2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课件（全国通用）

2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 课件（全国通用）

第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 考情分析 总纲目录 考点一   三角恒等变换及求值 考点二 正弦定理、余弦定理（高频考点） 考点三 正、余弦定理的实际应用 考点一  三角恒等变换及求值 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( α ± β )=sin α cos β ± cos α sin β ; (2)cos( α ± β )=cos α cos β ∓ sin α sin β ; (3)tan( α ± β )=   . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2 α =2sin α cos α ; (2)cos 2 α =cos 2 α -sin 2 α =2cos 2 α -1=1-2sin 2 α ; (3)tan 2 α =   . 典型例题 　　(1)(2017广西三市第一次联考)已知 x ∈(0,π),且cos   =sin 2 x ,则 tan   等于   (　　) A.   　    B.-   　    C.3　    D.-3 (2)若sin 2 α =   ,sin( β - α )=   ,且 α ∈   , β ∈   ,则 α + β 的值是   (　　) A.   　    B.   C.   或   　    D.   或   解析 　(1)由cos   =sin 2 x 得sin 2 x =sin 2 x , ∵ x ∈(0,π),∴tan x =2,∴tan   =   =   . (2)∵ α ∈   ,所以2 α ∈   ,又sin 2 α =   ,故2 α ∈   , α ∈   , 所以cos 2 α =-   . 又 β ∈   ,故 β - α ∈   , ∴cos( β - α )=-   ,∴cos( α + β )=cos[( β - α )+2 α ]=cos( β - α )cos 2 α -sin( β - α )sin 2 α 答案 　(1)A　(2)A =   ×   -   ×   =   , 又 α + β ∈   ,所以 α + β =   ,故选A. 方法归纳 三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin 2 θ +cos 2 θ ,1=tan 45 ° 等; (2)项的分拆与角的配凑:如sin 2 α +2cos 2 α =(sin 2 α +cos 2 α )+cos 2 α , α =( α - β )+ β 等; (3)降次与升次:正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次; (4)弦切互化:一般是切化弦. 跟踪集训 1.(2017洛阳第一次统一考试)若sin   =   ,则cos   = 　　　     . 答案 　-   解析     cos   =cos   =-cos   =-   , 把sin   =   代入,原式=-   =-   . 2.(2017新疆第二次适应性检测)   的值是 　　　     . 答案 　2 解析        =   =   =   =2. 考点二  正弦定理、余弦定理(高频考点) 命题点 1.利用正、余弦定理求三角形的边长或角的大小. 2.利用正、余弦定理判定三角形的形状. 3.利用正、余弦定理求三角形的面积. 1.正弦定理及其变形 在△ ABC 中,   =   =   =2 R ( R 为△ ABC 的外接圆半径).变形: a =2 R sin A ,sin A =   , a ∶ b ∶ c =sin A ∶sin B ∶sin C . 2.余弦定理及其变形 在△ ABC 中, a 2 = b 2 + c 2 -2 bc cos A , b 2 = a 2 + c 2 -2 ac cos B , c 2 = a 2 + b 2 -2 ab cos C . 变形: b 2 + c 2 - a 2 =2 bc cos A ,cos A =   , a 2 + c 2 - b 2 =2 ac cos B ,cos B =   , a 2 + b 2 - c 2 =2 ab cos C ,cos C =   . 3.三角形面积公式 S △ ABC =   ab sin C =   bc sin A =   ac sin B . 典型例题 (2017课标全国Ⅰ,17,12分)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c .已知 △ ABC 的面积为   . (1)求sin B sin C ; (2)若6cos B cos C =1, a =3,求△ ABC 的周长. 解析　 (1)由题设得   ac sin B =   , 即   c sin B =   . 由正弦定理得   sin C sin B =   . 故sin B sin C =   . (2)由题设及(1)得cos B cos C -sin B sin C =-   , 即cos( B + C )=-   . 所以 B + C =   ,故 A =   . 由题设得   bc sin A =   ,即 bc =8. 由余弦定理得 b 2 + c 2 - bc =9,即( b + c ) 2 -3 bc =9,得 b + c =   . 故△ ABC 的周长为3+   . 方法归纳 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式 S =   ab sin C =   ac sin B =   bc sin A ,一般是已知哪一个角 就使用哪一个公式. (2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 跟踪集训 1.在△ ABC 中, a , b , c 分别是内角 A , B , C 的对边,若 b sin A =3 c sin B , a =3,cos B =   ,则 b =   (　　) A.14　    B.6　    C.   　    D.   答案     D　利用正弦定理得 ab =3 bc ,即 a =3 c ,由于 a =3,∴ c =1. 由余弦定理得cos B =   =   ,∴ b =   . 2.在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若   0,所以sin C 0,所以cos B <0,所以   < B <π.故△ ABC 为钝角三角形,故选A. 3.(2017石家庄教学质量检测(一))已知△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别 为 a , b , c ,且( a - c ) 2 = b 2 -   ac . (1)求cos B 的值; (2)若 b =   ,且sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,求△ ABC 的面积. 