高考数学抛物线试题汇编
第三节 抛物线
高考试题
考点一 抛物线的定义和标准方程
1.(2010年陕西卷,理8)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为( )
(A) (B)1 (C)2 (D)4
解析:圆x2+y2-6x-7=0化为标准方程为(x-3)2+y2=16,∴圆心为(3,0),半径是4,
抛物线y2=2px(p>0)的准线是x=-,
∴3+=4,
又p>0,解得p=2.故选C.
答案:C
2.(2011年辽宁卷,理3)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
(A) (B)1 (C) (D)
解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+=3,
∴xA+xB=.
∴线段AB的中点到y轴的距离为=.故选C.
故选C.
答案:C
3.(2012年四川卷,理8)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|等于( )
(A)2 (B)2 (C)4 (D)2
解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则M到焦点的距离为xM+=2+=3,∴p=2,∴y2=4x.∴=4×2,∴|OM|===2.故选B.
答案:B
4.(2010年上海卷,理3)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则点P的轨迹方程是 .
解析:由抛物线的定义知,点P的轨迹是以F为焦点,定直线x+2=0为准线的抛物线,故其标准方程为y2=8x.
答案:y2=8x
5.(2012年陕西卷,理13)如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.水位下降
1 m后,水面宽 m.
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,设抛物线方程为
x2=-2py(p>0),
则A(2,-2),将其坐标代入
x2=-2py,得p=1.∴x2=-2y.
当水面下降1 m,得D(x0,-3)(x0>0),
将其坐标代入x2=-2y得=6,
∴x0=,∴水面宽|CD|=2 m.
答案:2
6.(2010年浙江卷,理13)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2),若线段FA的中点B在抛物线上,则B到抛物线准线的距离为 .
解析:由已知得B点的纵坐标为1,横坐标为,即B,将其代入y2=2px得1=2p×,解得p=,则B点到准线的距离为+=p=.
答案:
考点二 抛物线的几何性质及其应用
1.(2011年四川卷,理10)在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )
(A)(-2,-9) (B)(0,-5)
(C)(2,-9) (D)(1,-6)
解析:当x1=-4时,y1=11-4a;当x2=2时,y2=2a-1,所以割线的斜率k==a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为x0,由y′=2x+a得切线斜率为2x0+a,∴2x0+a=a-2,∴x0=-1.
∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为y+a+4=(a-2)(x+1),
即(a-2)x-y-6=0.
圆5x2+5y2=36的圆心到切线的距离d=.由题意得=,即(a-2)2+1=5.
又a≠0,∴a=4,此时y=x2+4x-5=(x+2)2-9,顶点坐标为(-2,-9).故选A.
答案:A
2.(2009年四川卷,理9)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
(A)2 (B)3 (C) (D)
解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为点P到点F的距离.由图可知,距离和的最小值即F到直线l1的距离d==2.故选A.
答案:A
3.(2009年福建卷,理13)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,则p= .
解析:∵F,∴设AB:y=x-,与y2=2px联立,得x2-3px+=0.∴xA+xB=3p.
∴|AB|=xA+xB+p=4p=8,得p=2.
答案:2
4.(2010年大纲全国卷Ⅱ,理15)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p= .
解析:如图所示,由AB的斜率为,
知∠α=60°,
又=,
∴M为AB的中点.
过点B作BP垂直准线l于点P,
则∠ABP=60°,∴∠BAP=30°.
∴|BP|=|AB|=|BM|,
∴M为焦点,即=1,∴p=2.
答案:2
考点三 直线与抛物线位置关系
1.(2013年大纲全国卷,理11)已知抛物线C:y2=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点,若·=0,则k等于( )
(A) (B) (C) (D)2
解析:法一 设直线方程为y=k(x-2),A(x1,y1)、B(x2,y2),
由
得k2x2-4(k2+2)x+4k2=0,
∴x1+x2=,
x1x2=4,
由·=0,
得(x1+2,y1-2)·(x2+2,y2-2)=
(x1+2)(x2+2)+[k(x1-2)-2][k(x2-2)-2]=0,
代入整理得k2-4k+4=0,
解得k=2.故选D.
