吉林省实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

吉林省实验中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题

吉林省实验中学2019-2020学年度上学期高二年级 期中考试数学（理）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将方程化成标准形式，即x2=y，求出p=，即可得到焦点坐标．‎ ‎【详解】抛物线y=2x2的方程即x2=y，∴p=，故焦点坐标为（0，），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线标准方程，以及简单性质的应用，把抛物线y=2x2的方程化为标准形式，是解题的突破口．‎ ‎2.如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则（ ）．‎ A. 命题“或”是假命题 B. 命题“或”是假命题 C. 命题“且”是真命题 D. 命题“且”是真命题 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎“”也是假命题，则q是真命题，“且”是假命题，得出p是假命题，故 为真命题，命题“且”是真命题。‎ ‎3.命题“对任意，都有”的否定为（ ）‎ A. 对任意，都有 B. 不存在，都有 C. 存在，使得 D. 存在，使得 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 全称命题的否定是特称命题，并将结论加以否定，的否定为 ‎，所以命题的否定为：存在，使得，选D.‎ ‎4.在中， “”是“”的 （ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判定充分性，然后判定必要性 ‎【详解】在中，，三角形中大边对大角，则 由正弦定理可得，，‎ ‎，‎ ‎，充分性成立 ‎，‎ 由正弦定理可得，‎ ‎，则 三角形中大边对大角，‎ 则，必要性也成立 故选 ‎【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的成立，在三角形中运用正弦定理进行求解，注意在三角形内角的取值范围。‎ ‎5.设双曲线 (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A. y＝±x B. y＝±2x C. y＝±x D. y＝±x ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意知2b=2,2c=2,‎ ‎∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,a=,‎ ‎∴渐近线方程为y=±x=±x=±x.故选C.‎ ‎6.命题：“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的集合叫做椭圆”；命题：“平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的集合叫做双曲线”.下列命题中正确的是（ ）‎ A. 命题P B. 命题 C. 命题 D. 命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 命题错误，椭圆定义中，常数必须大于两个定点的距离；‎ 命题错误，双曲线的定义中，常数必须小于两个定点的距离；‎ ‎∴命题为真命题，‎ 故选：B ‎7.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.‎ ‎8.如图，是重心，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：利用平面向量的基本定理，把向量，用表示出来，从而求出系数即可. ‎ 详解：因为，‎ 则 ‎，故选D. ‎ 点睛：本题考查了空间向量的基本定理，及向量的线性运算，试题属于基础题，熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. ‎ ‎9.过椭圆的左顶点A的斜率为的直线交椭圆C 于另一点B，且点B在轴上的射影恰好为右焦点F，若椭圆的离心率为，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件用c求B坐标，根据斜率公式得结果 ‎【详解】因为B在轴上的射影恰好为右焦点F，所以 因为椭圆的离心率为，所以 因此，选C.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆交点以及斜率公式，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎10.已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线相交于点，与其准线相交于点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k＝-2．过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|．Rt△MPN中，根据tan∠NMP＝﹣k＝2，从而得到|PN|＝2|PM|，进而算出|MN||PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．‎ ‎【详解】∵抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），点A坐标为（0，2），‎ ‎∴抛物线的准线方程为l：x＝﹣1，直线AF的斜率为k＝﹣2，‎ 过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得|FM|＝|PM|，‎ ‎∵Rt△MPN中，tan∠NMP＝﹣k＝2，‎ ‎∴2，可得|PN|＝2|PM|，‎ 得|MN||PM|，‎ 因此可得|FM|：|MN|＝|PM|：|MN|＝1：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值，着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．‎ ‎11.已知双曲线的左、右焦点分别为点，，抛物线与双曲线在第一象限内相交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据准线方程和抛物线定义可知四边形为平行四边形，从而可知为半通径，从而可构造出关于的齐次方程，解方程求得离心率.‎ ‎【详解】由可得准线方程为：（过点）‎ 设到准线的距离为，则 又，‎ 四边形为平行四边形 轴 又，则，即：‎ 解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够构造出关于的齐次方程，从而建立起关于离心率的方程.‎ ‎12.已知是两个定点，点是以和为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且，记和分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线的实轴长为，不妨令 在双曲线的右支上 由双曲线的定义   ① 由椭圆的定义   ② 又 故  ③‎ ‎ 得 ④ 将④代入③得 即 ‎ 即 ‎ 故选D ‎【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，凑出两曲线离心率所满足的方程．‎ 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.