【数学】2020届一轮复习人教B版距离的计算作业

【数学】2020届一轮复习人教B版距离的计算作业

‎2020届一轮复习人教B版 距离的计算 作业 ‎1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎‎2‎ 解析:∵n=(1,0,-1)与直线l垂直,‎ ‎∴n的单位向量n0=‎2‎‎2‎‎,0,-‎‎2‎‎2‎.‎ 又∵l经过点A(2,3,1),‎ ‎∴AP=(2,0,1),‎ ‎∴AP在n上的投影AP·n0=(2,0,1)·‎2‎‎2‎‎,0,-‎‎2‎‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎.∴点P到l的距离为‎2‎‎2‎.‎ 答案:B ‎2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为(　　)‎ A.10 B.3 C.‎8‎‎3‎ D.‎‎10‎‎3‎ 解析:∵α的一个法向量为n=(-2,-2,1),‎ ‎∴n0=‎-‎2‎‎3‎,-‎2‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎.‎ 又点A(-1,3,0)在α内,∴AP=(-1,-2,4),‎ ‎∴点P到平面α的距离为|AP·n0|=‎(-1,-2,4)·‎‎-‎2‎‎3‎,-‎2‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎‎=‎‎10‎‎3‎.‎ 答案:D ‎3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为(　　)‎ A.‎6‎‎2‎a B.a C.‎2‎a D.‎‎2‎ 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).‎ ‎∴A‎1‎B=(0,a,-a),BC‎1‎=(-a,0,a).‎ ‎∴|A‎1‎B|=‎2‎a,|BC‎1‎|=‎2‎a.‎ ‎∴点A1到BC1的距离 d=‎|A‎1‎B‎|‎‎2‎-‎A‎1‎B‎·‎BC‎1‎‎2‎a‎2‎‎=‎2a‎2‎-‎‎1‎‎2‎a‎2‎=‎‎6‎‎2‎a.‎ 答案:A ‎4.‎ 导学号90074046如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎3‎‎2‎ 解析:如图,‎ 建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M‎1,1,‎‎1‎‎2‎,N‎1‎‎2‎‎,1,1‎,C(0,1,0).‎ 所以AD‎1‎=(-1,0,1),MN‎=‎‎-‎1‎‎2‎,0,‎‎1‎‎2‎.‎ 所以MN‎=‎‎1‎‎2‎AD‎1‎.又直线AD1与MN不重合,‎ 所以MN∥AD1.又MN⊈平面ACD1,‎ 所以MN∥平面ACD1.‎ 因为AD‎1‎=(-1,0,1),D‎1‎C=(0,1,-1),‎ 设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),‎ 则n·AD‎1‎=0,‎n·D‎1‎C=0,‎所以‎-x+z=0,‎y-z=0.‎ 所以x=y=z.令x=1,则n=(1,1,1).‎ 又因为AM‎=‎‎1,1,‎‎1‎‎2‎-(1,0,0)=‎0,1,‎‎1‎‎2‎,所以点M到平面ACD1的距离d=AM‎·n‎|n|‎‎=‎3‎‎2‎‎3‎=‎‎3‎‎2‎.‎ 故直线MN与平面ACD1间的距离为‎3‎‎2‎.‎ 答案:D ‎5.‎ 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,BC=3,AA'=4,则点B到直线A'C的距离为　　　　. ‎ 解析:∵AB=2,BC=3,AA'=4,则B(2,0,0),C(2,3,0),A'(0,0,4),‎ ‎∴CA'‎=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4),‎ ‎∴CB=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0),‎ ‎∴CB在CA'‎上的投影为 CB‎·‎CA'‎‎|CA'‎|‎‎=‎‎(0,-3,0)·(-2,-3,4)‎‎(-2‎)‎‎2‎+(-3‎)‎‎2‎+‎‎4‎‎2‎ ‎=‎9‎‎29‎‎=‎‎9‎‎29‎‎29‎.‎ ‎∴点B到直线A'C的距离 d=‎‎|CB‎|‎‎2‎-‎CB‎·‎CA'‎‎|‎CA'‎‎|‎‎　‎‎2‎‎　‎ ‎=‎3‎‎2‎‎-‎‎9‎‎29‎‎2‎‎=‎‎6‎‎145‎‎29‎.‎ 答案:‎‎6‎‎145‎‎29‎ ‎6.‎ ‎ 如图,已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为　　　　. ‎ 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),∴NS=(0,-2,2),SD=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1).‎ ‎∴n·NS=0,n·SD=0,‎ ‎∴‎‎-2y+2=0,‎‎-x+4y-2=0,‎‎∴‎x=2,‎y=1.‎ ‎∴n=(2,1,1).