2017-2018学年四川省成都外国语学校高二上学期10月月考数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年四川省成都外国语学校高二上学期10月月考数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年四川省成都外国语学校高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=5‎ ‎2．（5分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．32 B．16 C．8 D．4‎ ‎4．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q ‎5．（5分）已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（　　）‎ A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切 C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离 ‎6．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）‎ A．5 B．7 C．13 D．15‎ ‎8．（5分）平面内到点（1，1）的距离为1且到点（1，4）的距离为2的直线有（　　）条．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎9．（5分）若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）设椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（　　）‎ A．必在圆x2+y2=2内 B．必在圆x2+y2=2上 C．必在圆x2+y2=2外 D．以上三种情形都有可能 ‎11．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎12．（5分）已知椭圆 C：=1，点 M1，M2…M5为其长轴 AB 的 6 等分点，分别过这五点作斜率为 k（k≠0）的一组平行线，交椭圆 C于 P1，P2…P10，则10条直线 AP1，AP2…AP10的斜率乘积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.‎ ‎13．（5分）若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是　 　．‎ ‎14．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为　 　．‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆上，则=　 　．‎ ‎16．（5分）已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知 m＞0，p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．‎ ‎（1）若p是q 的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：‎ ‎（1）顶点C的坐标；‎ ‎（2）直线BC的方程．‎ ‎19．（12分）椭圆ax2+by2=1与直线x+y﹣1=0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|=2，OC的斜率为，求椭圆的方程．‎ ‎20．（12分）平面上两点A（﹣1，0），B（1，0），在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上取一点P，‎ ‎（Ⅰ）x﹣y+c≥0恒成立，求c的范围 ‎（Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值 ‎（Ⅲ）求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标．‎ ‎21．（12分）求过两圆 x2+y2+2x+8y﹣8=0，x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0的交点且面积最小的圆的方程．‎ ‎22．（12分）已知椭圆，四点 中恰有三点在椭圆上．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P1A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年四川省成都外国语学校高二（上）10月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）．‎ ‎1．（5分）圆（x+2）2+y2=5关于原点（0，0）对称的圆的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+y2=5 B．x2+（y﹣2）2=5 C．（x+2）2+（y+2）2=5 D．x2+（y+2）2=5‎ ‎【分析】求出对称圆的圆心坐标即可求得结果．‎ ‎【解答】解：圆（x+2）2+y2=5的圆心（﹣2，0），关于（0，0）对称的圆心坐标（2，0）所求圆的方程是（x﹣2）2+y2=5．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查圆和圆的位置关系，对称问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】由“x≥2且y≥2”推出“x2+y2≥4”可证明充分性；由满足“x2+y2≥4”可举出反例推翻“x≥2且y≥2”，则证明不必要性，综合可得答案．‎ ‎【解答】解：若x≥2且y≥2，则x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；‎ 若x2+y2≥4，则如（﹣2，﹣2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．‎ 所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查充分条件与必要条件的含义．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）椭圆的左右焦点为F1，F2，一直线过F1‎ 交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为（　　）‎ A．32 B．16 C．8 D．4‎ ‎【分析】先由椭圆方程求得长半轴，而△ABF2的周长为AB+BF2+AF2，由椭圆的定义求解即可．‎ ‎【解答】解：∵椭圆 ‎∴a=4，b=，c=3‎ 根据椭圆的定义 ‎∴AF1+AF2=2a=8‎ ‎∴BF1+BF2=2a=8‎ ‎∵AF1+BF1=AB ‎∴△ABF2的周长为4a=16‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查椭圆的定义的应用，应用的定义的基本特征，是与焦点有关．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命题为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q ‎【分析】由对数函数的性质可知命题p为真命题，则￢p为假命题，命题q是假命题，则￢q是真命题．因此p∧￢q为真命题．‎ ‎【解答】解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；‎ 取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．