高考数学解答题分类汇编——函数
2010 年高考数学试题分类汇编——函数
（2010 上海文数）22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，
第 3 小题满分 8 分。
若实数 、 、 满足 ，则称 比 接近 .
（1）若 比 3 接近 0，求 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ；
（3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于 和 中
接近 0 的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要
求证明）.
解析：(1) x∈(−2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 ， ，
因为 ，
所以 ，即 a2b+ab2 比 a3+b3 接近 ；
(3) ,k∈Z，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期 T=π，函数 f(x)的最小值为 0，
函数 f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减，k∈Z．
（2010 湖南文数）21．（本小题满分 13 分）
已知函数 其中 a<0,且 a≠-1.
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设函数 （e 是自然数的底数）。是否存在 a，
使 在[a,-a]上为减函数？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，请说明理由。
x y m x m y m− < − x y m
2 1x − x
a b 2 2a b ab+ 3 3a b+ 2ab ab
( )f x { }, ,D x x k k Z x Rπ≠ ∈ ∈ x D∈ ( )f x 1 sin x+ 1 sin x−
( )f x
2 2 2a b ab ab ab+ > 3 3 2a b ab ab+ >
2 2 3 3 2| 2 | | 2 | ( )( ) 0a b ab ab ab a b ab ab a b a b+ − − + − = − + − <
2 2 3 3| 2 | | 2 |a b ab ab ab a b ab ab+ − < + − 2ab ab
1 sin , (2 ,2 )( ) 1 | sin |,1 sin , (2 ,2 )
x x k kf x x x kx x k k
π π π ππ π π
+ ∈ −= = − ≠ − ∈ +
[ , )2k k
ππ π− ( , ]2k k
ππ π +
( ) ( 1)ln 15 ,af x x a x ax
= + + − +
( )f x
3 3 2( 2 3 6 4 6 ) , 1
( ), 1
( ) {
xx ax ax a a e x
e f x x
g x
− + + − − ≤
⋅ >
=
( )g x
（2010 浙江理数） (22)(本题满分 14 分)已知 是给定的实常数，设函数 ，a 2 2( ) ( ) ( )f x x a x b e= − +
，
是 的一个极大值点．
(Ⅰ)求 的取值范围；
(Ⅱ)设 是 的 3 个极值点，问是否存在实数 ，可找到 ，使得 的某种
排列 (其中 = )依次成等差数列?若存在，求所有的 及相应的 ；若不
存在，说明理由．
解析：本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论
证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识。
（Ⅰ）解：f’(x)=ex(x-a)
令
于是，假设
（1） 当 x1=a 或 x2=a 时，则 x=a 不是 f(x)的极值点，此时不合题意。
（2） 当 x1 a 且 x2 a 时，由于 x=a 是 f(x)的极大值点，故 x1
则
1 2 1 2, ( ) 0 .x x g x x x= <是 的两个实根，且
≠ ≠
( ) 0g x <
2
(3 ) 2 0a a b a b ab a+ − + + − − <
4 22 3x x a a b= − = − − + 2( 1) 8 2 6a b a a+ − + − = +
4 22 3x x a a b= − = − − 2( 1) 8 2 6a b a a− + − + − = −
2 1x a a x− = − 2 12( )x a a x− = − 1 2( ) 2( )a x x a− = −
于是
此时
综上所述，存在 b 满足题意，
当 b=-a-3 时，
时，
时，
（2010 全国卷 2 理数）（22）（本小题满分 12 分）
设函数 ．
（Ⅰ）证明：当 时， ；
1a b+ − = 9 13
2
− −
4
2 ( 3) 3( 3) 1 1332 4 2
a x a a b a bx b a
+ + − − − + + −= = = − − = +
4 2 6x a= ±
7 13
2b a
+= − − 4
1 13
2x a
+= +
7 13
2b a
−= − − 4
1 13
2x a
−= +
( ) 1 xf x e−= −
x＞- 1 ( )
1
xf x x
≥ +
（Ⅱ）设当 时， ，求 a 的取值范围．
【命题意图】本题主要考查导数的应用和利用导数证明不等式，考查考生综合运用知识的能力及分类讨论
的思想，考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力.
