2021版高考数学一轮复习核心素养测评六十六随机抽样理北师大版

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- 1 - 核心素养测评六十六 随机抽样 (30 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.在下列抽样试验中,适合用抽签法的是 ( ) A.从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 600 件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 C.从甲、乙两厂各取一箱产品,在两箱(每箱 15 件)产品中抽取 6 件进行质量检验 D.从某厂生产的 3 000 件产品中抽取 10 件进行质量检验 【解析】选 B.总体数量不多,抽取的样本量也不大时,使用抽签法. 2.为了了解某班学生的身高情况,决定从 50 名同学中选取 10 名进行检测(已编号为 00～49),利用随机数表 法进行抽取,得到如下 3 组编号,正确的是 ( ) ①26,94,29,27,43,99,55,19,81,06; ②20,26,31,40,24,36,19,34,03,48; ③04,00,45,32,44,22,04,11,08,49. A.① B.② C.③ D.②③ 【解析】选 B.获取的样本号码应跳过不在样本编号内的号码,并应去掉重复号码,由此判断②正确. 3.(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝,并称为中国 古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了 100 位学生,其中阅读过《西 游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位,阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位,阅读过《西游记》且阅读过《红 楼梦》的学生共有 60 位,则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( ) A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8 【解析】选 C.由题意知阅读过《红楼梦》而没有阅读过《西游记》的学生人数为 80-60=20,所以阅读过《西 游记》的学生人数为 90-20=70,故所求的估计值为 =0.7. 4.2020 年夏季来临,某品牌饮料举行夏季促销活动,瓶盖内部分别印有标识 A“谢谢惠顾”、标识 B“再来 一瓶”以及标识 C“品牌纪念币一枚”,每箱中印有 A,B,C 标识的饮料数量之比为 3∶1∶2,若顾客购买了 一箱(12 瓶)该品牌饮料,则兑换“品牌纪念币”的数量为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8 - 2 - 【解析】选 B.根据题意,印有“品牌纪念币一枚”的瓶数占全部瓶数的三分之一,即 12× =4. 5.将参加英语口语测试的 1 000 名学生编号为 000,001,002,…,999,从中抽取一个容量为 50 的样本,按系 统抽样的方法分为 50 组,如果第一组编号为 000,001, 002,…,019,且第一组随机抽取的编号为 015,则抽取的第 35 个样本编号为 ( ) A.700 B.669 C.695 D.676 【解析】选 C.由题意可知,第一组随机抽取的编号为 015,分段间隔数 k= = =20,由题意知抽出的 这些号码是以 15 为首项,20 为公差的等差数列,则抽取的第 35 个样本编号为 15+(35-1)×20=695. 6.为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到 该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样 方法中,合理的抽样方法是 ( ) A.抽签法 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.随机数法 【解析】选 C.我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,而事先已经了解到该地区小学、 初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.了解某地区中小学生的视力 情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理. 7.2019 泉城(济南)马拉松是济南市举办的首个以城市命名的国际马拉松赛事.为了了解某单位参加马拉松 赛的 240 名运动员的身高情况,从中抽取 40 名运动员进行测量.下列说法正确的是 ( ) A.总体是 240 名运动员 B.个体是每一个运动员 C.40 名运动员的身高是一个个体 D.样本容量是 40 【解析】选 D.根据统计的相关概念并结合题意可得,此题的总体、个体、样本这三个概念的考察对象都是 运动员的身高,而不是运动员,并且一个个体是指一名运动员的身高,选项 A,B 表达的对象都是运动员,选项 C 未将个体和样本理解透彻.在这个问题中,总体是 240 名运动员的身高,个体是每个运动员的身高,样本是 40 名运动员的身高,样本容量是 40. - 3 - 8.(2020·潍坊模拟)总体由编号为 00,01,02,…,48,49 的 50 个个体组成,利用下面的随机数表选取 8 个个 体,选取方法是从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第 4 个个体的编号为 ( ) 附:第 6 行至第 9 行的随机数表: 2635 7900 3370 9160 1620 3882 7757 4950 3211 4919 7306 4916 7677 8733 9974 6732 2748 6198 7164 4148 7086 2888 8519 1620 7477 0111 1630 2404 2979 7991 9683 5125 A.3 B.16 C.38 D.49 【解析】选 C.