江苏省淮安市清江中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

江苏省淮安市清江中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 江苏省清江中学2019-2020学年度第一学期期中考试 高一数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）‎ ‎1.设集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由集合A＝{1，a }，B＝{2，3，4}，A∩B＝{3}，求出a＝3，由此能求出A∪B的值．‎ ‎【详解】∵集合A＝{1，a }，B＝{2，3，4}，A∩B＝{3}，‎ ‎∴a＝3，‎ ‎∴A∪B＝{1，2，3，4}．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎2.已知a=0.42，b=20.4，c=log0.42，则a，b，c的大小关系为（ ）‎ A. a>b>c B. b>c>a C. b>a>c D. c>b>a ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的性质，可得，根据对数函数的性质，可得，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，根据指数函数的性质，可得，‎ 由对数函数的性质，可得，所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎3.函数f(x)=的零点所在的一个区间是 A. （-2，-1） B. （-1,0） C. （0,1） D. （1,2）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为函数f(x)=2+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B。‎ 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用。‎ 点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。‎ ‎4.函数的单调减区间是（ ）‎ A. B. C. D. 和 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用f（x）与y的图像间的关系及幂函数性质即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，函数f（x）的图像是由y的图像向下平移一个单位得到的，∴定义域为{x|x≠0}，单调性与y的单调性相同，‎ 而函数y的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞），‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调区间的求法及图像变换，考查了基本初等函数的性质，属于基础题．‎ ‎5.下列函数中，表示同一函数的一组是（ ）‎ A. ，；‎ B ，；‎ C. ，；‎ D. ，.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．‎ ‎【详解】对于A，函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，‎ 与g（x）的定义域不同，不是同一函数；‎ 对于B，函数f（x）＝x2+x﹣1（t∈R），与g（t）＝h2+h﹣1（t∈R）的定义域相同，‎ 对应关系也相同，是同一函数；‎ 对于C，函数f（x）＝x﹣1（x∈R），与g（x）＝x﹣1（x∈N）的定义域不同，不是同一函数；‎ 对于D，函数f（x）＝lnx（x﹣1）（x＜0或x＞1），与g（x）＝lnx+ln（x﹣1）＝lnx（x﹣1）（x＞1）的定义域不同，不是同一函数．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．‎ ‎6.利用二分法求的零点，第一次确定的区间是，第二次确定的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由于要找第二次求得的近似解所在的区间，只需把x＝1，‎ ‎，2代入函数解析式，分析函数值的符号是否异号即可．‎ ‎【详解】令f（x）＝x2﹣2，‎ 所以f（1）＝﹣1＜0， f（）=＞0，‎ f（2）＝2>0‎ 所以第二次求得的近似解所在的区间应该是（）.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】此题考查二分法求方程的近似解，以及方程的根与函数的零点之间的关系，体现了转化的思想，同时也考查了学生分析解决问题的能力．‎ ‎7.已知集合，若，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，结合数轴上位置关系知，显然成立，当时，也有．‎ ‎【详解】若，结合数轴知，则显然成立；‎ 当时，也有，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合子集关系，利用数轴的直观性进行求解，能使解题思路更清晰．‎ ‎8.已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据偶函数图象关于y轴对称的性质列出不等式，运算求解即为结果．‎ ‎【详解】根据题意，f（x）是定义在实数集R上的偶函数，‎ 且在x∈[0，+∞）上是单调增函数，‎ 结合偶函数的性质，‎ 不等式f（lgx）＞f（1）等价为：|lgx|＞1，‎ 即lgx＞1或lgx＜﹣1，‎ 解得，x∈（0，）∪（10，+∞），‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及对数函数的图象和性质，对数不等式的解法，属于中档题．