法二 如图所示,设F为焦点,取AB中点P,
过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为G、H,
连接MF,MP,
由·=0,
知MA⊥MB,
则|MP|=|AB|=(|AG|+|BH|),
所以MP为直角梯形BHGA的中位线,
所以MP∥AG∥BH,
所以∠GAM=∠AMP=∠MAP,
又|AG|=|AF|,
|AM|=|AM|,
所以△AMG≌△AMF,
所以∠AFM=∠AGM=90°,
则MF⊥AB,所以k=-=2.
答案:D
2.(2010年辽宁卷,理7)设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|等于( )
(A)4 (B)8 (C)8 (D)16
解析:如图所示,直线AF的方程为y=-(x-2),与准线方程x=-2联立得A(-2,4).
设P(x0,4),代入抛物线y2=8x,
得8x0=48,∴x0=6,
∴|PF|=x0+2=8,选B.
答案:B
3.(2012年安徽卷,理9)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为( )
(A) (B)
(C) (D)2
解析:如图所示,由题意知,抛物线的焦点F的坐标为(1,0),
又|AF|=3,由抛物线定义知:点A到准线x=-1的距离为3,
∴点A的横坐标为2.
将x=2代入y2=4x得y2=8,
由图知点A的纵坐标y=2,
∴A(2,2),∴直线AF的方程为y=2(x-1).
联立直线与抛物线的方程
解之得或
由图知B,
∴S△AOB=|OF|·|yA-yB|=×1×|2+|=.故选C.
答案:C
4.(2009年天津卷,理9)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比等于( )
(A) (B) (C) (D)
解析:如图所示,设过点M(,0)的直线方程为y=k(x-),代入y2=2x并整理,得k2x2-(2k2+2)x+3k2=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=3,
因为|BF|=2,所以|BB′|=2,
∴x2=2-=,
从而x1==2.
设点F到直线AC的距离为d,
则====.
故选A.
答案:A
5.(2009年大纲全国卷Ⅱ,理9)已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于( )
(A) (B) (C) (D)
解析:将y=k(x+2)代入y2=8x,得
k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.
设交点的横坐标分别为xA,xB,
则xA+xB=-4,①
xA·xB=4.
又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,
|FA|=2|FB|,
∴2xB+4=xA+2.
∴xA=2xB+2.②
∴将②代入①得xB=-2,
xA=-4+2=-2.
故xA·xB==4.
解之得k2=.
而k>0,∴k=,满足Δ>0.故选D.
答案:D
6.(2013年安徽卷,理13)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得∠ACB为直角,则a的取值范围为 .
解析:设直线y=a与y轴交于点M,抛物线y=x2上要存在C点,使得∠ACB为直角,只要以|AB|为直径的圆与抛物线y=x2有交点即可,也就是使|AM|≤|MO|,即≤a(a>0),所以a≥1.
答案:[1,+∞)
7.(2012年重庆卷,理14)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|<|BF|,则|AF|= .
解析:由于y2=2x的焦点坐标为,设AB所在直线的方程为y=k,A(x1,y1),B(x2,y2),x1
0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.
(1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;
(2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.
解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F的半径|FA|=p,又点A到l的距离d=|FA|=p,
而S△ABD=4.∴|BD|·d=4.
即×2p×p=4,
∴p=-2(舍去)或p=2,
∴圆F的方程为x2+(y-1)2=8.
(2)∵A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.
又由抛物线定义知|AD|=|FA|=|AB|,
∴∠ABD=30°,m的斜率为-或,
当m的斜率为时,可设n方程为y=x+b.