【参考答案】
0x ≥ ( )
1
xf x ax
≤ +
【点评】导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本
技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.估计以后对导数的考查力度不会减弱。作为压轴题，
主要是涉及利用导数求最值解决恒成立问题，利用导数证明不等式等，常伴随对参数的讨论，这也是难点
之所在.
（2010 陕西文数）21、(本小题满分 14 分)
已知函数 f（x）= ，g（x）=alnx，a R。
（1） 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程；
（2） 设函数 h(x)=f(x)- g(x),当 h(x)存在最小之时，求其最小值 （a）的解析式；
（3） 对（2）中的 （a），证明：当 a （0，+ ）时， （a） 1.
解 （1）f’(x)= ,g’(x)= (x>0),
由已知得 =alnx，
= ， 解德 a= ,x=e2,
两条曲线交点的坐标为（e2,e） 切线的斜率为 k=f’(e2)= ,
切线的方程为 y-e= (x- e2).
（2）由条件知
x ∈
ϕ
ϕ ∈ ∞ ϕ ≤
1
2 x
a
x
x
1
2 x
a
x 2
e
1
2e
1
2e
Ⅰ 当 a.>0 时，令 h (x)=0,解得 x= ,
所以当 0 < x< 时 h (x)<0，h(x)在（0， ）上递减；
当 x> 时，h (x)>0，h(x)在（0， ）上递增。
所以 x> 是 h(x)在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值点。
所以 Φ （a）=h( )= 2a-aln =2
Ⅱ当 a ≤ 0 时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值 Φ （a）的解析式为 2a(1-ln2a) (a>o)
（3）由（2）知 Φ （a）=2a(1-ln2a)
则 Φ 1（a ）=-2ln2a，令 Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2
当 00，所以 Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增
当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以 Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以 Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值 Φ（1/2 ）=1
因为 Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以 Φ（1/2）=1 也是 Φ（a）的最大值
所当 a 属于 (0, +∞)时，总有 Φ（a） ≤ 1
（2010 辽宁文数）（21）（本小题满分 12 分）
已知函数 .
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：对任意 ， .
解：(Ⅰ) f(x)的定义域为(0,+ )， .
当 a≥0 时， ＞0，故 f(x)在(0,+ )单调增加；
当 a≤－1 时， ＜0, 故 f(x)在(0,+ )单调减少；
' 24a
24a ' 24a
24a ' 24a
24a
24a 24a
2( ) ( 1)ln 1f x a x ax= + + +
( )f x
2a ≤ − 1 2, (0, )x x ∈ +∞ 1 2 1 2| ( ) ( ) | 4 | |f x f x x x− ≥ −
∞
21 2 1( ) 2a ax af x axx x
+ + +′ = + =
( )f x′ ∞
( )f x′ ∞
当－1＜a＜0 时，令 ＝0,解得 x= .当 x∈(0, )时, ＞0；
x∈( ，+ )时， ＜0, 故 f(x)在（0, ）单调增加，在（ ，+ ）单调减
少.
(Ⅱ)不妨假设 x1≥x2.由于 a≤－2,故 f(x)在（0，+ ）单调减少.
所以 等价于
≥4x1－4x2,
即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.
令 g(x)=f(x)+4x,则
+4
＝ .
于是 ≤ ＝ ≤0.
从而 g(x)在（0，+ ）单调减少，故 g(x1) ≤g(x2)，
即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2，故对任意 x1,x2∈(0,+ ) ， .
（2010 辽宁理数）（21）（本小题满分 12 分）
已知函数
（I）讨论函数 的单调性；
（II）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围。
解：
（Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）. .
当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加；
当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少；
( )f x′ 1
2
a
a
+− 1
2
a
a
+− ( )f x′
1
2
a
a
+− ∞ ( )f x′ 1
2
a
a
+− 1
2
a
a
+− ∞
∞
1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ −
1 2( ) ( )f x f x−
1( ) 2ag x axx
+′ = +
22 4 1ax x a
x
+ + +
( )g x′
24 4 1x x
x
− + − 2(2 1)x
x
− −
∞
∞ 1 2 1 2( ) ( ) 4f x f x x x− ≥ −
1ln)1()( 2 +++= axxaxf
)(xf
1−0，为单调递增区间。
最大值在右端点取到。 。
（2010 安徽文数）20.（本小题满分 12 分）
设函数 ， ，求函数 的单调区间与极值。
【命题意图】本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合应用数学知识解
决问题的能力.