∵AS=(0,0,2),‎ ‎∴点A到平面SND的距离为‎|n·AS|‎‎|n|‎‎=‎2‎‎6‎=‎‎6‎‎3‎.‎ 答案:‎‎6‎‎3‎ ‎7.‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=‎3‎,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.‎ 解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有 A(0,0,0),C(‎3‎,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E‎0,‎1‎‎2‎,1‎.‎ 所以AC=(‎3‎,1,0),AP=(0,0,2).‎ 因为点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0,z),则NE‎=‎‎-x,‎1‎‎2‎,1-z.‎ 由NE⊥平面PAC,可得NE‎·AP=0,‎NE‎·AC=0,‎ 即‎-x,‎1‎‎2‎,1-z‎·(0,0,2)=0,‎‎-x,‎1‎‎2‎,1-z‎·(‎3‎,1,0)=0.‎ 化简,得z-1=0,‎‎-‎3‎x+‎1‎‎2‎=0.‎所以x=‎3‎‎6‎,‎z=1,‎ 即点N的坐标为‎3‎‎6‎‎,0,1‎,从而点N到AB和AP的距离分别为1,‎3‎‎6‎.‎ ‎8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.‎ 解 ‎(方法一)如图,连接A1B,交AB1于点M,连接DM,则DM⊥平面AA1B1B,所以A1B⊥DM.又A‎1‎B‎·‎AB‎1‎=(AB‎-‎AA‎1‎)·(AB‎+‎AA‎1‎)=|AB|2-|AA‎1‎|2=0,‎ ‎∴A1B⊥AB1.‎ ‎∴A1B⊥平面AB1D.‎ 即A‎1‎B是平面AB1D的一个法向量.‎ 故点C到平面AB1D的距离 d=‎‎|AC·A‎1‎B|‎‎|‎A‎1‎B‎|‎‎　‎‎=‎‎|AC·(A‎1‎A+AB)|‎‎2‎a ‎=‎|AC·AB|‎‎2‎a‎=‎1‎‎2‎a‎2‎‎2‎a=‎‎2‎‎4‎a.‎ ‎(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A‎3‎‎2‎a‎,‎a‎2‎‎,0‎,A1‎3‎‎2‎a,a‎2‎,a,B1(0,0,a),D‎0,a,‎a‎2‎,C(0,a,0).‎ 可知AB‎1‎‎=‎-‎3‎‎2‎a,-a‎2‎,a,AC=‎-‎3‎‎2‎a,a‎2‎,0‎,A‎1‎B=‎‎-‎3‎‎2‎a,-a‎2‎,-a.‎ 取AB1的中点M,则M‎3‎‎4‎a,a‎4‎,‎a‎2‎.‎ ‎∴DM‎=‎‎3‎‎4‎a,-‎3‎‎4‎a,0‎,‎ ‎∴DM‎·A‎1‎B=‎‎3‎‎4‎a×‎-‎3‎‎2‎a‎+‎-‎3‎‎4‎a×‎‎-‎a‎2‎+0×(-a)=0.‎ ‎∴DM⊥A1B.又A‎1‎B‎·AB‎1‎=‎-‎3‎‎2‎a,-a‎2‎,-a·‎-‎3‎‎2‎a,-a‎2‎,a=‎‎3‎‎4‎a2+a‎2‎‎4‎-a2=0,‎ ‎∴A1B⊥AB1.‎ ‎∴A1B⊥平面AB1D.‎ 即A‎1‎B是平面AB1D的一个法向量,‎ 故点C到平面AB1D的距离d=‎‎|AC·A‎1‎B|‎‎|A‎1‎B|‎ ‎=‎-‎3‎‎2‎a,a‎2‎,0‎‎·‎‎-‎3‎‎2‎a,-a‎2‎,-a‎2‎a‎=‎‎2‎‎4‎a.‎ B组 ‎1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足AP‎=‎3‎‎4‎AB+‎1‎‎2‎AD+‎‎2‎‎3‎AE,则点P到AB的距离为(　　)‎ A.‎5‎‎6‎ B.‎181‎‎12‎ C.‎10‎‎30‎‎6‎ D.‎‎5‎‎6‎ 解析:‎ ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,则AP‎=‎‎3‎‎4‎(1,0,0)+‎1‎‎2‎(0,1,0)+‎2‎‎3‎(0,0,1)=‎3‎‎4‎‎,‎1‎‎2‎,‎‎2‎‎3‎.又AB=(1,0,0),∴AP在AB上的投影为AP‎·‎AB‎|AB|‎‎=‎‎3‎‎4‎,∴点P到AB的距离为‎|AP‎|‎‎2‎-‎AP‎·‎AB‎|AB|‎‎2‎AB‎=‎‎5‎‎6‎.‎ 答案:A ‎2.‎ 如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎‎2‎‎3‎‎3‎ C.‎3‎ D.2‎‎3‎ 解析:‎ ‎ 取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则n·AE=0,‎n·AC=0,‎即x+y=0,‎‎2y+2z=0,‎令y=1,则x=-1,z=-1,∴n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d=AD‎·n‎|n|‎‎=‎-2‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎.‎ 答案:B ‎3.‎ 如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2‎3‎,则点A到平面MBC的距离为　　　　　. ‎ 解析:取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.