‎ ‎∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查命题真假性的判断，复合命题的真假性，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知点P（a，b）（ab≠0）是圆x2+y2=r2‎ 内的一点，直线m是以P为中点的弦所在直线，直线l的方程为ax+by=r2，那么（　　）‎ A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切 C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离 ‎【分析】由P在圆内，得到P到圆心距离小于半径，利用两点间的距离公式列出不等式a2+b2＜r2，由直线m是以P为中点的弦所在直线，利用垂径定理得到直线OP与直线m垂直，根据直线OP的斜率求出直线m的斜率，再表示出直线l的斜率，发现直线m与l斜率相同，可得出两直线平行，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离，利用得出的不等式变形判断出d大于r，即可确定出直线l与圆相离．‎ ‎【解答】解：∵点P（a，b）（ab≠0）在圆内，‎ ‎∴a2+b2＜r2，‎ ‎∵kOP=，直线OP⊥直线m，‎ ‎∴km=﹣，‎ ‎∵直线l的斜率kl=﹣=km，‎ ‎∴m∥l，‎ ‎∵圆心O到直线l的距离d=＞=r，‎ ‎∴l与圆相离．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：两点间的距离公式，点到直线的距离公式，两直线垂直、平行时直线斜率满足的关系，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d＜r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切（其中d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离=a，化简即可得出．‎ ‎【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，‎ ‎∴原点到直线的距离=a，化为：a2=3b2．‎ ‎∴椭圆C的离心率e===．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知P为椭圆上的一点，M，N分别为圆（x+3）2+y2=1和圆（x﹣3）2+y2=4上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（　　）‎ A．5 B．7 C．13 D．15‎ ‎【分析】由题意可得：椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，再结合椭圆的定义与圆的有关性质可得答案．‎ ‎【解答】解：依题意可得，椭圆的焦点分别是两圆（x+3）2+y2=1和（x﹣3）2+y2=4的圆心，‎ 所以根据椭圆的定义可得：（|PM|+|PN|）min=2×5﹣1﹣2=7，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查圆的性质及其应用，以及椭圆的定义，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）平面内到点（1，1）的距离为1且到点（1，4）的距离为2的直线有（　　）条．‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】在坐标平面内，与点A（1，1）距离为1的直线为圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的切线，同理可得在坐标平面内，与点B（1，4）距离为2的直线为圆（x﹣1）2+（y﹣4）2=4的切线，故所求直线为两圆的公切线．‎ ‎【解答】解：在坐标平面内，与点A（1，1）距离为1的直线为圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的切线，‎ 同理可得在坐标平面内，与点B（1，4）距离为2的直线为圆（x﹣1）2+（y﹣4）2=4的切线，‎ 故所求直线为两圆的公切线，‎ ‎∵|AB|==3=1+2，‎ ‎∴两圆外切，公切线由3条，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了圆的标准方程及其位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况．‎ ‎【解答】解：将方程转化为：‎ 半圆，与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点．‎ 当直线与半圆相切时，有 k=‎ ‎∴半圆与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点时．‎ 直线y=kx+3﹣2k=k（x﹣2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（﹣2，0）时直线的斜率k取最大值为 k∈‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查用解析几何法来解决方程根的情况，关键是能够转化为一些特定的曲线才能用数形结合求解．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），方程ax2+bx﹣c=0的两个实根分别为x1和x2，则点P（x1，x2）（　　）‎ A．必在圆x2+y2=2内 B．必在圆x2+y2=2上 C．必在圆x2+y2=2外 D．以上三种情形都有可能 ‎【分析】由题意可求得c=a，b=a，从而可求得x1和x2，利用韦达定理可求得+的值，从而可判断点P与圆x2+y2=2的关系．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的离心率e==，‎ ‎∴c=a，b==a，‎ ‎∴ax2+bx﹣c=ax2+ax﹣a=0，‎ ‎∵a≠0，‎ ‎∴x2+x﹣=0，又该方程两个实根分别为x1和x2，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣，‎ ‎∴+=﹣2x1x2=+1＜2．‎ ‎∴点P在圆x2+y2=2的内部．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查点与圆的位置关系，求得c，b与a的关系是关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知椭圆T：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与T相交于A，B两点，若=3，则k=（　　）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据求得y1和y2关系根据离心率设，b=t，代入椭圆方程与直线方程联立，消去x，根据韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而根据y1和y2关系求得k．‎ ‎【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵，∴y1=﹣3y2，‎ ‎∵，设，b=t，‎ ‎∴x2+4y2﹣4t2=0①，‎ 设直线AB方程为，代入①中消去x，可得，‎ ‎∴，，‎ 解得，‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．