【解题指导】（1）对函数 求导，对导函数用辅助角公式变形，利用导数等于 0
得极值点，通过列表的方法考查极值点的两侧导数的正负，判断区间的单调性，求极值.
( ) ( )ln ln 2 ( 0)f x x x ax a= + − + >
( )f x
( )f x ( ]01， 1
2
1 1( ) 2f x ax x
′ = − +−
21 1 2( ) 0 +1=0 02 2
xf x x x x x
− +′ = − ⇒ =− −得 （ ）
(0, 2), ( ) 0,x f x′∈ > ( 2 2), ( ) 0,x f x′∈ <，
( ]01，
( ]01x∈ ， 1 1( ) 2f x ax x
′ = − +−
max
1(1) 2f f a= = =
( ) sin cos 1f x x x x= − + + 0 2x
π< < ( )f x
( ) sin cos 1f x x x x= − + +
,
,
,
( ) 1 2 ( ).4
2 3( ) 0 ( )4 2 2
( )
x x
x x x x
x x
ππ
π ππ
= + +
= + = = =
解：由f ( x) =si nx- cosx+x+1, 0 (0, )+∞ '( ) 0f x <
( )f x ( 1,0)− (0, )+∞
0 1k< < ( 1)'( ) 01
x kx kf x x
+ −= =+ 1 0x = 2
1 0kx k
−= >
( 1,0)− 1( , )k
k
− +∞ '( ) 0f x > 1(0, )k
k
−
'( ) 0f x <
( )f x ( 1,0)− 1( , )k
k
− +∞ 1(0, )k
k
−
1k =
2
'( ) 1
xf x x
= +
( )f x ( 1, )− +∞
1k > ( 1)'( ) 01
x kx kf x x
+ −= =+ 1
1 ( 1,0)kx k
−= ∈ − 2 0x =
1( 1, )k
k
−− (0, )+∞ '( ) 0f x > 1( ,0)k
k
−
'( ) 0f x <
( )f x 1( 1, )k
k
−− (0, )+∞ 1( ,0)k
k
−
设 （ 且 ），g(x)是 f(x)的反函数.
（Ⅰ）设关于 的方程求 在区间[2，6]上有实数解，求 t 的取值范围；
（Ⅱ）当 a＝e（e 为自然对数的底数）时，证明： ；
（Ⅲ）当 0＜a≤
1
2时，试比较 与 4 的大小，并说明理由.
本小题考产函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，考察化归、分类整合等数学思想方
法，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，得 ax＝ ＞0
故 g(x)＝ ，x∈(－∞,－1)∪(1,＋∞)
由 得
t＝(x-1)2(7-x)，x∈[2,6]
则 t'=-3x2+18x-15=-3(x-1)(x-5)
列表如下：
x 2 (2,5) 5 (5,6) 6
t' + 0 -
t 5 ↗ 极大值 32 ↘ 25
所以 t 最小值＝5，t 最大值＝32
所以 t 的取值范围为[5,32]……………………………………………………5 分
(2)
＝ln( )
＝－ln
1
1
x
x
af ( x ) a
+= − 0a > 1a ≠
x 2 1 7a
tlog g( x )( x )( x )
=− −
2
2
2
2 1
n
k
n ng( k )
n( n )=
− −>
+∑
1
n
k
f ( k ) n
=
− ∑
1
1
y
y
−
+
1log 1a
x
x
−
+
2
1log log( 1)(7 ) 1a a
t x
x x x
−=− − +
2
1 2 3 1( ) ln ln ln ln3 4 5 1
n
k
ng k n=
−= + + + + +∑
1 2 3 1
3 4 5 1
n
n
−× × × × +
( 1)
2
n n +
令 u(z)＝－lnz2－ ＝－2lnz＋z－ ，z＞0
则 u'(z)＝－ ＝(1－ )2≥0
所以 u(z)在(0,＋∞)上是增函数
又因为 ＞1＞0，所以 u( )＞u(1)＝0
即 ln ＞0
即 ………………………………………………………………9 分
(3)设 a＝ ，则 p≥1，1＜f(1)＝ ≤3
当 n＝1 时，|f(1)－1|＝ ≤2＜4
当 n≥2 时
设 k≥2,k∈N *时，则 f(k)＝
＝1＋
所以 1＜f(k)≤1＋
从而 n－1＜ ≤n-1+ ＝n+1- ＜n＋1
所以 n＜ ＜f(1)＋n＋1≤n＋4
