2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．函数在区间上的平均变化率为（ ）‎ A．-1 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用平均变化率公式进行求值.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以在区间上的平均变化率为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数的平均变化率，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎2．“”是“”成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】解对数不等式，再利用集合间的包含关系进行判断.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 集合为集合的真子集，‎ 所以推出，反之不成立，‎ 所以“”是“”成立的必要不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查充分条件与必要条件的判断、对数不等式求解，考查运算求解能力，求解时注意将问题转化成集合间的基本关系，属于基础题.‎ ‎3．双曲线：的离心率是（ ）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线：化为标准方程是，则，，根据离心率公式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 双曲线：化为标准方程是，其离心率是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率，双曲线方程标准化，是解决本题的关键，属于较易题.‎ ‎4．函数的单调增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为 令，解得 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.‎ ‎5．设等差数列的前项和为，且，则（ ）‎ A．45 B．54 C．63 D．72‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等差数列的公差为，利用等差数列通项公式求得，再代入等差数列前项和公式求出.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为，‎ 由，得 所以，所以.‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列通项公式、前项和公式，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6．已知，满足，则的最大值为（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域如图：‎ 由可得：，‎ 平移直线经过点A时，有最大值，‎ 由解得，‎ 平移直线经过点A时，有最大值，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的线性规划，属于中档题.‎ ‎7．设，函数为奇函数，曲线的一条切线的切点的纵坐标是0，则该切线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据奇函数的定义先求得的值，再利用导数的几何意义求得切线方程.‎ ‎【详解】‎ 因为函数是奇函数，所以对一切恒成立，‎ 所以对一切恒成立，‎ 所以对一切恒成立，‎ 所以，解得，所以，所以.‎ 因为曲线的一条切线的切点的纵坐标是0，‎ 所以令，解得.‎ 所以曲线的这条切线的切点的坐标为，‎ 切线的斜率为.‎ 故曲线的这条切线方程为，即.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性、导数的几何意义，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意涉及切线问题时，要先明确切点坐标.‎ ‎8．若函数，则当时，的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】对函数求导得，解不等式求得函数的单调区间，从而求得的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当时，，是增函数，‎ 当时，，是减函数，‎ ‎∴最大值为.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数在闭区间的最值，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意先判断函数的单调性，再求最值.‎ ‎9．已知，，，若不等式对已知的，及任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用基本不等式求得的最小值，再利用参变分离将问题转化为恒成立问题，从而求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 当且仅当时等号成立，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式求最值、一元二次函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用.‎ ‎10．公差不为0的等差数列的部分项，，，…构成公比为4的等比数列，且，，则（ ）‎ A．4 B．6 C．8 D．22‎ ‎【答案】B ‎【解析】设等差数列的公差为，利用，，构成公比为4的等比数列，都用表示，再利用等差数列的通项公式得到，从而得到等量关系，并求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的公差为.‎ 因为等比数列的公比为4，且，，‎ 所以，，构成公比为4的等比数列.‎ 所以，所以，得.‎ 所以，‎ 所以，即，解得.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列中基本量法运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意子数列为等比数列的运用.‎ ‎11．椭圆的左焦点为,直线与椭圆相交于点,当的周长最大时,的面积是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先确定周长最大时的取值，再求解三角形的面积.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆右焦点为，的周长为，则.‎ 因为，所以;‎ 此时，故的面积是故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用椭圆的定义求解最值问题.利用定义式实现两个焦半径之间的相互转化是求解关键.‎ ‎12．已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，且满足，从点引抛物线准线的垂线，垂足为，则的内切圆的周长为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】不妨设点在第一象限，则，，求出，，再利用三角形等面积法，求得内切圆的半径，进而求得答案.‎ ‎【详解】‎ 如图，不妨设点在第一象限，则，，‎ ‎，所以，此时，‎ 所以.从而的面积为.‎ 易知点，，所以.‎ 设的内切圆的半径为，内心为点，‎ 则由，得，解得.‎ 所以的内切圆的周长为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的焦半径、三角形的内切圆，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意利用等积法求内切圆的半径.‎ 二、填空题 ‎13．质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为______（单位：）.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以质点在时的瞬时速度为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数在物理中的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意导数与瞬时速度的关系.‎ ‎14．______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】利用微积分基本定理直接运算求值.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查定积分的运算求值，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15．已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，直线：与抛物线交于，两点，点在第一象限，若，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，利用焦半径的公式代入，并与抛物线方程联立，求得点的坐标，再代入斜率公式求得的值.