代入x2=2py得x2-px-2pb=0,
由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0
∴b=-,
又∵m的截距b1=,=3,
∴坐标原点到m、n距离的比值为3.
当m的斜率为-时,由图形对称性知,坐标原点到m、n的距离之比仍为3.
12.(2013年广东卷,理20)已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F(0,c)(c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为,设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)当点P(x0,y0)为直线l上的定点时,求直线AB的方程;
(3)当点P在直线l上移动时,求|AF|·|BF|的最小值.
解:(1)依题意,设抛物线C的方程为x2=4cy,
则=,
结合c>0,解得c=1.所以抛物线C的方程为x2=4y.
(2)抛物线C的方程为x2=4y,
即y=x2,求导得y′=x.
设A(x1,y1),B(x2,y2)（其中y1=,y2=）,
则切线PA,PB的斜率分别为x1,x2.
所以切线PA的方程为y-y1=(x-x1),
即y=x-+y1,即x1x-2y-2y1=0.
同理,可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.
因为切线PA,PB均过点P(x0,y0),
所以x1x0-2y0-2y1=0,x2x0-2y0-2y2=0.
所以(x1,y1),(x2,y2)为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.
所以直线AB的方程为x0x-2y0-2y=0.
(3)由抛物线定义可知|AF|=y1+1,|BF|=y2+1,
所以|AF|·|BF|=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.
联立方程
消去x整理得y2+(2y0-)y+=0,
由根与系数的关系可得y1+y2=-2y0,y1y2=,
所以|AF|·|BF|=y1y2+(y1+y2)+1=+-2y0+1.
又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=y0+2.
所以+-2y0+1=2+2y0+5=2（y0+）2+.
所以当y0=-时,|AF|·|BF|取得最小值,且最小值为.
13.(2013年湖南卷,理21)过抛物线E:x2=2py(p>0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同直线l1,l2,且k1+k2=2,l1与E相交于点A,B,l2与E相交于点C,D,以AB,CD为直径的圆M,圆N(M,N为圆心)的公共弦所在直线记为l.
(1)若k1>0,k2>0,证明:·<2p2;
(2)若点M到直线l的距离的最小值为,求抛物线E的方程.
解:(1)由题意知,抛物线E的焦点为F,
直线l1的方程为y=k1x+.
由
得x2-2pk1x-p2=0.
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个实数根,
从而x1+x2=2pk1,
y1+y2=k1(x1+x2)+p=2p+p.
所以点M的坐标为（pk1,p+）,
=(pk1,p).
同理可得点N的坐标为(pk2,p+),
=(pk2,p),
于是·=p2(k1k2+).
因为k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,
所以00,
所以点M到直线l的距离为
d=
=
=.
故当k1=-时,
d取最小值.
由题设, =,
解得p=8.
故所求的抛物线E的方程为x2=16y.
14.(2013年陕西卷,理20)已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;
(2)已知点B(-1,0),设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是∠PBQ的角平分线,证明直线l过定点.
(1)解:如图所示,设动圆圆心O1(x,y),
由题意,|O1A|=|O1M|,
当O1不在y轴上时,
过O1作O1H⊥MN交MN于H,
则H是MN的中点,
∴|O1M|=,
又|O1A|=,
∴=,
化简得y2=8x(x≠0).
又当O1在y轴上时,O1与O重合,点O1的坐标(0,0)也满足方程y2=8x,
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.
(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),
P(x1,y1),Q(x2,y2),
将y=kx+b代入y2=8x中,得k2x2+(2bk-8)x+b2=0,
其中Δ=-32kb+64>0.
由根与系数的关系得,x1+x2=,①
x1x2=,②
因为x轴是∠PBQ的角平分线,
所以=-,
即y1(x2+1)+y2(x1+1)=0,
(kx1+b)(x2+1)+(kx2+b)(x1+1)=0,
2kx1x2+(b+k)(x1+x2)+2b=0,③
将①②代入③,
得2kb2+(k+b)(8-2bk)+2k2b=0,
∴k=-b,此时Δ>0,
∴直线l的方程为y=k(x-1),
∴直线l过定点(1,0).
