2018-2019学年山西省太原市高一下学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年山西省太原市高一下学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年山西省太原市高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知数列满足，则（ ）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用数列的递推关系式，逐步求解数列的即可．‎ ‎【详解】‎ 解：数列满足，，‎ 所以，‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查数列的递推关系式的应用，属于基础题．‎ ‎2．已知，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，求出与的值，比较易得，变形可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，，‎ ‎，‎ 易得，则有，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的大小比较，属于基础题．‎ ‎3．已知集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出集合，，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎4．在中，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知利用余弦定理即可解得的值．‎ ‎【详解】‎ 解：，，，‎ 由余弦定理可得：，‎ 解得：，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎5．已知等差数列的前项和，若，则（ ）‎ A．25 B．39 C．45 D．54‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为，从而根据，即可求出 ‎，这样根据等差数列的前项和公式即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：设等差数列的公差为，‎ 则由，得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式和等差数列的前项和公式，属于基础题．‎ ‎6．若，则下列结论正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据不等式的基本性质逐一判断可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：A．当时，不成立，故A不正确；‎ B．取，，则结论不成立，故B不正确；‎ C．当时，结论不成立，故C不正确；‎ D．若，则，故D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．‎ ‎7．的内角的对边分别为，若的面积为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，化简后利用正弦定理将“边化为角“即可．‎ ‎【详解】‎ 解：的面积为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用和三角形的面积公式，属于基础题．‎ ‎8．设等比数列的前项和为，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由，，联立方程组，求出等比数列的首项和公比，然后求．‎ ‎【详解】‎ 解：若，则，显然不成立，所以．‎ 由，，得，，所以，‎ 所以公比．‎ 所以．‎ 或者利用，‎ 所以．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的前项和公式的应用，要求熟练掌握，特别要注意对公比是否等于1要进行讨论，属于基础题．‎ ‎9．三角形的一个角为60°，夹这个角的两边之比为，则这个三角形的最大角的正弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦定理，可得第三边的长度，再由大角对大边可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．‎ ‎【详解】‎ 解：三角形的一个角为，夹这个角的两边之比为，‎ 设夹这个角的两边分别为和，‎ 则由余弦定理，可得第三边的长度为，‎ 三角形的最大边为，对应的角最大，记为，‎ 则由正弦定理可得，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎10．在中，若，则下列结论错误的是（ ）‎ A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】由正弦定理化简已知可得，利用余弦定理，勾股定理，三角形两边之和大于第三边等知识逐一分析各个选项即可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：为非零实数），可得：，‎ 由正弦定理，可得：，‎ 对于A，时，可得：，可得，即为直角，可得是直角三角形，故正确；‎ 对于B，时，可得：，可得为最大角，由余弦定理可得，可得是锐角三角形，故正确；‎ 对于C，时，可得：，可得为最大角，由余弦定理可得 ‎，可得是钝角三角形，故正确；‎ 对于D，时，可得：，可得，这样的三角形不存在，故错误．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．‎ ‎11．已知正数满足，则的最小值是（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用基本不等式可得，然后解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：正数，满足，‎ ‎∴，‎ ‎，，‎ 当且仅当时取等号，‎ 的最小值为9，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查基本不等式的应用和一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎12．已知数列满足是数列的前项和，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由已知递推关系式可以推出数列的特征，即数列和均是等比数列，利用等比数列性质求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知可得，‎ 当时，由得，‎ 所以数列和均是公比为2的等比数列，首项分别为2和1，‎ 由等比数列知识可求得 ‎，,‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查递推关系式，及等比数列的相关知识，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．若数列的前4项分别是，则它的一个通项公式是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据等比数列的定义即可判断出该数列是以为首项，为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式即可写出该数列的一个通项公式．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ 该数列是以为首项，为公比的等比数列，‎ 该数列的通项公式是：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列的定义以及等比数列的通项公式，属于基础题．