‎ ‎9.已知函数与函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性可得（1）（1），即可得答案．‎ ‎【详解】根据题意，，则，‎ 又由函数与函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，‎ 则，‎ 故（1）（1）；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．‎ ‎10.函数，的值域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用换元法将函数化为二次函数：令t＝log2x，则t∈（0，2]，可得y＝t2﹣3t+4，t∈（0，2]，再由二次函数的性质求值域．‎ ‎【详解】令t＝log2x，则t∈（0，2]，‎ ‎∴原函数化为y＝t2﹣3t+4，t∈（0，2]，‎ 其对称轴方程为t，‎ ‎∴当t时，y有最小值为，‎ 当t＝0时，y有最大值为4，但取不到．‎ ‎∴f（x）的值域为[，4）．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．‎ ‎11.已知函数且关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x﹣a的图象，其中﹣a表示直线在y轴的截距，结合图形可知当a<﹣1时，直线y2＝﹣x﹣a与y1＝log2x只有一个交点．即关于x的方程f（x）+x+a＝0有且只有一个实根 ‎【详解】关于x的方程f（x）+x+a＝0有且只有一个实根，即函数f（x）的图象与函数y ‎＝﹣x﹣a的图象有且只有一个交点，‎ 如图，在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x﹣a的图象，‎ 数形结合可知，当﹣a>1即a<﹣1时，直线y2＝﹣x﹣a与y1＝log2x只有一个交点．‎ 即a∈（﹣∞，﹣1）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的图象性质和画法，方程的根与函数零点间的关系，函数与方程思想，数形结合思想．‎ ‎12.已知函数，若存在实数，，，当时，，设，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数图象，得到，，得 则，换元后转化为二次函数求解值域即可．‎ ‎【详解】作出函数f（x）的图象，若存在实数，，，当时，，可得a与b关于x=1对称，‎ 所以2＜c＜3， ，且，得 则，‎ 令，得，‎ 又，则的取值范围为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的图象和运用，考查数形结合思想和运算能力，分段函数及根的个数问题采用图象辅助解题是常用手段，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）‎ ‎13.函数的定义域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由0指数幂的底数不等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组得答案．‎ ‎【详解】要使原函数有意义，则，解得x>﹣2且x≠﹣1．‎ ‎∴函数f（x）的定义域是（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）．‎ 故答案为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，+∞）.‎ ‎【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．‎ ‎14.已知函数在上单调递増，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定二次函数在上单调递增，需和反比例函数在上单调递增，需，与此同时还需满足当时，二次函数的函数值小于或等于反比例函数的函数值，从而得出的取值范围。‎ ‎【详解】由已知得反比例函数在上单调递增，需，‎ 二次函数在上单调递增，则需对称轴，所以，‎ 同时当时，，解得，‎ 所以，‎ 故填：。‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的单调性，除了需满足在每一段的范围内的单调性的同时，还需满足端点处的函数值的大小关系，属于基础题.‎ ‎15.已知函数图象恒过定点，若点在幂函数图象上，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由loga1＝0得x﹣1＝1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标．再设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的表达式即可得出答案．‎ ‎【详解】∵loga1＝0，‎ ‎∴当x﹣1＝1，即x＝2时，y＝，‎ ‎∴点P的坐标是P（2，）．‎ 幂函数g（x）＝xα的图象过点P（2，），‎ 所以＝2α，解得α＝；‎ 所以幂函数为g（x）＝，‎ 则g（9）＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用loga1＝0，考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎16.已知函数是定义在上的奇函数，当时，若集合，则实数的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，条件等价为对∀x∈R，都有f（x﹣3）7或a+2≤4，解出a的范围即可．