【数学】2020届一轮复习人教B版(文)24基本不等式及简单的线性规划作业

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文档介绍

【数学】2020届一轮复习人教B版(文)24基本不等式及简单的线性规划作业

天天练24 基本不等式及简单的线性规划 小题狂练 一、选择题 ‎1.[2019·山东临汾一中月考]不等式y(x+y-2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是(  )‎ 答案:C 解析:由y·(x+y-2)≥0,得或所以不等式y·(x+y-2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C项,故选C.‎ ‎2.已知00,y>0,且4x+y=xy,则x+y的最小值为(  )‎ A.8 B.9‎ C.12 D.16‎ 答案:B 解析:由4x+y=xy得+=1,则x+y=(x+y)·=++1+4≥2+5=9,当且仅当=,即x=3,y=6时取“=”,故选B.‎ ‎4.若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)被圆(x+3)2+(y+1)2‎ ‎=1截得的弦长为2,则+的最小值为(  )‎ A.4 B.6‎ C.12 D.16‎ 答案:B 解析:由题意,圆心坐标为(-3,-1),半径为1,直线被圆截得的弦长为2,所以直线过圆心,即-3m-n+2=0,3m+n=2.所以+=(3m+n)=6++≥=6,当且仅当=时取等号,因此+的最小值为6,故选B.‎ ‎5.[2019·湖南永州模拟]已知三角形ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若+=2a,则△ABC是(  )‎ A.等边三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 答案:C 解析:∵+=2a,由正弦定理可得,2sinA=+≥2=2,即sinA≥1,∴sinA=1,当且仅当=,即B=C时,等号成立,∴A=,b=c,∴△ABC是等腰直角三角形,故选C.‎ ‎6.[2019·开封模拟]已知实数x,y满足约束条件则z=x-2y的最大值是(  )‎ A. B. C.32 D.64‎ 答案:C 解析:解法一 作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,设u=x-2y,由图知,当直线u=x-2y经过点A ‎(1,3)时,u取得最小值,即umin=1-2×3=-5,此时z=x-2y取得最大值,即zmax=-5=32,故选C.‎ 解法二 由题易知z=x-2y的最大值在可行域的顶点处取得,只需求出顶点A,B,C的坐标分别代入z=x-2y,即可求得最大值.联立得解得A(1,3),代入可得z=32;联立得解得B,代入可得z=;联立得解得C(-2,0),代入可得z=4.通过比较可知,在点A(1,3)处,z=x-2y取得最大值32,故选C.‎ ‎7.若实数x,y满足不等式组目标函数z=kx-y的最大值为12,最小值为0,则实数k=(  )‎ A.2 B.1‎ C.-2 D.3‎ 答案:D 解析:作出可行域如图中阴影部分所示,目标函数z=kx-y可化为y=kx-z,若k≤0,则z的最小值不可能为0,若k>0,当直线y=kx-z过点(1,3)时,z取最小值0,得k=3,此时直线y=kx-z过点(4,0)时,z取得最大值12,符合题意,故k=3.‎ ‎8.[2019·云南红河州统一检测]设x,y满足条件若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为2,则+的最小值为(  )‎ A.25 B.19‎ C.13 D.5‎ 答案:A 解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分,当直线ax+by=z(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时,目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值2,即2a+3b=1,所以(2a+3b)=13+6≥13+6×2=25,当且仅当a=b=时等号成立,所以+的最小值为25,故选A.‎ 二、非选择题 ‎9.已知x<,则f(x)=4x-2+的最大值为________.‎ 答案:1‎ 解析:因为x<,所以5-4x>0,则f(x)=4x-2+=-+3≤-2+3=1.‎ 当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+的最大值为1.‎ ‎10.[2019·广东清远模拟]若x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是________.‎ 答案:16‎ 解析:因为x>0,y>0,且+=1,所以x+y=(x+y)=10++≥10+2=16,当且仅当9x2=y2,即y=3x=12时等号成立.故x+y的最小值是16.‎ ‎11.[2018·全国卷Ⅰ]若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为________.‎ 答案:6‎ 解析:作出满足约束条件的可行域如图阴影部分所示.