【数学】2020届一轮复习人教B版圆的方程作业
43 圆的方程
1.(2018·南昌模拟)已知点A(1，-1)，B(-1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是 ( )
A.x2+y2=2 B.x2+y=
C.x2+y2=1 D.x2+y2=4
【解析】选A.AB的中点坐标为(0，0)，
|AB|==2，
所以圆的方程为x2+y2=2.
2.(2018·太原模拟)两条直线y=x+2a，y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部，则实数a的取值范围是 ( )
A.
B.∪(1，+∞)
C.
D.∪[1，+∞)
【解析】选A.联立解得P(a，3a)，
因为点P在圆内，所以(a-1)2+(3a-1)2<4，
所以-
0),则,即a=2.
又点M(0,)在圆C上,则圆C的半径r==3.
故圆C的方程为(x-2)2+y2=9.
9.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),求圆C的方程.
解(方法一)如图,设圆心C(x0,-4x0),依题意得=1,则x0=1,
即圆心C的坐标为(1,-4),半径r=2,
故圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
(方法二)设所求圆C的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2,
根据已知条件得
解得
因此所求圆C的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.
10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆P在x轴上截得线段长为2,在y轴上截得线段长为2.
(1)求圆心P的轨迹方程;
(2)若点P到直线y=x的距离为,求圆P的方程.
解(1)设P(x,y),圆P的半径为r.
由题设y2+2=r2,x2+3=r2,从而y2+2=x2+3.
故P点的轨迹方程为y2-x2=1.
(2)设P(x0,y0),由已知得.
又P在双曲线y2-x2=1上,从而得
由此时,圆P的半径r=.
由此时,圆P的半径r=.
故圆P的方程为x2+(y+1)2=3或x2+(y-1)2=3.
11.(2018北京朝阳期末)阿波罗尼斯证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A,B间的距离为2,动点P与A,B距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是( )
A.2 B. C. D.
答案A
解析如图,以经过A,B的直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,则A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),
∵,∴,
两边平方并整理得x2+y2-6x+1=0⇒(x-3)2+y2=8,ymax=2,△PAB面积的最大值是×2×2=2,故选A.
12.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是 ,半径是 .
答案(-2,-4) 5
解析由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或a=2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,即+(y+1)2=-不表示圆.
13.已知圆M与y轴相切,圆心在直线y=x上,并且在x轴上截得的弦长为2,则圆M的标准方程为 .
答案(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4
解析设圆M的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由题意可得解得
所以圆M的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x+2)2+(y+1)2=4.
14.在以O为原点的平面直角坐标系中,点A(4,-3)为△OAB的直角顶点,已知|AB|=2|OA|,且点B的纵坐标大于0.
(1)求的坐标;
(2)求圆x2-6x+y2+2y=0关于直线OB对称的圆的方程.
解(1)设=(x,y),由|AB|=2|OA|,=0,
得解得
若=(-6,-8),则yB=-11与yB>0矛盾.
∴舍去,即=(6,8).
(2)圆x2-6x+y2+2y=0,即(x-3)2+(y+1)2=()2,其圆心为C(3,-1),半径r=.
∵=(4,-3)+(6,8)=(10,5),
∴直线OB的方程为y=x.
设圆心C(3,-1)关于直线y=x的对称点的坐标为(a,b),
则解得
故所求的圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10.
三、高考预测
15.已知平面区域恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为 .
答案(x-2)2+(y-1)2=5
解析由题意知,此平面区域表示的是以O(0,0),P(4,0),Q(0,2)所构成的三角形及其内部,所以覆盖它且面积最小的圆是其外接圆.
因为△OPQ为直角三角形,
所以圆心为斜边PQ的中点(2,1),
半径r=,
所以圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