‎ ‎【详解】∵集合，，‎ ‎（1），又∁RA＝{x|x<3或x>7}，∁RB＝{x|x≤4或x10}‎ ‎.‎ ‎（2），‎ 或.‎ ‎∴或，求得或 ，‎ 综上：或.‎ ‎【点睛】考查描述法表示集合的定义，绝对值不等式的解法，交集、并集和补集的运算，以及子集的概念．‎ ‎19.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场销售价与上市时间的关系用图（1）的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图（2）的抛物线段表示.‎ ‎（1）写出图（1）表示的市场售价与时间的函数关系式写出图（2）表示的种植成本与时间的函数关系式 ‎（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿收益最大？（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天.）‎ ‎【答案】(1) ；；(2) 从2月1日开始第50天时，上市的西红柿纯收益最大。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据图像写出解析式即可;‎ ‎(2)得到后,分两段求得各段的最大值,再比较大小可得分段函数的最大值.‎ ‎【详解】解：（1）由图（1）可得市场售价与时间的函数关系为 由图（2）可得种植成本与时间的函数关系为 ‎（2）设时刻的纯收益为，则由题意得 即 当时，配方得到 所以，当时，取得区间上的最大值为100；‎ 当时，配方整理得到：‎ 所以，当时，取得区间上的最大值为。‎ 综上，在区间上的最大值为100，此时 即从2月1日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大。‎ ‎【点睛】本题考查了分段函数最大值的求法.属中档题.‎ ‎20.已知函数（，且为自然对数的底数）‎ ‎（1）判断函数的单调性并证明；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性并证明；‎ ‎（3）是否存在实数，使不等式对一切都成立？若存在，求出的范围，若不存在说明理由.‎ ‎【答案】（1）增函数,证明见解析（2）奇函数,证明见解析（3）存在,‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用单调性的定义证明单调性； ‎ ‎（2）利用奇偶性的定义证明奇偶性；‎ ‎（3）根据（1）（2）的结论脱去“f”，分离参数，转化为二次函数问题，求实数t的取值范围．‎ ‎【详解】（1）任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，‎ 则f（x2）﹣f（x1），‎ 又y＝ex在R上为增函数且ex＞0，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴f（x2）＞f（x1），‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数．‎ ‎（2）∵函数f（x）＝ex﹣e﹣x，x∈R，定义域关于原点对称，‎ 又f（﹣x）＝e﹣x﹣ex＝﹣（ex﹣e﹣x）＝﹣f（x），‎ ‎∴f（x）为奇函数．‎ ‎（3）由（1）（2）知f（x）在R上为奇函数且单调递增，由 可得：，‎ ‎∴，‎ 即：对一切都成立，‎ 又 解得：．‎ 综上存在实数，t的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性，单调性的证明和应用，一元二次函数最值的求解，以及不等式恒成立问题．‎ ‎21.已知二次函数，，，且.‎ ‎（1）若函数在上为单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若在区间上，图象上每个点都在直线的下方，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出，g（x）的表达式，从而求出函数g（x）的对称轴，对称轴与区间比较，建立不等式，解出a的范围即可；‎ ‎（2）由题意得不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】（1）由题意二次函数，，，∴对称轴为x=1，‎ ‎∴，又，得到k=2，∴‎ 即，‎ ‎∴‎ 或，所以或.‎ ‎（2），即时，恒成立.‎ 由实根分布可得：且，即得.‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，考查了求参数的范围，是一道中档题．‎ ‎22.已知和是函数的两个零点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设函数，若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若有三个不同的实数解，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意可得 ，即可解得实数的值；‎ ‎（2）由已知可得 ，所以在上恒成立可化为，化为，令，则 ，‎ 由此可求实数的取值范围；‎ ‎（3）记h（t）=t2-（3k+1）t+（2k+1），得到关于k的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】（1），j即 .‎ ‎（2）由已知可得，‎ 所以在上恒成立可化为，‎ 化为，令，则，‎ 因，故，‎ 记，因为，故， ‎ 所以的取值范围是． ‎ ‎（3）原方程可化为，‎ 令则 有两个不等实根且或,‎ 记 ，‎ 则或，‎ 两不等式组解集分别为与,‎ 的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立以及求函数的最值问题，考查转化思想，换元思想，是一道综合题．‎ ‎ ‎