从随机数表第 6 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左到右依次选取两个数字,选出来的编号在 00～49 的前 4 个个体的编号为 33,16,20,38,所以选出来的第 4 个个体的编号为 38. 二、填空题 9.(5 分)某公司对一批产品的质量进行检测,现采用系统抽样的方法从 100 件产品中抽取 5 件进行检测,对 这 100 件产品随机编号后分成 5 组,第一组 1～20 号,第二组 21～40 号,…,第五组 81～100 号,若在第二组 中抽取的编号为 24,则在第四组中抽取的编号为________________. 【解析】设在第一组中抽取的编号为 a1,则在各组中抽取的编号满足首项为 a1,公差为 20 的等差数列,即 an=a1+ ×20,又第二组抽取的编号为 24,即 a1+20=24,所以 a1=4,所以第四组抽取的编号为 4+ ×20=64. 答案:64 三、解答题 10.(15 分)为了评估某学校的教学水平,将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察. 为全面反映实际情况,采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有 20 个教学班,并且每个班内的 学生按随机方式编好了学号,假定该校每班学生人数都相同): ①从全年级 20 个班中任意抽取 1 个班,再从该班任意抽取 20 人,考察他们的学习成绩; ②每个班都抽取 1 人,共计 20 人,考察这 20 个学生的学习成绩; ③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别,从中共抽取 100 名学生进行考察 (已知若按成绩分,该校高三学生中优秀生共 150 人,良好生共 600 人,普通生共 250 人). 根据上面的叙述,回答下列问题: - 4 - (1)上面三种抽取方式中,各自采用何种抽样方法? (2)上面三种抽取方式中,其总体、个体、样本分别指什么?按每一种抽取方式抽取的样本中,其样本容量分 别是多少? (3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤. 【解析】(1)三种抽取方式中,第一种方式采用的是简单随机抽样法;第二种方式采用的是系统抽样法和简 单随机抽样法;第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法. (2)三种抽取方式中,其总体都是高三年级全体学生本学年的考试成绩,个体都是高三年级每个学生本学年 的考试成绩,其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩,样本容量为20;第二种抽 取方式中样本为所抽取的 20 名学生本学年的考试成绩,样本容量为 20;第三种抽取方式中样本为所抽取的 100 名学生本学年的考试成绩,样本容量为 100. (3)第一种方式抽样的步骤如下: 第一步,在这 20 个班中用抽签法任意抽取一个班; 第二步,从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取 20 名学生,考察其考试成绩. 第二种方式抽样的步骤如下: 第一步,在第一个班中,用简单随机抽样法任意抽取某一学生,记其学号为 a; 第二步,在其余的 19 个班中,选取学号为 a 的学生,共计 20 人. 第三种方式抽样的步骤如下: 第一步,分层.由于按成绩分,其中优秀生共 150 人,良好生共 600 人,普通生共 250 人,故在抽取样本时,应 把全体学生分成三层; 第二步,确定各个层抽取的人数,由于样本容量与总体的个体数的比为 100∶1000=1∶10,故在每层抽取的个 体数依次为 , , ,即 15,60,25; 第三步,按层分别抽取.在优秀生中用简单随机抽样法抽取 15 人;在良好生中用简单随机抽样法抽取 60 人; 在普通生中用简单随机抽样法抽取 25 人. (15 分钟 35 分) 1.(5 分)(2020·怀化模拟)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:发仓募粮,所募粒中秕不百 三则收之(不超过 3%),现抽样取米一把,取得 235 粒米中夹秕 n 粒,若这批米合格,则 n 不超过 ( ) A.6 粒 B.7 粒 C.8 粒 D.9 粒 - 5 - 【解析】选 B.由题意,米合格,则 n 不超过 235× =7.05,所以 n≤7. 2.(5 分)(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解 1 000 名新生的身体素质,将这些学生编号为 1,2,…,1 000,从这 些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验,若 46 号学生被抽到,则下面 4 名学生中被抽 到的是 ( ) A.8 号学生 B.200 号学生 C.616 号学生 D.815 号学生 【解析】选 C.由已知将 1 000 名学生分成 100 个组,每组 10 名学生,用系统抽样,46 号学生被抽到,所以第 一组抽到 6 号,且每组抽到的学生号构成等差数列{an},公差 d=10,所以 an=6+10(n-1)(n∈N*), 若 8=6+10(n-1),则 n=1.2,不合题意;若 200=6+10(n-1),则 n=20.4,不合题意; 若 616=6+10(n-1),则 n=62,符合题意;若 815=6+10(n-1),则 n=81.9,不合题意,故选 C. 【变式备选】 一个总体中有 90 个个体,随机编号 0,1,2,…,89,依从小到大的编号顺序平均分成 9 个小组,组号依次为 1,2,3,…,9.