2008年北京市海淀区中考数学一模试卷

2008年北京市海淀区中考数学一模试卷

‎ 2008年北京市海淀区中考数学一模试卷 一、选择题(本题共32分，每小题4分)‎ 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．‎ ‎1．一个数的相反数是－8，则这个数是( )‎ A．8 B．－‎8 ‎C． D．‎ ‎2．已知一元二次方程x2－x＋3＝0，则这个方程根的情况为( )‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 ‎3．已知：如图，圆心角∠BOC＝100°．则圆周角∠BAC的度数为( )‎ A．130° B．100° C．80° D．50°‎ 第3题图 ‎4．从申奥成功的2001年开始到2007年，北京全年空气质量达到二级和好于二级的天数分别为(单位：天)185，203，224，229，227，241，246，则北京这几年全年空气质量达到二级和好于二级的天数的平均值(取整数)约为( )天 A．225 B．‎222 ‎C．213 D．198‎ ‎5．当分式的值为零时，x的值是( )‎ A．x＝3 B．x≠‎3 ‎C．x＝5 D．x≠5‎ ‎6．在下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )‎ A．圆 B．等腰三角形 C．梯形 D．平行四边形 ‎7．把代数式x3－8x2＋16x分解因式，下列分解结果正确的是( )‎ A．x(x＋4)2 B．x(x－4)2‎ C．x2－4x(2x－4) D．x2(x－8)＋16x ‎8．图①是一个水平摆放的小正方体木块，图②③是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第7个叠放的图形，此时第7个叠放的图形中小正方体木块总数应是( )‎ 第8题图 A．25 B．‎66 ‎C．91 D．120‎ 二、填空题(本题共．16分，每小题4分)‎ ‎9．中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由国家大剧院主体建筑及南北两侧的水下长廊、地下停车场、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约35500平方米．将数据35500用科学记数法表示应为________．‎ ‎10．函数中，自变量x的取值范围是________．‎ ‎11．一个口袋中放有3个红球和6个黄球，这两种球除颜色外没有任何区别．随机地从口袋中任取出一个球，取到黄球的概率是________．‎ ‎12．如图，把一个等边三角形的顶点放置在正六边形的中心O点，请你借助这个等边三角形的角，以角为工具等分正六边形的面积，等分的情况分别为________等分．‎ 第12题图 三、解答题(共13个小题，共72分)‎ ‎13．(5分)计算．‎ ‎14．(5分)先化简，再求值．‎ ‎，其中x＝3．‎ ‎15．(5分)用求根公式解方程x2－6x＋5＝0．‎ ‎16．(5分)求解不等式组并在所给的数轴上表示出它的解集．‎ 第16题图 ‎17．(5分)已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连结CE、AF．‎ 求证：AF＝CE．‎ 第17题图 ‎18．(5分)已知：Rt△ABC在4×6的方格图中的位置如图，设每个小正方形的边长为一个长度单位，请你先把△ABC以直角顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转90°后，再沿水平方向向右平行移动三个单位长度(保留图形移动的结果)，写出点C移动的路径总长(用小正方形的长度单位表示)．‎ 第18题图 ‎19．(5分)如图，在相对的两座楼中间有一堵院墙，甲、乙两个人分别在楼的同侧观察这堵墙，视线所及如图①所示．根据实际情况画出平面图形如图②(CD⊥DF,AB⊥DF，EF⊥DF)，甲从点C可以看到点G处，乙从点E可以看到点D处，点B是DF的中点，墙AB高‎5米，DF＝‎100米，BG＝‎10米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差．‎ 第19题图 ‎20．(6分)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，－1)，B(0，－2)，C(1，1)．‎ ‎(1)求抛物线的解析式以及它的对称轴；‎ ‎(2)求这个函数的最值．‎ ‎21．(5分)小明家在装修房子时，使用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形的露天平台，根据不同的地块设计了两种不同的方案，设计的图纸如下图(外面一周都设计为黑色瓷砖)．‎ 第21题图 如果有一块地方，小明用其中一种方案铺设，共用了1 056块瓷砖，问这块地方使用的是哪种设计方案，请你给出解答的过程．‎ ‎22．(5分)已知一次函数的图象与y轴，x轴分别交于点A，B，直线y＝kx＋b经过OA上的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果S△AOB＝SDOC，求直线y＝kx＋b的解析式．