综上所述，总有| －n|＜4
21 z
z
− 1
z
2
2 11z z
+ + 1
z
( 1)
2
n n + ( 1)
2
n n +
( 1)12 2
( 1) ( 1)
2
n n
n n n n
+−
−+ +
2
2
2( )
2 ( 1)
n
k
n ng k
n n=
− −>
+∑
1
1 p+
1 211
a
a p
+ = +−
2
p
(1 ) 1 21(1 ) 1 (1 ) 1
k
k k
p
p p
+ + = ++ − + −
1 2 2
2
k k
k k kC p C p C p+ + +
1 2
2 4 4 41 1( 1) 1k kC C k k k k
= + = + −+ + +
2
( )
n
k
f k
=
∑ 4 4
2 1n
− +
4
1n +
1
( )
n
k
f k
=
∑
1
( )
n
k
f k
=
∑
（2010 天津文数）（20）（本小题满分 12 分）
已知函数 f（x）= ，其中 a>0.
（Ⅰ）若 a=1，求曲线 y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间 上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范围.
【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考
查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分.
（Ⅰ）解：当 a=1 时，f（x）= ，f（2）=3；f’(x)= , f’(2)=6.所以曲线 y=f
（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 y-3=6（x-2），即 y=6x-9.
（Ⅱ）解：f’(x)= .令 f’(x)=0，解得 x=0 或 x= .
以下分两种情况讨论：
（1） 若 ，当 x 变化时，f’(x)，f（x）的变化情况如下表：
X 0
f’(x) + 0 -
f(x) 极大值
当 等价于
解不等式组得-52，则 .当 x 变化时，f’(x),f（x）的变化情况如下表：
X 0
f’(x) + 0 - 0 +
f(x) 极大值 极小值
3 23 1( )2ax x x R− + ∈
1 1,2 2
−
3 23x x 12
− + 23 3x x−
23 3 3 ( 1)ax x x ax− = − 1
a
1 10 a 2 a 2
< ≤ ≥，则
1 02
− ， 1
2
0，
1 1x f x2 2
∈ − ， 时， （ ）>0
5 a1 0,( ) 0, 82
1 5 a( ) 0, 0.2 8
f
f
− >− > + > >
即
0 a 2< ≤
1 10 a 2
< <
1 02
− ， 1
a
0， 1
a
1 1
a 2
，
当 时，f（x）>0 等价于 即
解不等式组得 或 .因此 20,a
>0,
2
5
8
11- >0.2
a
a
−
>0,
2 52 a< < 2
2a < −
( ) ( )xf x xc x R−= ∈
( )f x
( )y g x= ( )y f x= 1x = 1x >
( ) ( )f x g x>
1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x= 1 2 2x x+ >
( ) (1 ) xx x e−= −
,1−∞ 1,+∞
,1−∞ 1,+∞
1
e
2xe −
2( ) ( 2)x xF x xe x e− −= + −
2 2'( ) ( 1)( 1)x xF x x e e− −= − −
当 x>1 时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数 F（x）在[1,+∞)是增函数。
又 F(1)= F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).
Ⅲ)证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得
由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因
为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数 f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以 > ,即
>2.
