2018届高三数学一轮复习： 重点强化课3 不等式及其应用
重点强化课(三) 不等式及其应用
[复习导读] 本章的主要内容是不等式的性质，一元二次不等式及其解法，简单的线性规划问题，基本不等式及其应用，针对不等式具有很强的工具性，应用广泛，解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式是解决问题的重要工具，如利用导数研究函数的单调性，往往归结为解一元二次不等式问题；函数、方程、不等式三者密不可分，相互转化，因此应加强函数与方程思想在不等式中应用的训练．
重点1 一元二次不等式的综合应用
(1)(2016·山东青岛一模)函数y＝的定义域为( )
A．(－∞，1] B.[－1,1]
C．[1,2)∪(2，＋∞) D.∪
(2)已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取值范围是__________．
(1)D (2)(－1，－1) [(1)由题意得
解得即－1≤x≤1且x≠－，所以函数的定义域为，故选D.
(2)由题意得或
解得－1
0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为__________.
【导学号：01772215】
(－5,0)∪(5，＋∞) [由于f(x)为R上的奇函数，
所以当x＝0时，f(0)＝0；当x<0时，－x>0，
所以f(－x)＝x2＋4x＝－f(x)，
即f(x)＝－x2－4x，
所以f(x)＝由f(x)>x，可得
或解得x>5或－51时，当目标函数z＝kx－y经过平面区域内的点(－2，－1)时，z＝kx－y取得最小值zmin＝－2k＋1＝－5，解得k＝3.综上所述，实数k
的值为±3，故选D.]
重点3 基本不等式的综合应用
(2016·江苏高考节选)已知函数f(x)＝ax＋bx(a>0，b>0，a≠1，b≠1)．设a＝2，b＝.
(1)求方程f(x)＝2的根；
(2)若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
[解] 因为a＝2，b＝，所以f(x)＝2x＋2－x.2分
(1)方程f(x)＝2，即2x＋2－x＝2，亦即(2x)2－2×2x＋1＝0，所以(2x－1)2＝0，即2x＝1，解得x＝0.5分
(2)由条件知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2.
因为f(2x)≥mf(x)－6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，
所以m≤对于x∈R恒成立.8分
而＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，
所以m≤4，故实数m的最大值为4.12分
[规律方法]
基本不等式综合应用中的常见类型及求解方法
(1)应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．
(2)条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．
(3)求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围．
[对点训练3] (1)设a，b，c∈(0，＋∞)，则“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则的最小值为__________．
(1)A (2)9 [(1)当a＝b＝c＝2时，有＋＋≤a＋b＋c，
但abc≠1，所以必要性不成立．
当abc＝1时，＋＋＝＝＋＋，
a＋b＋c＝≥＋＋，所以充分性成立．
故“abc＝1”是“＋＋≤a＋b＋c”的充分不必要条件．
(2)由已知得＝1.
则＝＋＝
＝≥(10＋2 )＝9，
当且仅当x＝，y＝时取等号．]
