江西省2020届高三10月第一次大联考数学（理）数学试题

江西省2020届高三10月第一次大联考数学（理）数学试题

‎2020届江西省第一次高三大联考试卷理科数学 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过函数的值域以及函数的定义域可得，，，然后对逐个选项判断即可.‎ ‎【详解】∵，，‎ 由此可知，，，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查以函数的值域和定义域为背景，考查了集合间的运算，属于基础题.‎ ‎2.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据集合子集的概念，可确定端点的关系，即可求解.‎ ‎【详解】已知，，且，‎ 所以.故实数的取值范围为，故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，属于容易题.‎ ‎3.下列命题中为真命题的是(　　)‎ A. 命题“若，则”的否命题 B. 命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题 C. 命题“若x＝1，则”的否命题 D. 命题“已知，若，则a＞b”的逆命题、否命题、逆否命题均为真命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据否命题的定义写出A，C的否命题，用特殊法判断其是否为真命题；‎ 根据逆命题的定义写出B中命题的逆命题，判断真假;‎ 根据D命题是假命题可知D的逆否命题为假命题.‎ ‎【详解】A．命题“若x＞1，则x2＞1”的否命题为“若x≤1，则 ”假命题；‎ B．命题“若x＞y，则x＞|y|”的逆命题为“若x＞|y|，则x＞y”真命题．‎ C．命题“若x＝1，则”的否命题为“若x≠1，则”假命题．‎ D．假命题．因为逆命题与否命题都是假命题．‎ ‎【点睛】本题考查命题真假的判断与应用,四种命题的逆否关系，考查基本知识的应用．‎ ‎4.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数的图象与性质，写出对称轴，比较对称轴与4的关系即可求解.‎ ‎【详解】由于二次函数二次项系数为正数，对称轴为直线，‎ 其对称轴左侧的图像是下降的，∴，故，‎ 因此，实数的取值范围是，故选：D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，对称轴与区间端点的关系是解题关键，属于中档题.‎ ‎5.函数的图象可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值排除选项得到答案.‎ ‎【详解】排除BD 排除C 故答案选A ‎【点睛】本题考查了函数图像，用特殊值法排除选项是常用方法，也可以从函数的性质着手得到答案.‎ ‎6.某电动汽车“行车数据”的两次记录如下表：‎ 记录时间 累计里程 ‎（单位：公里）‎ 平均耗电量（单位：公里）‎ 剩余续航里程 ‎（单位：公里）‎ ‎2019年1月1日 ‎4000‎ ‎0.125‎ ‎280‎ ‎2019年1月2日 ‎4100‎ ‎0.126‎ ‎146‎ ‎（注：累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程，累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量，平均耗电量=，剩余续航里程=，下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是 A. 等于12.5 B. 12.5到12.6之间 C. 等于12.6 D. 大于12.6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据累计耗电量的计算公式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，可得，‎ 所以对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是：大于12.6，‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数模型的应用，其中解答中正确理解题意，根据累计耗电量的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎7.三个数，，的大小顺序是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数和对数函数性质，分析3个数与0，1大小即可.‎ ‎【详解】由指数函数和对数函数的图象与性质可知：，，，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎8.对于实数，，若：或，：，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取特殊值，,可知pq，利用逆否命题与原命题等价，可确定qp, 即可得出结论.‎ ‎【详解】取，，满足条件p,此时，即pq，故是的不充分条件，‎ ‎：：或等价于且，易知成立，所以是的必要条件.‎ 故答案选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，逆否命题，属于中档题.‎ ‎9.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导可得，根据函数的单调性可得在上恒成立，等价于，解出即可.‎ ‎【详解】.‎ 因为在上单调递增，所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立，等价于，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数问题，等价转化为恒成立问题是解题的关键，属于中档题.‎ ‎10.已知是定义在上的偶函数，且当时，都有成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，由函数的奇偶性可得，分析可得在上为减函数，据此分析可得答案．‎ ‎【详解】由于当时，都有成立，‎ 故在上减函数，‎ ‎，，而，‎ 所以，即.‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数单调性，属于中档题．‎ ‎11.已知函数值域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段研究，当时,可得，所以只需时，取值为 的子集即可.‎ ‎【详解】当时，，所以；‎ 当时，为递增函数，所以，‎ 因为的值域为，所以，故，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的值域，二次函数、指数函数的单调性，属于中档题.‎ ‎12.不等式解集中有且仅含有两个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，通过导数判断的单调性，结合直线恒过定点，得到两函数的图象，结合题意得不等式组，解出即可.‎ ‎【详解】由题意可知，，‎ 设，.‎ 由.‎ 可知在上为减函数，在上为增函数，‎ 的图象恒过点，在同一坐标系中作出，的图象如下，‎ 若有且只有两个整数，，使得，且，则，‎ 即，解得，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式与函数图象的关系，利用导数判断函数单调性，考查了学生的计算能力，属于中档题．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.函数的单调递减区间是_________‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，然后在定义域内解不等式得减区间．