（2010 福建文数）22．（本小题满分 14 分）
已知函数 f（x）= 的图像在点 P（0,f(0)）处的切线方程为 y=3x-2
(Ⅰ)求实数 a,b 的值；
(Ⅱ)设 g（x）=f(x)+ 是[ ]上的增函数。
（i）求实数 m 的最大值；
(ii)当 m 取最大值时，是否存在点 Q，使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封闭图形，则这
两个封闭图形的面积总相等?若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由。
2x-2e 1 0, 0, Fxe−− > >又 所以
-1 -1e e 0− = ，所以x>1时，有
1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), 1.x x x x x x− − = Ι = = = ≠1 2由（ ）及f ( x f ( x 则 与 矛盾。
1 2 1 2 1 2( 1)( 1) 0, ) ), .x x x x x x− − > Ι = = ≠1 2由（ ）及f ( x f ( x 得 与 矛盾。
1 2 1 2( 1)( 1) 0, 1, 1.x x x x− − < < >不妨设
)2f ( x )2g( x )2g( x )2f ( 2- x )2f ( x )2f ( 2- x )1f ( x )2f ( 2- x
2 1x > 22 1x− < 1x 22 x− 1 2x x+
3 21
3 x x ax b− + +
1
m
x − 2,+∞
（2010 福建文数）21．(本小题满分 12 分)
某港口 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口 北偏西 30
°且与该港口相距 20 海里的 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿
直线方向以 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 小时与轮船相遇。
(Ⅰ)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(Ⅱ)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(Ⅲ)是否存在 ，使得小艇以 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存
在，试确定 的取值范围；若不存在，请说明理由。
O O
A
υ t
υ υ
υ
（2010 全国卷 1 理数）(20)(本小题满分 12 分)
已知函数 .
（Ⅰ）若 ，求 的取值范围；
（Ⅱ）证明： .
（2010 四川文数）（22）（本小题满分 14 分）
( ) ( 1)ln 1f x x x x= + − +
2'( ) 1xf x x ax≤ + + a
( 1) ( ) 0x f x− ≥
设 （ 且 ），g(x)是 f(x)的反函数.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）当 时，恒有 成立，求 t 的取值范围；
（Ⅲ）当 0＜a≤
1
2时，试比较 f(1)+f(2)+…+f(n)与 的大小，并说明理由.
1
1
x
x
af ( x ) a
+= − 0a > 1a ≠
( )g x
[2,6]x∈ 2( ) log ( 1)(7 )a
tg x x x
> − −
4n +
（2010 湖北文数）21.（本小题满分 14 分）
设函数 ，其中 a＞0，曲线 在点 P（0， ）处的切线方程
为 y=1
（Ⅰ）确定 b、c 的值
（Ⅱ）设曲线 在点（ ）及（ ）处的切线都过点（0,2）证明：当
时，
（Ⅲ）若过点（0,2）可作曲线 的三条不同切线，求 a 的取值范围。
（2010 湖北文数）19.（本小题满分 12 分）
已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除。当地有关部
门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 b（单位：m2）的旧住房。
3 21 ax x bx c3 2f − + +（x）= xy f= （ ） 0f（ ）
xy f= （ ） 1 1x xf，（ ） 2 2x xf，（ ） 1 2x x≠
1 2'( ) '( )f x f x≠
xy f= （ ）
（Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式：
（Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年拆除的旧住房面
积 b 是多少？（计算时取 1.15=1.6）
（2010 山东理数）(22)(本小题满分 14 分)
已知函数 .
(Ⅰ)当 时，讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 当 时，若对任意 ，存在 ，使
，求实数 取值范围.
