【数学】2020届天津一轮复习通用版8-3直线、平面平行的判定与性质作业

【数学】2020届天津一轮复习通用版8-3直线、平面平行的判定与性质作业

‎8.3　直线、平面平行的判定与性质 挖命题 ‎【考情探究】‎ 考点 内容解读 ‎5年考情 预测热度 考题示例 考向 关联考点 直线、平面平行的判定与性质 ‎1.以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理 ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 ‎2016天津文,17‎ ‎2015天津文,17‎ ‎2014天津文,17‎ 直线、平面平行的判定和性质定理的灵活应用 直线、平面垂直的判定和性质定理 ‎★★★‎ 分析解读　　1.理解空间直线和平面位置关系的定义,了解直线和平面的位置关系,掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理;2.会运用直线与平面及平面与平面的位置关系,以及它们平行的判定定理和性质定理解决简单的应用问题与证明问题;3.推理和证明要严谨、合理、充分;4.高考对本节内容的考查,一般通过对图形或几何体的认识,考查线线平行、线面平行、面面平行之间的转化思想,题型以解答题为主,属中档题.‎ 破考点 ‎【考点集训】‎ 考点　直线、平面平行的判定与性质 ‎1.(2016课标Ⅰ文,11,5分)平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为(　　)‎ A.‎3‎‎2‎　　　　B.‎2‎‎2‎　　　　C.‎3‎‎3‎　　　　D.‎‎1‎‎3‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016山东文,18,12分)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EF∥DB.‎ ‎(1)已知AB=BC,AE=EC,求证:AC⊥FB;‎ ‎(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH∥平面ABC.‎ 证明　(1)因为EF∥DB,‎ 所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.‎ 因为AE=EC,D为AC的中点,所以DE⊥AC.‎ 同理可得BD⊥AC.‎ 又BD∩DE=D,所以AC⊥平面BDEF,‎ 因为FB⊂平面BDEF,所以AC⊥FB.‎ ‎(2)设FC的中点为I.连接GI,HI.‎ 在△CEF中,因为G是CE的中点,I是FC的中点,‎ 所以GI∥EF,又EF∥DB,所以GI∥DB,‎ 又DB⊂平面ABC,GI⊄平面ABC,所以GI∥平面ABC.‎ 在△CFB中,因为H是FB的中点,I是FC的中点,所以HI∥BC,‎ 又BC⊂平面ABC,HI⊄平面ABC,所以HI∥平面ABC.‎ 又HI∩GI=I,所以平面GHI∥平面ABC.‎ 因为GH⊂平面GHI,所以GH∥平面ABC.‎ 思路分析　第(1)问连接DE,利用等腰三角形的性质得AC⊥DE,AC⊥DB,从而得线面垂直,利用线面垂直的性质得结论;第(2)问取FC的中点I,连接GI,HI,利用三角形的中位线得线线平行从而得线面平行,进而证面面平行,再利用面面平行的性质得出结论.‎ 评析本题主要考查线面垂直的判定与性质以及线面平行的判定与性质,考查学生的空间想象能力和逻辑思维能力,同时考查学生对转化与化归思想的应用.‎ 炼技法 ‎【方法集训】‎ 方法1　证明线面平行的方法 ‎1.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=60°,PA=AB=1,E为PC的中点.‎ ‎(1)求证:PA∥平面BDE;‎ ‎(2)求三棱锥P-BDE的体积.‎ 解析　(1)证明:连接AC,设AC∩BD=O,连接OE,则O为AC的中点,‎ ‎∵E为PC的中点,∴PA∥OE,‎ 又OE⊂平面BDE,PA⊄平面BDE,‎ ‎∴PA∥平面BDE.‎ ‎(2)连接AE,由(1)知PA∥平面BDE,∴P到平面BDE的距离与A到平面BDE的距离相等,即VP-BDE=VA-BDE,又VA-BDE=VE-ABD=‎1‎‎2‎VP-ABD=‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×1×‎1‎‎2‎×1×1×sin 120°=‎3‎‎24‎,‎ ‎∴VP-BDE=‎3‎‎24‎.‎ 方法2　证明面面平行的方法 ‎2.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,点O是线段AB的中点,PO⊥平面ABCD,PO=CD=DA=‎1‎‎2‎AB=4,M是线段PA的中点.‎ ‎(1)证明:平面PBC∥平面ODM;‎ ‎(2)求点A到平面PCD的距离.‎ 解析　(1)证明:由题意,得CD∥BO,且CD=BO,‎ ‎∴四边形OBCD为平行四边形,∴BC∥OD.