，‎ ‎．‎ 第天的利润率 ．‎