‎ ‎【详解】‎ 设，，直线过抛物线的焦点，‎ ‎∵，，所以，，‎ ‎∴，‎ 由，得，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的焦半径、直线与抛物线的位置关系、斜率公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意焦半径公式的运用.‎ ‎16．已知函数，令，若函数有四个零点，则实数的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】可作出的图像，将问题转化为函数与直线的交点问题，观察图像可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ 可理解为函数与直线的交点问题（如图）‎ 令，有，设切点的坐标为，‎ 则过点的切线方程为，‎ 将点坐标代入可得：，‎ 整理为：，‎ 解得：或，得或，‎ 故，而，两点之间的斜率为，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查零点及交点问题，过点的切线问题，意在考查学生的划归能力，‎ 分析能力，逻辑推理能力，计算能力，难度较大.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的值域.‎ ‎【答案】（1）的增区间为，减区间为，；（2）.‎ ‎【解析】（1）对函数求导得，再解导数不等式求得函数的单调区间；‎ ‎（2）由（1）得函数在递减，在递增，在递减，比较，，的大小及时，函数值大于0，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，‎ 当时，解得，当，解得或，‎ 故函数的增区间为，减区间为，.‎ ‎（2）由，，，‎ 又由，‎ 由，，可得 ‎ [或利用，，可得]‎ 又由当时，，‎ 故函数在区间上的值域为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调区间、求函数的值域，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意函数将函数的极值与区间端点函数值的大小进行比较，同时注意函数值的正负.‎ ‎18．如图，在三棱锥中，平面平面，、均为等边三角形，为的中点，点在上.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）若点是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）证明平面，再利用面面垂直的判定定理，即可证明结论；‎ ‎（2）以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，设，求出向量和面的一个法向量，再求两向量夹角的余弦值，从而求得答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为、均为等边三角形，为的中点，‎ 所以，.‎ 又，所以平面，即平面.‎ 又平面，所以平面平面；‎ ‎（2）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面.‎ 又平面，所以，所以，，两两互相垂直.‎ 故以，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如下图所示：‎ 不妨设，则，.‎ 则点，，，，，.‎ 则，，，‎ 设平面的法向量为，则，‎ 取，，，则，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 则直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面垂直、面面垂直的证明、线面角的向量法求解，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意建系前要证明三条直线两两互相垂直.‎ ‎19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】【试题分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，结合抛物线的定义可求得，抛物线方程为.（2）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，代入，化简可求得，即求得直线方程.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由点在抛物线上，有，解得，‎ 由抛物线定义有：，解：，‎ 故抛物线的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为：，联立方程，消去得：，‎ 故有：，，，‎ ‎ ，‎ 则，故，解得：，‎ 所求直线的方程为：或．‎ ‎20．已知函数的一个极值点为2.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）求证：函数有两个零点.‎ ‎【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）先求定义域为，再求导数为，由题意可知，解得，则，确定导数的正负，求解即可.‎ ‎（2）由（1）可知的单调性，分别确定、、的正负，从而判断零点个数，即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：定义域为 ‎∵2是的极值点 ‎∴ ∴‎ ‎∴.‎ ‎∴时，；时，‎ ‎∴的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎∴有极小值为，没有极大值.‎ ‎（2）证明：由（1）知的单调减区间为，单调增区间为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴有1个零点在区间内，有1个零点在区间内，‎ ‎∴只有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，以及利用导数求函数的零点问题，属于较难的题.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，四个点，，，中有3个点在椭圆：上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，，证明：存在常数使得，并求出的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，.‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的对称性可知，关于轴对称的，在椭圆上.分类讨论，当在椭圆上时，当在椭圆上时，分别求解，根据确定，即可.‎ ‎（2）设，，由题意可知，，设直线的方程为，与椭圆联立，变形整理得，确定，，从而，直线的方程为，分别令、确定点与点的坐标，求直线，的斜率分别为，，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，关于轴对称.‎ ‎∴这2个点在椭圆上，即①‎ 当在椭圆上时，②‎ 由①②解得，.‎ 当在椭圆上时，③‎ 由①③解得，.‎ 又 ‎∴，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，则.‎ 因为直线的斜率，又.‎ 所以直线的斜率.‎ 设直线的方程为，由题意知，.‎ 由可得，‎ 所以，.‎ 由题意知，所以，所以直线的方程为，令，得，即，可得，‎ 令，得，即，可得，‎ 所以，即，因此，存在常数使得结论成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于较难的题.‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）若曲线与在点处有相同的切线，求函数的极值；‎ ‎（2）若时，不等式在（为自然对数的底数，）上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的极大值，极小值为；（2）.‎ ‎【解析】（1）利用导数的几何意义求得，再对函数求导，解导数不等式求得单调区间，从而求得函数的极值；‎ ‎（2）设，定义域为，要使在上恒成立，只需在上恒成立；对分5种情况讨论，研究函数的最小值，从而求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），，，，‎ 由题意知，∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴或时，，时，，‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴的极大值，极小值为.‎ ‎（2）设，定义域为，‎ 要使在上恒成立，只需在上恒成立，‎ 因为，‎ 由于，所以由，即，可得或，‎ ‎①当，即，易知，令，‎ 解得.不满足条件；‎ ‎②当，即时，则必须，由①知，不满足条件；‎ ‎③当，即时，则必须，解得.不满足条件.‎ ‎④当，即时，则必须，‎ 由，解得，‎ 设，则，‎ 可知在区间上单调递增，所以，所以不满足条件；‎ ‎⑤当，即时，则必须，解得，而，‎ 所以.‎ 综上所述的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数几何意义、利用导数研究函数的性质、研究不等式恒成立求参数值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论要做到不重不漏.‎