解析 　(1)由( a - c ) 2 = b 2 -   ac ,可得 a 2 + c 2 - b 2 =   ac . ∴   =   , 即cos B =   . (2)∵ b =   ,cos B =   , ∴ b 2 =13= a 2 + c 2 -   ac =( a + c ) 2 -   ac , ∵sin A ,sin B ,sin C 成等差数列,∴sin A +sin C =2sin B , 由正弦定理,得 a + c =2 b =2   , ∴13=52-   ac ,∴ ac =12. 由cos B =   ,得sin B =   , ∴△ ABC 的面积 S △ ABC =   ac sin B =   × 12 ×   =   . 考点三  正、余弦定理的实际应用 解三角形应用题的常考类型 (1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量集中在一个三角形中,可用 正弦定理或余弦定理求解; (2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三 角形,这时需作出这些三角形,先解条件充足的三角形,然后逐步求解其 他三角形,有时需设出未知量,在几个三角形中列出方程(组),进而解方 程(组)得出所要求的量. 典型例题 (2017福州综合质量检测)如图,小明同学在山顶 A 处观测到一辆汽车在 一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在 A 处测得公路上 B , C 两点的 俯角分别为30 ° ,45 ° ,且∠ BAC =135 ° .若山高 AD =100 m,汽车从 B 点到 C 点 历时14 s,则这辆汽车的速度约为 　　　     m/s.(精确到0.1) 参考数据:   ≈ 1.414,   ≈ 2.236.   答案 　22.6 解析 　因为小明在 A 处测得公路上 B , C 两点的俯角分别为30 ° ,45 ° ,所以 ∠ BAD =60 ° ,∠ CAD =45 ° . 设这辆汽车的速度为 v m/s,则 BC =14 v m, 在Rt△ ADB 中, AB =   =   =200 m. 在Rt△ ADC 中, AC =   =   =100   m. 在△ ABC 中,由余弦定理,得 BC 2 = AC 2 + AB 2 -2 AC · AB ·cos∠ BAC , 所以(14 v ) 2 =(100   ) 2 +200 2 -2 × 100   × 200 × cos 135 ° ,解得 v =   ≈ 22.6, 所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s. 方法归纳 解正弦、余弦定理的实际应用问题的步骤 (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名 词、术语,如坡度、仰角、俯角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出; (3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,运用正弦定理、余弦定理 等知识求解; (4)检验解出的结果是否符合实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案. 跟踪集训 1.某货轮在 A 处时测得灯塔 S 在北偏东30 ° 方向,货轮向正北方向航行24 海里到达 B 处,测得灯塔 S 在北偏东75 ° 方向,则此时货轮到灯塔 S 的距离 为 　　　     海里. 答案 　12   解析 　根据题意知,在△ ABS 中, AB =24海里,∠ BAS =30 ° ,∠ ASB =45 ° ,由正 弦定理,得   =   . ∴ BS =   =12   海里, 故货轮到灯塔 S 的距离为12   海里. 2.如图,为了估测某塔的高度,在同一水平面的 A , B 两点处进行测量,在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北20 ° 的方向上,仰角为60 ° ;在点 B 处测得塔顶 C 在 东偏北40 ° 的方向上,仰角为30 ° .若 A , B 两点相距130 m,则塔的高度 CD = 　　　     m.   答案 　10   解析 　设 CD = h m,则 AD =   m, BD =   h m,在△ ADB 中,∠ ADB =180 ° -20 ° -40 ° =120 ° ,∴由余弦定理可得 AB 2 = BD 2 + AD 2 -2 BD · AD ·cos 120 ° ,即130 2 =3 h 2 +   -2·   h ·   ·   ,解得 h =10   ,故塔的高度为10   m. 1.(2017陕西高三教学质量检测试题(一))已知角 α 的终边过点 P (4,-3),则 cos   的值为   (　　) A.-   　    B.   C.-   　    D.   随堂检测 答案     B　由于角 α 的终边过点 P (4,-3),则cos α =   =   ,sin α =   =-   ,故cos   =cos α cos   -sin α sin   =   ×   -   ×   =   ,故选B. 2.(2017云南第一次统一检测)在△ ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c , 若 B =   , a =   ,sin 2 B =2sin A sin C ,则△ ABC 的面积 S △ ABC =   (　　) A.   　    B.3　    C.   　    D.6 答案     B　由sin 2 B =2sin A sin C 及正弦定理,得 b 2 =2 ac ,①又 B =   ,所以 a 2 + c 2 = b 2 ,② 联立①②得 a = c ,又 a =   ,∴ c =   ,所以 S △ ABC =   ×   ×   =3.故选B. 3.(2017江苏,5,5分)若tan   =   ,则tan α = 　　　     . 答案        解析 　因为tan   =   , 所以tan α =tan   =   =   =   . 4.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)△ ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已 知sin( A + C )=8sin 2   . (1)求cos B ; (2)若 a + c =6,△ ABC 的面积为2,求 b . 解析 　(1)由题设及 A + B + C =π得sin B =8sin 2   , 故sin B =4(1-cos B ). 上式两边平方,整理得17cos 2 B -32cos B +15=0, 解得cos B =1(舍去)或cos B =   . (2)由cos B =   得sin B =   ,故 S △ ABC =   ac sin B =   ac .又 S △ ABC =2,则 ac =   . 由余弦定理及 a + c =6得 b 2 = a 2 + c 2 -2 ac cos B =( a + c ) 2 -2 ac (1+cos B )=36-2 ×   ×   =4.所以 b =2.