‎ ‎【详解】，由，又得．‎ ‎∴减区间为，答也对．‎ 故答案为或．‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数的单调性，一般由确定增区间，由 确定减区间．‎ ‎14.已知函数，且，则曲线在处的切线方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导，利用求出，根据导数几何意义可求斜率，利用点斜式写出切线方程即可.‎ ‎【详解】∵，∴，解得，即，，则，∴，曲线在点处的切线方程为，即.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.‎ ‎15.以下说法中正确的是______.‎ ‎①函数在区间上单调递减；‎ ‎②函数的图象过定点；‎ ‎③若是函数的零点，且，则；‎ ‎④方程的解是；‎ ‎⑤命题“，”的否定是，.‎ ‎【答案】②④⑤‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①，举出反例和；对于②，将点代入即可得结果；对于③，，中也有可能存在一个为零；对于④，根据指数与对数的运算性质解方程即可；对于⑤，由特称命题的否定为全称命题可得结果.‎ ‎【详解】说法①：函数在、‎ 每个区间上单调递减，但是在整个定义域内不具有单调性，例如：，而，不具有单调递减的性质；‎ 说法②：当时，，所以函数的图象过定点是正确的；‎ 说法③：如果，中也存在一个为零时，就不符合，故本说法不正确；‎ 说法④：，故本说法④正确；‎ 说法⑤：命题“，”的否定是，.故⑤是正确的.‎ 综上，本题的答案为②④⑤.‎ ‎【点睛】本题主要考查了判断命题的真假，函数单调性，函数零点的性质，特称命题的否定，属于中档题.‎ ‎16.已知函数，，则函数的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数进行求导得，令，，根据的符号以及复合函数的单调性得到的单调性，进而可得函数的最值.‎ ‎【详解】因为，，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 令，∵，∴，‎ 令，则，‎ ‎∴令，则，，‎ ‎∴当时，，当时，，‎ ‎∵函数在上单调递增，根据复合函数的单调性可知，函数在区间上递减，在区间上递增，‎ ‎∴当，即，时，‎ ‎，‎ ‎∴函数的最小值为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，准确求导得到函数的单调性是解题的关键，考查了学生的计算能力，属于中档题.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）‎ ‎17.设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）p为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可（2）根据且、或命题的真假，确定，一真一假，结合（1），再化简命题q,即可求出的取值范围.‎ ‎【详解】对于：成立，而，有，‎ ‎∴，∴.‎ ‎：存在，使得不等式成立，只需，‎ 而，∴，∴；‎ ‎（1）若为真，则；‎ ‎（2）若为假命题，为真命题，则，一真一假.‎ 若为假命题，为真命题，则，所以；‎ 若为假命题，为真命题，则，所以.‎ 综上，或.‎ ‎【点睛】本题主要考查了命题的真假，且、或命题，不等式恒成立、存在性问题，属于中档题.‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ ‎（2）设函数，若在上没有零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入解析式，取对数即可求解（2）转化为方程在上无实数解，求的值域即可得到k的范围.‎ ‎【详解】（1）因为，即：，‎ 所以 ‎（2）由题意可知，，‎ 函数在上没有零点等价于方程在上无实数解，‎ 设，则，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴在上取得极小值，也是最小值，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程，利用导数求函数的极值、最值，转化思想，属于中档题.‎ ‎19.设函数（其中），，已知它们在处有相同的切线.‎ ‎（1）求函数，的解析式；‎ ‎（2）若函数在上的最小值为，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）两函数在处有相同的切线可知，，联立求解即可（2）利用导数可求出的唯一极小值，也就是最小值，转化为即可求t范围.‎ ‎【详解】（1），，‎ 由题意，两函数在处有相同的切线，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 当时，则，所以在上单调递增，‎ 当时，则，所以在上单调递减，‎ 而函数，∴，‎ 即.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数求函数单调性、极值，转化的思想，属于中档题.‎ ‎20.已知函数在区间上的最小值为1.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在使得不等式在成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）1；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）二次函数写出对称轴，分，，三种情况讨论即可求出最小值，根据最小值为1，写出（2）分离参数可得，令，换元后求最小值，只需k大于最小值即可.‎ ‎【详解】（1）.‎ 当时，，解得；‎ 当时，，解得不符合题意；‎ 当时，，解得，不符合题意.‎ 综上所述，.‎ ‎（2）因为，‎ 可化为，‎ 令，则.‎ 因，故.故不等式在上有解.‎ 记，，故，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论，分离参数，不等式有解问题，属于中档题.‎ ‎21.已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.‎ ‎（1）求实数，的值；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.‎ ‎（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求解.‎ ‎【详解】（1）的图象经过点,‎ ‎①,‎ 因为，则,‎ 由条件，即②，‎ 由①②解得.‎ ‎（2），‎ 令得或，‎ 函数在区间上单调递增，‎ ‎,‎ 或，‎ 或 ‎【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数，求证：当时，在上恒有成立.‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，对函数求导可得，解不等式得单调性；（2）对函数求导可得，求出的最小值为，将与相结合可证得不等式.‎ ‎【详解】（1）函数的定义域为，‎ 当时，，，‎ 令，即，解得，‎ 令，即，解得，‎ ‎∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为；‎ ‎（2），‎ ‎，‎ 由得，，‎ 当时，，当时，，‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ ‎∵时，，∴，‎ 即.‎ ‎∴成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，利用导数解决恒成立问题，解决第二问的难点在于得到在给出的范围内得到，属于难题.‎ ‎ ‎