‎ 由z=3x+2y得y=-x+.‎ 作直线l0:y=-x.平移直线l0,当直线y=-x+ 过点(2,0)时,z取最大值,zmax=3×2+2×0=6.‎ ‎12.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时,生产一件产品A的利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.‎ 答案:216 000‎ 解析:由题意,设产品A生产x件,产品B生产y件,利润z=2 100x+900y,线性约束条件为 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,又由x∈N,y∈N,可知取得最大值时的最优解为(60,100),所以zmax=2 100×60+900×100=216 000(元).‎ 课时测评 一、选择题 ‎1.[2019·河北卓越联盟联考]已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则实数a的取值范围为(  )‎ A.(-7,24)‎ B.(-∞,-7)∪(24,+∞)‎ C.(-24,7)‎ D.(-∞,-24)∪(7,+∞)‎ 答案:A 解析:由题意可知(-9+2-a)(12+12-a)<0,所以(a+7)(a-24)<0,所以-70,b>0,并且,,成等差数列,则a+9b的最小值为(  )‎ A.16 B.9‎ C.5 D.4‎ 答案:A 解析:∵,,成等差数列,∴+=1,∴a+9b=(a+9b)=10++≥10+2=16,当且仅当=且+=1即a=4,b=时等号成立,故选A.‎ ‎5.已知a,b为正实数,函数y=2aex+b的图象过点(0,1),则+的最小值是(  )‎ A.3+2 B.3-2 C.4 D.2‎ 答案:A 解析:因为函数y=2aex+b的图象过点(0,1),所以2a+b=1.又a>0,b>0,所以+=+=3++≥3+2,当且仅当=,即b=a时取等号,所以+的最小值是3+2.‎ ‎6.已知x,y满足约束条件若z=x+4y的最大值与最小值之差为5,则实数λ的值为(  )‎ A.3 B. C. D.1‎ 答案:A 解析:作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示,其中A(1,4),B(λ-3,λ).由z=x+4y,得y=-x+,作出直线y=-x,并平移,知当该直线经过点A时,z取得最大值,且最大值为1+4×4=17;当该直线经过点B时,z取得最小值,且最小值为λ-3+4λ=5λ-3.因为z=x+4y的最大值与最小值之差为5,所以17-(5λ-3)=20-5λ=5,得λ=3.故选A.‎ ‎7.[2019·太原模拟]‎ 已知点(x,y)所在的可行域如图中阴影部分所示(包含边界),若使目标函数z=ax+y取得最大值的最优解有无数多个,则a的值为(  )‎ A.4 B. C. D. 答案:D 解析:因为目标函数z=ax+y,所以y=-ax+z,易知z是直线y=-ax+z在y轴上的截距.分析知当直线y=-ax+z的斜率与直线AC的斜率相等时,目标函数z=ax+y 取得最大值的最优解有无数多个,此时-a==-,即a=,故选D.‎ ‎8.[2019·湖北联考]已知实数x,y满足则z=|2x-3y+4|的最小值为(  )‎ A. B. C. D. 答案:D 解析:由题意得,作出不等式组表示的平面区域,如图所示,设m=2x-3y+4,在直线2x-3y+4=0上方并满足约束条件的区域使得m的值为负数,在点A处m取得最小值,联立解得x=1,y=4,此时mmin=2×1-3×4+4=-6,则|m|max=6,在直线2x-3y+4=0下方并满足约束条件的区域使得m的值为正数,在点C处m取得最大值,联立解得x=2,y=1,即C(2,1),此时mmax=5,|m|max=5,故|m|max=6,故z=|2x-3y+4|在点A(1,4)处取得最小值,最小值为z=6=,故选D.‎ 二、非选择题 ‎9.[2018·全国卷Ⅱ]若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为________.‎ 答案:9‎ 解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分).x+y取得最大值⇔斜率为-1的直线x+y=z(z看做常数)的横截距最大,‎ 由图可得直线x+y=z过点C时z取得最大值.‎ 由得点C(5,4),‎ ‎∴ zmax=5+4=9.‎ ‎10.[2019·郑州模拟]已知不等式组表示的平面区域为D,若直线y=kx+1将区域D分成面积相等的两部分,则实数k的值是________.‎ 答案: 解析:区域D如图中的阴影部分所示,直线y=kx+1经过定点C(0,1),如果其把区域D划分为面积相等的两个部分,则直线y=kx+1只要经过AB的中点即可.‎ 由方程组解得A(1,0).‎ 由方程组解得B(2,3).‎ 所以AB的中点坐标为,代入直线方程y=kx+1得,=k+1,解得k=.‎ ‎11.设函数f(x)=x+,x∈[0,+∞).‎ ‎(1)当a=2时,求函数f(x)的最小值;‎ ‎(2)当01,‎ 所以1->0,‎ 因为x1<x2,所以x1-x2<0,‎ 所以f(x1)-f(x2)<0,故f(x1)
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