15. (2013年辽宁卷,理20)如图,抛物线C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).点M(x0,y0)在抛物线C2上,过M作C1的切线,切点A,B(M为原点O时,A,B重合于O).当x0=1-时,切线MA的斜率为-.
(1)求p的值;
(2)当M在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程(A,B重合于O时,中点为O).
解:(1)因为抛物线C1:x2=4y上任意一点(x,y)的切线斜率为y′=,且切线MA的斜率为-,所以A点坐标为(-1, ),故切线MA的方程为y=-(x+1)+ .
因为点M(1-,y0)在切线MA及抛物线C2上,于是
y0=-(2-)+=-,①
y0=-=-.②
由①②得p=2.
(2)设N(x,y),A(x1,),B(x2,),x1≠x2,由N为线段AB中点知x=,③
y=.④
切线MA,MB的方程为
y=(x-x1)+ .⑤
y=(x-x2)+ .⑥
由⑤⑥得MA,MB的交点M(x0,y0)的坐标为
x0=,y0=.
因为点M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,
所以x1x2=-.⑦
由③④⑦得x2=y,x≠0.
当x1=x2时,A,B重合于原点O,AB中点N为O,坐标满足x2=y.
因此线段AB中点N的轨迹方程为x2=y.
模拟试题
考点一 抛物线的定义和标准方程及其应用
1.(2013福建厦门高三上质检)已知F是抛物线y2=4x的焦点,P是圆x2+y2-8x-8y+31=0上的动点,则|FP|的最小值是( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:圆x2+y2-8x-8y+31=0的圆心C坐标为(4,4),半径为1,∵|PF|≥|CF|-1,
∴当P、C、F三点共线时,|PF|取到最小值,
由y2=4x知F(1,0),
∴|PF|min=-1=4.故选B.
答案:B
2.(2013山东潍坊一模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线-=1的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则A点的横坐标为( )
(A)2 (B)3 (C)2 (D)4
解析:由-=1得c2=4+5=9.
∴双曲线右焦点为(3,0),
∴抛物线焦点坐标为(3,0),抛物线方程为y2=12x.
设d为点A(x0,y0)到准线的距离,
由抛物线定义知d=|AF|=x0+3,
由题意得|y0|=x0+3,
代入抛物线方程得(x0+3)2=12x0,
解得x0=3.故选B.
答案:B
考点二 抛物线几何性质的应用
1.(2013云南师大附中高三高考适应性月考卷)在直角坐标系xOy中,有一定点A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,则该抛物线的准线方程是 .
解析:线段OA的斜率k=,中点坐标为.
所以线段OA的垂直平分线的方程是y-=-2(x-1),
令y=0得到x=.
即抛物线的焦点为.
所以该抛物线的准线方程为x=-.
答案:x=-
2.(2013云南省昆明一中高三第二次高中新课程双基检测)已知点A(4,4)在抛物线y2=px(p>0)上,该抛物线的焦点为F,过点A作直线l:x=-的垂线,垂足为M,则∠MAF的平分线所在直线的方程为 .
解析:点A在抛物线上,所以16=4p,所以p=4,所以抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,垂足M(-1,4),由抛物线的定义得|AF|=|AM|,所以∠MAF的平分线所在的直线就是线段MF的垂直平分线,kMF==-2,所以∠MAF的平分线所在的直线方程为y-4=(x-4),即x-2y+4=0.
答案:x-2y+4=0
考点三 直线与抛物线的位置关系
1.(2013河南郑州高三第一次质量预测)已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为( )
(A) (B) (C)1 (D)2
解析:易知,AB的斜率存在,设AB方程为y=kx+b.