1( ) ln 1af x x ax x
−= − + − ( )a R∈
1
2a ≤ ( )f x
2( ) 2 4.g x x bx= − + 1
4a = 1 (0,2)x ∈ [ ]2 1,2x ∈
1 2( ) ( )f x g x≥ b
（Ⅱ）当 时， 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意 ，
有 ，又已知存在 ，使 ，所以 ， ，
即存在 ，使 ，即 ，即 ，
所以 ，解得 ，即实数 取值范围是 。
【命题意图】本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、
利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；
考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出 的最小值、利用二次函数
知识或分离常数法求出 在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数。
1
4a = f(x) 1 (0,2)x ∈
1
1f(x ) f(1)=- 2
≥ [ ]2 1,2x ∈ 1 2( ) ( )f x g x≥ 2
1 ( )2 g x− ≥ [ ]2 1,2x ∈
[ ]1,2x∈ 2 1( ) 2 4 2g x x bx= − + ≤ − 2 92 2bx x≥ +
9
22b x x
≥ + ∈ 11 17[ , ]2 4
112 2b ≥ 11
4b ≥ b 11[ , )4
+∞
( )f x
( )g x
（2010 湖南理数）20.（本小题满分 13 分）
已知函数 对任意的 ，恒有 。
（Ⅰ）证明：当 时， ；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意 b，c，不等式 恒成立，求 M 的最小值。
解析：
（2010 湖北理数）17．（本小题满分 12 分）
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造
可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万
元）与隔热层厚度 x（单位：cm）满足关系：C（x）= 若不建隔热层，每年能源消耗费
用为 8 万元。设 f（x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。
（Ⅰ）求 k 的值及 f(x)的表达式。
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。
2( ) ( , ),f x x bx c b c R= + + ∈ x R∈ ' ( )f x ≤ ( )f x
0x ≥ 2( ) ( )f x x c≤ +
2 2( ) ( ) ( )f c f b M c b− ≤ −
(0 10),3 5
k xx
≤ ≤+
（2010 福建理数）20．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ）已知函数 ， 。
（i）求函数 的单调区间；
（ii）证明：若对于任意非零实数 ，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点
，曲线 C 与其在点 处的切线交于另一点 ，线段
（Ⅱ）对于一般的三次函数 （Ⅰ）（ii）的正确命题，并予
以证明。
【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理
论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
【解析】（Ⅰ）（i）由 得 = ，
当 和 时， ；
当 时， ，
3(x)=x -xf 其图象记为曲线C
(x)f
1x 1 1 1P (x ,f(x ))
2 2 2P (x ,f(x )) 2 2 2P (x ,f(x )) 3 3 3P (x ,f(x ))
1
1 2 2 3 1 2
2
P P ,P P ,S , SC S
与曲线 所围成封闭图形的面积分别记为S 则 为定值；
3 2g(x)=ax +bx +cx+d(a 0),≠ 请给出类似于
3(x)=x -xf ' 2(x)=3x -1f 3 33(x- )(x+ )3 3
3x (- ,- )3
∈ ∞ 3
3
+ ∞（ ， ） ' (x)>0f
3x (- ,3
∈ 3 )3
' (x)<0f
因此， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。
（2010 湖北理数）
(x)f 3(- ,- )3
∞ 3
3
+ ∞（ ， ） 3(- ,3
3 )3
（2010 安徽理数）17、（本小题满分 12 分）
设 为实数，函数 。
(Ⅰ)求 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当 且 时， 。
a ( ) 2 2 ,xf x e x a x= − + ∈R
( )f x
ln 2 1a > − 0x > 2 2 1xe x ax> − +
（2010 江苏卷）20、（本小题满分 16 分）
设 是定义在区间 上的函数，其导函数为 。如果存在实数 和函数 ，其中
对任意的 都有 >0，使得 ，则称函数 具有性质 。
(1)设函数 ，其中 为实数。
(i)求证：函数 具有性质 ； (ii)求函数 的单调区间。
(2)已知函数 具有性质 。给定 设 为实数，
， ，且 ，
若| |<| |，求 的取值范围。