‎ 又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.‎ 以O为原点,建立空间直角坐标系如图,‎ 由题意得OB=OM=‎3‎,AB=2‎3‎,‎ 所以C(1,0,0),M(0,0,‎3‎),B(0,-‎3‎,0),A(0,-‎3‎,2‎3‎).‎ 设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,‎ 则BC=(1,‎3‎,0),BM=(0,‎3‎‎,‎‎3‎),‎ 由n·BC=0,‎n·BM=0,‎得x+‎3‎y=0,‎‎3‎y+‎3‎z=0.‎取n=(‎3‎,-1,1).‎ 又BA=(0,0,2‎3‎),则点A到平面MBC的距离d=‎|BA·n|‎‎|n|‎‎=‎2‎‎3‎‎5‎=‎‎2‎‎15‎‎5‎.‎ 答案:‎‎2‎‎15‎‎5‎ ‎4.‎ 如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为　　　　. ‎ 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A1(1,0,0),B1(1,1,0),E‎1‎‎2‎‎,0,1‎,F‎1,‎1‎‎2‎,1‎,D1(0,0,0),M‎0,‎1‎‎2‎,1‎,N‎1‎‎2‎‎,1,1‎.‎ ‎∵E,F,M,N分别是所在棱的中点,∴MN∥EF,A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.‎ ‎∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离.‎ 设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z),‎ ‎∵D‎1‎B‎1‎=(1,1,0),B‎1‎N‎=‎‎-‎1‎‎2‎,0,1‎,‎ ‎∴n·D‎1‎B‎1‎=0,且n·B‎1‎N=0.‎ 即(x,y,z)·(1,1,0)=0,且(x,y,z)·‎-‎1‎‎2‎,0,1‎=0.∴x+y=0,且-‎1‎‎2‎x+z=0,‎ 令x=2,则y=-2,z=1.‎ ‎∴n=(2,-2,1),n0=‎2‎‎3‎‎,-‎2‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎.‎ ‎∵A‎1‎B‎1‎=(0,1,0),‎ ‎∴A1到平面B1NMD1的距离为d=|A‎1‎B‎1‎·n0|=‎(0,1,0)·‎‎2‎‎3‎‎,-‎2‎‎3‎,‎‎1‎‎3‎‎=‎‎2‎‎3‎.‎ 答案:‎‎2‎‎3‎ ‎5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.‎ ‎(1)求证:B1C∥平面A1BD;‎ ‎(2)求点B1到平面A1BD的距离.‎ ‎(1)证明连接AB1交A1B于E,连接DE.‎ DE∥B‎1‎CDE⫋平面A‎1‎BDB‎1‎C⊈平面A‎1‎BD‎⇒B1C∥平面A1BD.‎ ‎(2)解建立如图所示的坐标系,‎ 则B1(0,2‎2‎,3),B(0,2‎2‎,0),A1(-1,0,3),‎ 所以DB‎1‎=(0,2‎2‎,3),DB=(0,2‎2‎,0),DA‎1‎=(-1,0,3).‎ 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),‎ 所以n·DB=0,‎n·DA‎1‎=0,‎ 即‎2‎2‎y=0,‎‎-x+3z=0,‎取n=(3,0,1).‎ 所以所求距离为d=‎|n·DB‎1‎|‎‎|n|‎‎=‎‎3‎‎10‎‎10‎.‎ ‎6.‎ 导学号90074047如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为‎4‎‎5‎?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.‎ 解由题意知PA,AD,AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,‎ 则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).‎ 假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.‎ 令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m.‎ ‎∴点Q的坐标为(2-m,2,0),∴EQ=(2-m,2,-1).‎ 而EF=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),‎ 则n·EF=0,‎n·EQ=0,‎‎∴‎y=0,‎‎(2-m)x+2y-z=0,‎ 令x=1,则n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.‎ 又AE=(0,0,1),‎ ‎∴点A到平面EFQ的距离d=‎|AE·n|‎‎|n|‎‎=‎|2-m|‎‎1+(2-m‎)‎‎2‎=‎‎4‎‎5‎,即(2-m)2=‎16‎‎9‎,‎ ‎∴m=‎2‎‎3‎或‎10‎‎3‎,‎‎10‎‎3‎>2,不合题意,舍去.‎ 故存在点Q,且CQ=‎2‎‎3‎时,点A到平面EFQ的距离为‎4‎‎5‎.‎