由得x2-4kx-4b=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1,x2是上述方程的两个根,
∴x1+x2=4k,x1·x2=-4b,
又|AB|=6,∴=6,
化简得b=-k2,
设AB中点为M(x0,y0),
则y0===+b
=2k2+-k2
=k2+=(k2+1)+ -1
≥2×-1=2.
当且仅当k2+1=,
即k2=时,y0取到最小值2.故选D.
答案:D
2.(2013北京市东城区高三上学期期末)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F与双曲线的右焦点重合,抛物线的准线与x轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|=|AF|,则△AFK的面积为( )
(A)4 (B)8 (C)16 (D)32
解析:双曲线的右焦点为(4,0),抛物线的焦点为,
所以=4,即p=8.
所以抛物线方程为y2=16x,焦点F(4,0),
准线方程为x=-4,
即K(-4,0),设A(x,y),
由于|AK|=|AF|,
∴|y|=x+4,
又y2=16x,
∴(x+4)2=16x,即x=4.
∴A(4,±8),
S△AFK=×8×|y|=32.故选D.
答案:D
3.(2013北京海淀高三上期末)已知E(2,2)是抛物线C:y2=2px上一点,经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于A,B两点(不同于点E),直线EA,EB分别交直线x=-2于点M,N.
(1)求抛物线方程及其焦点坐标;
(2)已知O为原点,求证:∠MON为定值.
解:(1)∵点E(2,2)在抛物线y2=2px上,
∴4=2p×2,∴p=1.
∴抛物线方程为y2=2x,焦点坐标为.
(2)显然,直线l斜率存在,且不为0.
设l斜率为k,则l方程为y=k(x-2).
由
得ky2-2y-4k=0,
设A,B.
则y1+y2=,y1·y2=-4.
∵kEA===.
∴EA方程为y-2=(x-2).
令x=-2,得y=2-=.
∴M.
同理可求得N.
∴·=·
=4+
=4+
=0
∴⊥.
即∠MON=90°,
∴∠MON为定值.
综合检测
1.(2012东北三校第二次联考)若抛物线y2=2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6,则p的值为( )
(A)2 (B)18
(C)2或18 (D)4或16
解析:设P(x0,y0),则
∴36=2p,即p2-20p+36=0.
解得p=2或18.故选C.
答案:C
2.(2012洛阳二模)已知抛物线y2=4x的焦点为F,过F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则+的最小值是( )
(A)4 (B)8 (C)12 (D)16
解析:抛物线的准线方程为x=-1,
∴|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,
∴+=4x1+4x2=4(|AF|+|BF|)-8=4|AB|-8.
∵|AB|的最小值为4(当AB⊥x轴时取得),
∴+的最小值为8.故选B.
答案:B
3.(2012陕西五校联考)设动点P(x,y)(x≥0)到定点F的距离比到y轴的距离大.记点P的轨迹为曲线C.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设圆M过A(1,0),且圆心M在P的轨迹上,BD是圆M在y轴上截得的弦,当M运动时弦长BD是否为定值?说明理由;
(3)过F作互相垂直的两直线交曲线C于G、H、R、S,求四边形GRHS面积的最小值.
解:(1)由题意知,所求动点P(x,y)的轨迹为以F为焦点,直线l:x=-为准线的抛物线,其方程为y2=2x.
(2)是定值.解法如下:设圆心M,
半径r=,
圆的方程为+(y-a)2=a2+,
令x=0,得B(0,1+a),D(0,-1+a),
∴BD=2,即弦长BD为定值.
(3)设过F的直线GH的方程为y=k,G(x1,y1),H(x2,y2),
由得k2x2-(k2+2)x+=0,
∴x1+x2=1+,x1x2=,
∴|GH|=·=2+,
同理得|RS|=2+2k2.
S四边形GRHS=(2+2k2)=2≥8(当且仅当k=±1时取等号).
∴四边形GRHS面积的最小值为8.