‎ ‎∵BC⊂平面PBC,OD⊄平面PBC,∴OD∥平面PBC.‎ 又∵O是AB的中点,M是PA的中点,∴OM∥PB.‎ 又OM⊄平面PBC,PB⊂平面PBC,‎ ‎∴OM∥平面PBC.又OM∩OD=O,‎ ‎∴平面PBC∥平面ODM.‎ ‎(2)取CD的中点N,连接ON,PN,如图所示,则ON⊥CD.‎ ‎∵PO⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PO⊥CD.‎ 又∵ON⊥CD,PO∩ON=O,‎ ‎∴CD⊥平面PNO.‎ ‎∵PN⊂平面PNO,∴CD⊥PN.‎ ‎∴ON,PN分别为△ACD,△PCD的公共边CD上的高.‎ 由题意可求得ON=2‎3‎,则PN=2‎7‎,‎ 设点A到平面PCD的距离为d.‎ ‎∵V三棱锥A-PCD=V三棱锥P-ACD,‎ 即‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×4×2‎7‎×d=‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×4×2‎3‎×4,‎ ‎∴d=‎4‎‎21‎‎7‎.即点A到平面PCD的距离为‎4‎‎21‎‎7‎.‎ 过专题 ‎【五年高考】‎ A组　自主命题·天津卷题组 ‎1.(2016天津文,17,13分)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,EF∥AB,AB=2,BC=EF=1,AE=‎6‎,DE=3,∠BAD=60°,G为BC的中点.‎ ‎(1)求证:FG∥平面BED;‎ ‎(2)求证:平面BED⊥平面AED;‎ ‎(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.‎ 解析　(1)证明:取BD中点O,连接OE,OG.在△BCD中,因为G是BC中点,所以OG∥DC且OG=‎1‎‎2‎DC=1,又因为EF∥AB,AB∥DC,所以EF∥OG且EF=OG,即四边形OGFE是平行四边形,所以FG∥OE.‎ 又FG⊄平面BED,OE⊂平面BED,‎ 所以,FG∥平面BED.‎ ‎(2)证明:在△ABD中,AD=1,AB=2,∠BAD=60°,由余弦定理可得BD=‎3‎,进而∠ADB=90°,即BD⊥AD.又因为平面AED⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,平面AED∩平面ABCD=AD,所以BD⊥平面AED.又因为BD⊂平面BED,‎ 所以,平面BED⊥平面AED.‎ ‎(3)因为EF∥AB,所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角.‎ 过点A作AH⊥DE于点H,连接BH.‎ 又平面BED∩平面AED=ED,‎ 由(2)知AH⊥平面BED.‎ 所以,直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.‎ 在△ADE中,AD=1,DE=3,AE=‎6‎,由余弦定理得cos∠ADE=‎2‎‎3‎,所以sin∠ADE=‎5‎‎3‎,因此,AH=AD·sin∠ADE=‎5‎‎3‎.‎ 在Rt△AHB中,sin∠ABH=AHAB=‎5‎‎6‎.‎ 所以,直线EF与平面BED所成角的正弦值为‎5‎‎6‎.‎ 方法总结　证明线面平行常用线线平行或面面平行进行转化;在证明面面垂直时注意线、面垂直之间的相互转化;解决线面角问题的关键是找出斜线在平面内的射影,常用定义法求解.‎ ‎2.(2015天津文,17,13分)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2‎5‎,AA1=‎7‎,BB1=2‎7‎,点E和F分别为BC和A1C的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面A1B1BA;‎ ‎(2)求证:平面AEA1⊥平面BCB1;‎ ‎(3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小.‎ 解析　(1)证明:如图,连接A1B.在△A1BC中,因为E和F分别是BC和A1C的中点,所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA,所以EF∥平面A1B1BA.‎ ‎(2)证明:因为AB=AC,E为BC中点,所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,所以BB1⊥平面ABC,从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1=B,所以AE⊥平面BCB1,又因为AE⊂平面AEA1,所以平面AEA1⊥平面BCB1.