椭圆的离心率是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用标准方程，求出a，b，然后求解c，即可求解离心率．‎ ‎【详解】椭圆的长半轴为a＝3，短半轴为b＝2，则半焦距为c．‎ 所以椭圆的离心率为：e．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．‎ ‎14.若正四棱柱的底面边长为2，高为4，则异面直线与 所成角的余弦值是_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BD1与AD所成角的余弦值．‎ ‎【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ ‎∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，‎ ‎∴B（2，2，0），D1（0，0，4），A（2，0，0），D（0，0，0），‎ ‎（﹣2，﹣2，4），（﹣2，0，0），‎ 设异面直线BD1与AD所成角为θ，‎ 则cosθ．‎ ‎∴异面直线BD1与AD所成角的余弦值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是基础题．‎ ‎15.如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值．‎ ‎【详解】设A，B在准线上的射影分别为A′，B′，则|BC|＝4|BB′|，且 由于|BC|＝4|BB′|，故|AC|＝4|AA′|＝24，从而即 ‎ 故，即p＝ ，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．‎ ‎16.已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点. 设到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出图形，利用已知条件，结合梯形中位线性质得b＝3，再利用a,b,c关系列出方程组转化求解即可．‎ ‎【详解】由题意可得图象如图，CD是双曲线的一条渐近线 y，即bx﹣ay＝0，F（c，0），‎ AC⊥CD，BD⊥CD，FE⊥CD，ACDB是梯形，‎ F是AB的中点，EF3，‎ EFb，‎ 所以b＝3，双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，可得，‎ 可得：，解得a．‎ 则双曲线的方程为：1．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，注意梯形中位线的应用，考查计算能力．‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.已知直线：与椭圆相离，求椭圆上的点到直线的距离的最大值和最小值．‎ ‎【答案】最大值，最小值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设与直线：平行的直线为，利用直线与椭圆相切求得最大最小值 ‎【详解】设与直线：平行的直线为，‎ 联立 消得，令 则 和和椭圆相切 ‎，‎ 故最大值为，最小值为 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查转化化归能力，找到相切时为取得最值处是关键，是中档题 ‎18.已知点的坐标是，过点的直线与轴交于，过点且与直线垂直的直线交轴与点，设点为的中点，求点的轨迹方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点，可得|OM|＝|CM|，利用两点间的距离公式即可得出．‎ ‎【详解】在直角三角形和直角三角形中，是中点，‎ 设则,‎ 化简得，故点的轨迹方程为 ‎【点睛】本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题．‎ ‎19.已知抛物线的准线方程为，为抛物线的焦点．‎ ‎（I）求抛物线的方程；‎ ‎（II）若P是抛物线C上一点，点A的坐标为（,2），求的最小值．‎ ‎【答案】(I) (II)4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）运用抛物线的准线方程，可得p＝1，进而得到抛物线方程；‎ ‎（Ⅱ）过A作AB⊥准线l，垂足为B，运用抛物线的定义和三点共线取得最值，即可得到所求最小值；‎ ‎【详解】(I)∵准线方程x=-,得=1，‎ ‎∴抛物线C的方程为 ‎(II)过点P作准线的垂线，垂足为B，则=‎ 要使+的最小，则P，A，B三点共线 此时+=+=4·‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线取得最小值，以及直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面,，,是中点.‎ ‎（I）求直线与平面所成的角的正弦值；‎ ‎（II）求点到平面的距离．‎ ‎【答案】(I) (II) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量数量积运算公式，求解．‎ ‎（II）利用点面距离的向量公式求P到平面的距离．‎ ‎【详解】因为两两互相垂直，如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 则，，， ，，；‎ 设平面的一个法向量，由可得：，‎ 令，则.‎ ‎(I)设所求角为，又 ，则，‎ ‎(II)设点到平面距离为， 则.‎ ‎【点睛】本题考查利用向量法求空间角、空间距离问题．利用向量求直线与平面所成的角及点到平面的距离关键是求得平面的法向量．‎ ‎21.已知三棱柱，底面三角形为正三角形，侧棱底面，，为的中点，为中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求平面和平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）详见解析; （2）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：先利用题中的垂直关系建立合适的空间直角坐标系，写出相关点的坐标；（1）求出直线的方向向量和平面的法向量，利用两者垂直进行证明；（2）利用两个半平面的法向量的夹角进行求解.‎ 试题解析：取中点为，连接，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，， ‎ ‎（1）则，，‎ 设平面的法向量为，则，即,令，则，即，所以，故直线平面． ‎ ‎（2）设平面的法向量，则． ‎ ‎22.已知，分别是椭圆：的左，右焦点，点在椭圆上，且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点。‎ ‎（1）求,的值：‎ ‎（2）过点作不与轴重合的直线，设与圆相交于A，B两点，且与椭圆相交于C，D两点，当时，求△的面积。‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知根据抛物线和椭圆的定义和性质，可求出，；‎ ‎（2）设直线方程为，联立直线与圆的方程可以求出，再联立直线和椭圆的方程化简，由根与系数的关系得到结论，继而求出面积．‎ ‎【详解】（1）焦点为F（1，0），则F1（1，0），F2（1，0），‎ ‎，解得，＝1，＝1，‎ ‎（Ⅱ）由已知，可设直线方程为，，‎ 联立得，易知△＞0，则 ‎＝＝‎ ‎＝‎ 因为，所以＝1，解得 联立 ，得，△＝8＞0‎ 设，则 ‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线和椭圆的定义与性质应用，同时考查利用根与系数的关系，解决直线与圆，直线与椭圆的位置关系问题。 意在考查学生的数学运算能力。‎ ‎ ‎