[解析]本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的
思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分。
（1）(i)
∵ 时， 恒成立，
∴函数 具有性质 ；
(ii)（方法一）设 ， 与 的符号相同。
)(xf ),1( +∞ )(' xf a )(xh )(xh
),1( +∞∈x )(xh )1)(()(' 2 +−= axxxhxf )(xf )(aP
)(xf 2ln ( 1)1
bx xx
+= + >+ b
)(xf )(bP )(xf
)(xg )2(P 1 2 1 2, (1, ), ,x x x x∈ +∞ < m
21 )1( xmmx −+=α 21)1( mxxm +−=β 1,1 >> βα
)()( βα gg − )()( 21 xgxg − m
'( )f x 2
2 2
1 2 1 ( 1)( 1) ( 1)
b x bxx x x x
+= − = − ++ +
1x > 2
1( ) 0( 1)h x x x
= >+
)(xf )(bP
2
2 2( ) 1 ( ) 12 4
b bx x bx xϕ = − + = − + − ( )xϕ )(' xf
当 时， ， ，故此时 在区间 上递增；
当 时，对于 ，有 ，所以此时 在区间 上递增；
当 时， 图像开口向上，对称轴 ，而 ，
对于 ，总有 ， ，故此时 在区间 上递增；
（方法二）当 时，对于 ，
所以 ，故此时 在区间 上递增；
当 时 ， 图 像 开 口 向 上 ， 对 称 轴 ， 方 程 的 两 根 为 ：
，而
当 时， ， ，故此时 在区间 上递减；
同理得： 在区间 上递增。
综上所述，当 时， 在区间 上递增；
当 时， 在 上递减； 在 上递增。
(2)（方法一）由题意，得：
又 对任意的 都有 >0，
所以对任意的 都有 ， 在 上递增。
又 。
当 时， ，且 ，
2
1 0, 2 24
b b− > − < < ( )xϕ 0> )(' xf 0> )(xf ),1( +∞
2b = ± 1x > )(' xf 0> )(xf ),1( +∞
2b < − ( )xϕ 12
bx = < − (0) 1ϕ =
1x > ( )xϕ 0> )(' xf 0> )(xf ),1( +∞
2b ≤ 1x > 2 2 2( ) 1 2 1 ( 1) 0x x bx x x xϕ = − + ≥ − + = − >
)(' xf 0> )(xf ),1( +∞
2b > ( )xϕ 12
bx = > ( ) 0xϕ =
2 24 4,2 2
b b b b+ − − − 2 2
2
4 4 21, (0,1)2 2 4
b b b b
b b
+ − − −> = ∈
+ −
2 4(1, )2
b bx
+ −∈ ( )xϕ 0< )(' xf 0< )(xf
2 4(1, )2
b b+ −
)(xf
2 4[ , )2
b b+ − +∞
2b ≤ )(xf ),1( +∞
2b > )(xf 2 4(1, )2
b b+ − )(xf 2 4[ , )2
b b+ − +∞
2 2'( ) ( )( 2 1) ( )( 1)g x h x x x h x x= − + = −
)(xh ),1( +∞∈x )(xh
),1( +∞∈x ( ) 0g x′ > ( )g x (1, )+∞
1 2 1 2, (2 1)( )x x m x xα β α β+ = + − = − −
1 , 12m m> ≠ α β< 1 1 2 2 1 2( 1) (1 ) , (1 ) ( 1)x m x m x x m x m xα β− = − + − − = − + −
综合以上讨论，得：所求 的取值范围是（0，1）。
（ 方 法 二 ） 由 题 设 知 ， 的 导 函 数 ， 其 中 函 数 对 于 任 意 的
都成立。所以，当 时， ，从而 在区间 上单调递增。
①当 时，有 ，
，得 ，同理可得 ，所以由 的单调
性知 、 ，
从而有| |<| |，符合题设。
②当 时， ，
， 于 是 由 及 的 单 调 性 知
，所以| |≥| |，与题设不符。
③当 时，同理可得 ，进而得| |≥| |，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的 的取值范围是（0，1）。
m
( )g x 2'( ) ( )( 2 1)g x h x x x= − + ( ) 0h x >
),1( +∞∈x 1x > 2'( ) ( )( 1) 0g x h x x= − > ( )g x ),1( +∞
(0,1)m∈ 1 2 1 1 1(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − > + − =
1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − < + − = 1 2( , )x xα ∈ 1 2( , )x xβ ∈ ( )g x
( )g α ( )g β 1 2( ( ), ( ))g x g x∈
)()( βα gg − )()( 21 xgxg −
0m ≤ 1 2 2 2 2(1 ) (1 )mx m x mx m x xα = + − ≥ + − =
1 2 1 1 1(1 ) (1 )m x mx m x mx xβ = − + ≤ − + = 1, 1α β> > ( )g x
1 2( ) ( ) ( ) ( )g g x g x gβ α≤ < ≤ )()( βα gg − )()( 21 xgxg −
1m ≥ 1 2,x xα β≤ ≥ )()( βα gg − )()( 21 xgxg −
m