‎ ‎(3)取BB1的中点M和B1C的中点N,连接A1M,A1N,NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点,所以NE∥B1B,NE=‎1‎‎2‎B1B,故NE∥A1A且NE=A1A,所以A1N∥AE,且A1N=AE.又因为AE⊥平面BCB1,所以A1N⊥平面BCB1,从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角.‎ 在△ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.‎ 因为BM∥AA1,BM=AA1,‎ 所以A1M∥AB,A1M=AB,‎ 又由AB⊥BB1,有A1M⊥BB1.‎ 在Rt△A1MB1中,可得A1B1=B‎1‎M‎2‎‎+‎A‎1‎M‎2‎=4.‎ 在Rt△A1NB1中,sin∠A1B1N=A‎1‎NA‎1‎B‎1‎=‎1‎‎2‎,‎ 因此∠A1B1N=30°.‎ 所以,直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°.‎ 评析本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.‎ B组　统一命题、省(区、市)卷题组 ‎1.(2017课标Ⅰ文,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(　　)‎ 答案　A　‎ ‎2.(2016课标Ⅱ,14,5分)α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:‎ ‎①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.‎ 其中正确的命题有　　　　.(填写所有正确命题的编号) ‎ 答案　②③④‎ ‎3.(2018课标Ⅲ文,19,12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于C,D的点.‎ ‎(1)证明:平面AMD⊥平面BMC;‎ ‎(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD?说明理由.‎ 解析　本题考查平面与平面垂直的判定与性质、直线与平面平行的判定与性质.‎ ‎(1)证明:由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.‎ 因为M为CD上异于C,D的点,且DC为直径,所以DM⊥CM.‎ 又BC∩CM=C,所以DM⊥平面BMC.‎ 而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.‎ ‎(2)当P为AM的中点时,MC∥平面PBD.‎ 理由如下:如图,连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MC∥OP.‎ MC⊄平面PBD,OP⊂平面PBD,所以MC∥平面PBD.‎ 易错警示　使用面面垂直的判定定理和性质定理进行推理证明时要使条件完备.‎ ‎4.(2018江苏,15,14分)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1⊥B1C1.‎ 求证:(1)AB∥平面A1B1C;‎ ‎(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.‎ 证明　本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查学生的空间想象能力和推理论证能力.‎ ‎(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB∥A1B1.‎ 因为AB⊄平面A1B1C,A1B1⊂平面A1B1C,‎ 所以AB∥平面A1B1C.‎ ‎(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.‎ 又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,‎ 所以AB1⊥A1B.‎ 因为AB1⊥B1C1,BC∥B1C1,‎ 所以AB1⊥BC.‎ 又因为A1B∩BC=B,A1B⊂平面A1BC,BC⊂平面A1BC,‎ 所以AB1⊥平面A1BC,‎ 又因为AB1⊂平面ABB1A1,‎ 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC.‎ ‎5.(2016课标Ⅲ文,19,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.‎ ‎(1)证明:MN∥平面PAB;‎ ‎(2)求四面体N-BCM的体积.‎ 解析　(1)证明:由已知得AM=‎2‎‎3‎AD=2,‎ 取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC的中点知TN∥BC,TN=‎1‎‎2‎BC=2.(3分)‎ 又AD∥BC,故TN