‎ ‎14．在锐角△中，角所对应的边分别为，若，则角等于________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：利用正弦定理化简，得，因为，所以，因为为锐角，所以．‎ ‎【考点】正弦定理的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了正弦定理的应用、以及特殊角的三角函数值问题，其中解答中涉及到解三角形中的边角互化，转化为三角函数求值的应用，解答中熟练掌握正弦定理的变形，完成条件的边角互化是解答的关键，注重考查了分析问题和解答问题的能力，同时注意条件中锐角三角形，属于中档试题．‎ ‎15．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 设此等差数列为{an}，公差为d，则 ‎ ‎（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，‎ 故答案为．‎ ‎16．已知中，，则面积的最大值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，则，根据面积公式得，由余弦定理求得代入化简，由三角形三边关系求得，由二次函数的性质求得取得最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：设，则，根据面积公式得 ‎，‎ 由余弦定理可得，‎ 可得：，‎ 由三角形三边关系有：，且，解得：，‎ 故当时，取得最大值，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．如图，在中，，点在边上，‎ ‎（1）求的度数；‎ ‎（2）求的长度.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）中直接由余弦定理可得，然后得到的度数；‎ ‎（2）由（1）知，在中，由正弦定理可直接得到的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）在中，，，‎ 由余弦定理，有，‎ 在中，；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 在中，由正弦定理，有，‎ ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知等比数列的前项和为，且成等差数列，‎ ‎（1）求数列的公比；‎ ‎（2）若，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由等差数列的中项性质，以及等比数列的求和公式，解方程可得；‎ ‎（2）由等比数列的通项公式，解方程可得首项，进而得到所求通项公式．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）等比数列的前项和为，且，，成等差数列，‎ 可得，显然不成立，即有，‎ 则，‎ 化为，解得；‎ ‎（2），即，‎ 可得，‎ 数列的通项公式为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．‎ ‎19．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员在处先看到山顶的俯角为18°30′，经过后又在处看到山顶的俯角为81°‎ ‎（1）求飞机在处与山顶的距离（精确到）；‎ ‎（2）求山顶的海拔高度（精确到）‎ 参考数据： ，‎ ‎【答案】（1）14981m（2）‎ ‎【解析】（1）先求出飞机在150秒内飞行的距离，然后由正弦定理可得；‎ ‎（2）飞机，山顶的海拔的差为，则山顶的海拔高度为．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）飞机在150秒内飞行的距离为，‎ 在中，由正弦定理，有，‎ ‎∴；‎ ‎（2）飞机，山顶的海拔的差为，‎ ‎，‎ 即山顶的海拔高度为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．‎ ‎20．已知数列满足，数列满足，且 ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由等差数列和等比数列的定义、可得所求通项公式；‎ ‎（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）∵，即，，‎ ‎∴为首项为1，公差为2的等差数列，‎ 即；‎ ‎∵，即有，‎ ‎∴为首项为1，公比为的等比数列，‎ 即；‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 两式相减可得 ‎，‎ 化简可得 ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题．‎ ‎21．已知数列满足，数列满足，其中为的前项和，且 ‎（1）求数列和的通项公式 ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得，由等差数列的通项公式可得；由数列的递推式，结合等比数列的定义和通项公式可得；‎ ‎（2），运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，同乘以得，‎ 可知是以2为公差的等差数列，而，故；‎ 又，相减得，，‎ 可知是以为公比的等比数列，而，故；‎ ‎（2）因为，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题．‎ ‎22．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形狐上的动点，点分别在半径上，且是平行四边形，记，四边形的面积为，问当取何值时，最大？的最大值是多少？‎ ‎【答案】当时，最大，最大值为 ‎【解析】设，，在中，由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形的面积公式即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：设，‎ 在中，由余弦定理得：，‎ 由基本不等式，，可得，当且仅当时取等号，‎ ‎∴，当且仅当时取等号，此时，‎ ‎∴当时，最大，最大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎23．如图，某地三角工厂分别位于边长为2的正方形的两个顶点及中点处.为处理这三角工厂的污水，在该正方形区域内（含边界）与等距的点处建一个污水处理厂，并铺设三条排污管道，记辅设管道总长为千米.‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系式：‎ ‎（i）设，将表示成的函数；‎ ‎（ii）设，将表示成的函数；‎ ‎（2）请你选用一个函数关系，确定污水厂位置，使铺设管道总长最短.‎ ‎【答案】（1）（i）（，其中）.（ii).‎ ‎（2）污水厂设在与直线距离处 ‎【解析】（1）（i）设的中点为，则，，，，由此可得关于的函数；‎ ‎（ii）由题意，则，，由此可得关于的函数；‎ ‎（2）设，，则 ‎，然后利用基本不等式求最值．‎ ‎【详解】‎ 解：‎ ‎（1）（i）设中点，则，，，，‎ ‎∴（，其中）；‎ ‎（ii），，‎ ‎；‎ ‎（2）设，，则，‎ ‎，‎ 当，即时，取最小值，‎ ‎∴污水厂设在与直线距离处时，铺设管道总长最短，最短长度为千米．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用换元法及基本不等式求最值，属于中档题．‎