现用系统抽样方法抽取一个容量为 9 的样本,规定:如果在第 1 组随机抽取的号码为 m,那么在 第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同,若 m=8,则在第 8 组中抽取的号码是 ________________. 【解析】由题意知 m=8,k=8,则 m+k=16,也就是第 8 组抽取的号码个位数字为 6,十位数字为 8-1=7,故抽取 的号码为 76. 答案:76 3.(5 分)某高中在校学生有 2 000 人.为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山的比赛活 动.每人都参与而且只能参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如表: 高一年级高二年级高三年级 跑步 a b c 登山 x y z 其中 a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽 取一个 200 人的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________________. - 6 - 【解析】根据题意可知,样本中参与跑步的人数为 200× =120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取 的人数为 120× =36. 答案:36 【变式备选】 200 名职工年龄分布如图所示,从中随机抽取 40 名职工作样本,采用系统抽样方法,按 1～200 编号,分为 40 组,分别为 1～5,6～10,…,196～200,若第 5 组抽取号码为 22,则第 8 组抽取号码为________________.若 采用分层抽样,40 岁以下年龄段应抽取________________人. 【解析】将 1～200 编号分为 40 组,则每组的间隔为 5,其中第 5 组抽取号码为 22,则第 8 组抽取的号码应 为 22+3×5=37;由已知条件得,200 名职工中 40 岁以下的职工人数为 200×50%=100,设在 40 岁以下年龄段 中应抽取 x 人,则 = ,解得 x=20. 答案:37 20 4.(10 分)某单位有 2 000 名职工,老年、中年、青年在管理、技术开发、营销、生产各部门中的分布情况 如表: 部门人数年龄段管理 技术 开发 营销生产 总计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 总计 160 320 480 1 0402 000 (1)若要抽取 40 人调查身体情况,则应该怎样抽样? (2)若要开一个 25 人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会,则应怎样抽选出席人? 【解析】(1)因为身体状况主要与年龄有关,所以应按老年、中年、青年进行分层抽样,要抽取 40 人,根据 老年、中年、青年职工人数比为 1∶3∶6,可以在老年、中年、青年职工中分别抽取 4 人、12 人、24 人. - 7 - (2)因为出席这样的座谈会的人员应该代表各个部门,所以可用按部门分层抽样的方法进行抽样.要抽取 25 人,根据各部门职工人数比为 2∶4∶6∶13,可以在管理、技术开发、营销、生产各部门的职工中分别随机 抽取 2 人、4 人、6 人、13 人. 5.(10 分)某单位最近组织了一次健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参 加活动的职工中,青年人占 42.5%,中年人占 47.5%,老年人占 10%,登山组的职工占参加活动总人数的 ,且 该组中,青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程 度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为 200 的样本.试求: (1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例. (2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数. 【解析】(1)设登山组人数为 x,游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 a,b,c, 则有 =47.5%, =10%.解得 b=50%,c=10%. 故 a=1-50%-10%=40%. 即游泳组中,青年人、中年人、老年人各占比例分别为 40%,50%,10%. (2)游泳组中,抽取的青年人人数为 200× ×40%=60;抽取的中年人人数为 200× ×50%=75; 抽取的老年人人数为 200× ×10%=15. 【变式备选】 1.某学校高一年级 1 802 人,高二年级 1 600 人,高三年级 1 499 人,现采用分层抽样的方法从中抽取 98 名 学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 ( ) A.35,33,30 B.36,32,30 C.36,33,29 D.35,32,31 【解析】选 B.先将每个年级的人数凑整,得高一:1 800 人,高二:1 600 人,高三:1 500 人,则三个年级的总 人数所占比例分别为 , , ,因此,各年级抽取人数分别为 98× =36,98× =32,98× =30. 2.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该地区中小学生的近视形成原因, 用分层抽样的方法抽取 2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 ________________. - 8 - 【解析】该地区中小学生总人数为 3 500+2 000+4 500=10 000, 则样本容量为 10 000×2%=200,其中抽取的高中生近视人数为 2 000×2%×50%=20. 答案:200,20