此类题问题综合性强，要求考生有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知椭圆 C：=1，点 M1，M2…M5为其长轴 AB 的 6 等分点，分别过这五点作斜率为 k（k≠0）的一组平行线，交椭圆 C于 P1，P2…P10，则10条直线 AP1，AP2…AP10的斜率乘积为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】解法一：设直线 P1P2 的方程为 x=my+t，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，当 t 分别取 、、0、、 时，代入即可求得10条直线 AP1，AP2…AP10的斜率乘积；‎ 解法二：利用椭圆的性质可得得•=•=﹣=﹣．及其椭圆的对称性可得=，=，进而得出答案．‎ ‎【解答】解（法一）：设其中的任一等分点为 M（t，0），过 M（t，0）的直线交椭圆于点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），‎ 不妨设直线 P1P2 的方程为 x=my+t，则与椭圆方程联立可得：，整理后可得 （m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0．‎ 从中可以得到 ，所以 ．‎ 当 t 分别取 、、0、、 时，算出斜率的乘积为=（﹣）5=﹣‎ ‎．‎ 故选D．‎ 解法二：：如图所示，‎ 由椭圆的性质可得•=•=﹣=﹣．‎ 由椭圆的对称性可得=，=，‎ ‎∴•=﹣，‎ 同理可得kAP3•=•=•=•=﹣．‎ ‎∴直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积=（﹣）5=﹣．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置，椭圆的性质，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷上的相应位置）.‎ ‎13．（5分）若点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是　x﹣y﹣3=0　．‎ ‎【分析】求出圆心C的坐标，得到PC的斜率，利用中垂线的性质求得直线AB的斜率，点斜式写出AB的方程，并化为一般式．‎ ‎【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=25的圆心C（1，0），点P（2，﹣1）为 ‎ 弦AB的中点，PC的斜率为 =﹣1，‎ ‎∴直线AB的斜率为1，点斜式写出直线AB的方程 y+1=1×（x﹣2），即 x﹣y﹣3=0，‎ 故答案为：x﹣y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查直线和圆相交的性质，线段的中垂线的性质，用点斜式求直线的方程的方法．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为　﹣1≤a≤3　．‎ ‎【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解 ‎【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”‎ 即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，‎ ‎∴﹣1≤a≤3‎ 故答案是﹣1≤a≤3‎ ‎【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆上，则=　　．‎ ‎【分析】由正弦定理和椭圆的定义可知=，即可．‎ ‎【解答】解：由椭圆方程得：a=5，b=4，c=3．‎ ‎∵三角形ABC顶点A（﹣3，0）和C（3，0），顶点B在椭圆上，‎ ‎∴BC+AB=2a=10，‎ ‎∴由正弦定理可知=‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理和椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理和椭圆的定义是关键．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知以T=4为周期的函数f（x）=，其中m＞0．若方程3f（x）=x恰有5个实数解，则m的取值范围为　　．‎ ‎【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f（x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．‎ ‎【解答】解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+=1（y≥0），‎ ‎∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，‎ 同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，‎ 由图易知直线 y=与第二个椭圆（x﹣4）2+=1（y≥0）相交，‎ 而与第三个半椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，‎ 将 y=代入（x﹣4）2+=1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2=0，令t=9m2（t＞0），‎ 则（t+1）x2﹣8tx+15t=0，由△=（8t）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得 m，‎ 同样由 y=与第三个椭圆（x﹣8）2+=1 （y≥0）由△＜0可计算得 m＜，‎ 综上可知m∈（，）‎ 故答案为：（，）‎ ‎【点评】本题主要考查了函数的周期性．采用了数形结合的方法，很直观．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知 m＞0，p：（x+1）（x﹣5）≤0，q：1﹣m≤x≤1+m．‎ ‎（1）若p是q 的充分条件，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若m=5，“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数x的取值范围．‎ ‎【分析】（1）求出p的范围，根据集合的包含关系得到关于m的不等式组，求出m的范围即可；‎ ‎（2）求出q为真时的x的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于x的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）由题知 p：﹣1≤x≤5．‎ 因为 p 是 q 的充分条件，所以[﹣1，5]是[1﹣m，1+m]的子集，‎ 所以 解得 m≥4．所以实数 m 的取值范围是[4，+∞）．‎ ‎（2）当 m=5 时，q：﹣4≤x≤6，依题意得，p 与 q 一真一假．‎ 当 p 真 q 假时，有 无解；‎ 当 p 假 q 真时，有 解得﹣4≤x＜﹣1 或 5＜x≤6．‎ 所以实数 x 的取值范围为[﹣4，﹣1）∪（5，6]．‎ ‎【点评】本题考查了集合的包含关系，考查充分必要条件以及分类讨论思想，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知△ABC的顶点A（5，1），AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．求：‎ ‎（1）顶点C的坐标；‎ ‎（2）直线BC的方程．‎ ‎【分析】（1）设C（m，n），利用点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系即可得出；‎ ‎（2）利用中点坐标公式、点斜式即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设C（m，n），‎ ‎∵AB边上的中线CM所在直线方程为2x﹣y﹣5=0，AC边上的高BH所在直线方程为x﹣2y﹣5=0．‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴C（4，3）．‎ ‎（2）设B（a，b），则，解得．‎ ‎∴B（﹣1，﹣3）．‎ ‎∴kBC==‎ ‎∴直线BC的方程为y﹣3=（x﹣4），化为6x﹣5y﹣9=0．‎ ‎【点评】本题考查了点与直线的位置关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式、点斜式，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）椭圆ax2+by2=1与直线x+‎ y﹣1=0相交于A，B两点，C是AB的中点，若|AB|=2，OC的斜率为，求椭圆的方程．‎ ‎【分析】方法一：利用点差法，求得=kOC=，代入b=a．利用弦长公式求得（）2﹣4•=4．则a=，∴b=；‎ 方法二：将直线方程代入椭圆方程利用弦长公式=1．①OC的斜率为，∴=．代入①，即可求得a和b的值，求得椭圆方程．‎ ‎【解答】解：方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程并作差，得 a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（y1+y2）（y1﹣y2）=0．而=﹣1，=kOC=，‎ 代入上式可得b=a．‎ 再由|AB|=|x2﹣x1|=|x2﹣x1|=2，‎ 其中x1，x2是方程（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0的两根．‎ 故（）2﹣4•=4．将b=a代入，得a=，∴b=．‎ ‎∴所求椭圆的方程是；‎ 方法二：由，整理得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|==•．‎ ‎∵|AB|=2，∴=1．①‎ 设C（x，y），则x==，y=1﹣x=．‎ ‎∵OC的斜率为，∴=．代入①，得a=，b=．‎ ‎∴椭圆方程为．‎ ‎【点评】‎ 本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系，弦长公式，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）平面上两点A（﹣1，0），B（1，0），在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上取一点P，‎ ‎（Ⅰ）x﹣y+c≥0恒成立，求c的范围 ‎（Ⅱ）从x+y+1=0上的点向圆引切线，求切线长的最小值 ‎（Ⅲ）求|PA|2+|PB|2的最值及此时点P的坐标．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由x﹣y+c≥0，得c≥y﹣x，由圆的参数方程得c≥4+2sinθ﹣3﹣2cosθ，即可求c的范围；‎ ‎（Ⅱ）求出圆心C到直线x+y+1=0的距离为，利用勾股定理求切线长的最小值；‎ ‎（Ⅲ）设出的是PP（a，b），使要求的式子转化为求圆上的点到原点的距离问题，利用数形结合法求最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由x﹣y+c≥0，得c≥y﹣x，由圆的参数方程得c≥4+2sinθ﹣3﹣2cosθ，所以 ‎（Ⅱ）圆心C到直线x+y+1=0的距离为，切线长的最小值为 ‎（Ⅲ）设P（a，b），则|PA|2+|PB|2=2a2+2b2+2，a2+b2为圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4上的点到原点的距离平方，所以最小值为20，；最大值为100，．‎ ‎【点评】本题考查圆的参数方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）求过两圆 x2+y2+2x+8y﹣8=0，x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0的交点且面积最小的圆的方程．‎ ‎【分析】求出圆x2+y2+2x+8y﹣8=0和x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0的圆心和半径，‎ 写出两圆圆心所在直线方程，再求出公共弦所在直线方程，‎ 两直线交点为面积最小的圆的圆心，再求出该圆的半径即可．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2+2x+8y﹣8=0化为（x+1）2+（y+4）2=25，‎ 圆心坐标为 （﹣1，﹣4），半径为5；‎ 圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣2=0化为（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，‎ 圆心坐标为（2，2），半径为；‎ 两圆圆心所在直线方程为 ，‎ 化为一般式是 2x﹣y﹣2=0，…①‎ 公共弦所在直线方程为 x+2y﹣1=0，…②‎ 解 ①②组成的方程组，得，‎ ‎∴面积最小的圆的圆心坐标为 （1，0）；‎ 又点 （1，0）到 （﹣1，﹣4）的距离为 d==，‎ ‎∴该圆的半径为r=，‎ ‎∴所求圆系中面积最小的圆的方程为 （x﹣1）2+y2=5．‎ ‎【点评】本题考查了两圆的位置关系应用问题，也考查了求圆的方程应用问题，是综合题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A、B两点，若直线P1A与P2B直线的斜率的和为﹣1，证明：l过定点．‎ ‎【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3‎ 代入椭圆C，求出a2=4，b2=1，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎（2）当斜率不存在时，不满足；当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），与椭圆方程联立，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程，结合已知条件能证明直线l过定点（2，﹣1）．‎ ‎【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，得到P2，P3，P4三点在椭圆C上．把P2，P3代入椭圆C，‎ 得，‎ 得出a2=4，b2=1，由此椭圆C的方程为．‎ 证明：（2）①当斜率不存在时，设l：x=m，A（m，yA），B（m，﹣yA），‎ ‎∵直线P2A与直线P2B的斜率的和为﹣1，=﹣1‎ ‎ 解得m=2，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．‎ ‎②当斜率存在时，设l：y=kx+b，（b≠1），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，整理，得（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，‎ ‎…①‎ ‎∵直线P2A与P2B直线的斜率的和为﹣1，‎ ‎∴==…②‎ ‎①代入②得：‎ ‎ 又b≠1，∴b=﹣2k﹣1，此时△=﹣64k，存在k，使得△＞0成立，‎ ‎∴直线l的方程为y=kx﹣2k﹣1，‎ 当x=2时，y=﹣1，‎ ‎∴l过定点（2，﹣1）．‎ ‎【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、直线方程位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．‎ ‎　‎