‎ ‎23．(6分)已知：如图，AC是⊙O的直径，AB是弦，MN是过点A的直线，AB等于半径长．‎ ‎(1)若∠BAC＝2∠BAN，求证：MN是⊙O的切线．‎ ‎(2)在(1)成立的条件下，当点E是的中点时，在AN上截取AD＝AB，连结BD、BE、DE，求证：△BED是等边三角形．‎ 第23题图 ‎24．(7分)在一个夹角为120°的墙角放置一个圆形的容器，俯视图如图．在俯视图中，圆与两边的墙分别切于B、C 点．如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够．‎ ‎(1)写出此图中相等的线段；‎ ‎(2)请你设计两种不同的通过计算可求出直径的方法(只写明主要的解题过程)．‎ 第24题图 ‎25．(8分)已知：如图，一块三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的AB边上，并且使一条直角边经过点C，三角板的另一条直角边与AD交于点Q．‎ ‎(1)请你写出此时图形中成立的一个结论(任选一个)．‎ ‎(2)当点P满足什么条件时，有AQ＋BC＝CQ?请证明你的结论．‎ ‎(3)当点Q在AD的什么位置时，可证得PC＝3PQ?并写出论证的过程．‎ 第25题图 答 案 ‎17．2008年北京市海淀区中考数学一模试卷 一、选择题 ‎1.A 2．C 3．D 4．B 5．C 6．A 7．B 8．C 二、填空题 ‎9．3.55×104 10． 11. 12．二，三，六 三、解答题 ‎13．解：原式 ‎14．解：原式 ‎．‎ 当x＝3时，原式．‎ ‎15．解：a＝1，b＝－6，c＝5．b2－‎4ac＝36－20＝16．‎ ‎，即x1＝5，x2＝1．‎ ‎16．解：由①得x＜3．由②得x≥1．‎ 所以不等式组的解集为1≤x＜3．在数轴上表示其解集如下：‎ 第16题答图 ‎17．证法一：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D．‎ 因为E、F分别是AB、CD的中点，所以，．‎ 所以BE＝DF．‎ 在△CBE和△ADF中，‎ 所以△CBE≌△ADF．所以CE＝AF．‎ 证法二：在菱形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD．因为E、F分别是AB、CD的中点，所以，．‎ 所以AE＝CF．又因为AE∥CF，所以四边形AECF是平行四边形．‎ 所以AF＝CE．‎ ‎18．略．‎ ‎19．解：由题意可知∠ABG＝∠CDG＝90°．‎ 又因为∠AGD为公共角，‎ 所以△ABG∽△CDG．‎ 所以．‎ 可求得CD＝‎30米．‎ 同理可求得EF＝‎10米．‎ 所以两人的观测点到地面的距离的差为‎20米．‎ ‎20．解：(1)由题意得 解得所以所求抛物线解析式为y＝2x2＋x－2．‎ 配方得．‎ 所以此抛物线的对称轴为直线．‎ ‎(2)因为a＞0，所以当时，函数有最小值，‎ 这个函数的最小值为．‎ ‎(参照给分)注：也可以用公式正确求得对称轴和函数的最值．‎ ‎21．解：据观察可知两种方案中，长比宽均多出一块瓷砖，‎ 则可设宽需用x块，长需用(x＋1)块．‎ 列方程x·(x＋1)＝1056．‎ 解得x1＝32，x2＝－33(不合题意，舍去)．‎ 则宽需用32块瓷砖，长需用33块瓷砖．‎ 观察两种方案的规律，得知只有方案1的宽为偶数，长为奇数，‎ 所以应该选择方案1．‎ ‎22．解：因为直线与y轴，x轴的交点分别为A，B，‎ 所以两点坐标分别为A(0，3)，B(2，0)．所以OA＝3，OB＝2．‎ 所以，因为D为OA上的三分之一点，‎ 所以D点的坐标为(0，1)或(0，2)．‎ 因为，‎ 所以当OD＝1时，OC＝6；当OD＝2时，OC＝3．‎ 因为点C在x轴的负半轴上，所以C点的坐标为(－6，0)或(－3，0)．‎ 所以直线CD的解析式为或．‎ ‎23．证明：(1)连结OB．‎ 第23题答图 因为AC是⊙O的直径，AB是弦且等于半径长．‎ 所以OA＝OB＝AB．‎ 所以△AOB为等边三角形．‎ 所以∠OAB＝60°．‎ 因为∠BAC＝2∠BAN＝60°，‎ 所以∠BAN＝30°．‎ 所以∠CAN＝∠BAC＋∠BAN＝90°．‎ 所以AC⊥MN．又因为AC为直径，‎ 所以MN是⊙O的切线．‎ ‎(2)连结AE，OE．‎ 由E是的中点，可得∠BAE＝∠ABE＝15°．‎ 易证△ABE≌△ADE．‎ 所以BE＝DE，∠EDA＝15°．‎ 可证得∠BDE＝60°．‎ 所以△BDE是等边三角形．‎ ‎24．解：(1)AB＝AC．‎ 第24题答图 ‎(2)方法一：作∠BAC的平分线，过点B作射线AB的垂线，两线交于点O．‎ 由图形的对称性可知圆心在∠BAC的平分线上，点O就是该圆的圆心．‎ 可测得AB的长度．在Rt△AOB中，∠BAO＝60°，‎ 所以OB＝AB·tan60°＝AB，所以直径为2AB．‎ 方法二：连结OC，BC，可证得△COB是等边三角形．‎ 所以BC＝OC．可求得BC的长度，‎ 所以直径等于2BC．‎ ‎25．解：(1)△APQ∽△BCP．(答案不唯一)‎ ‎(2)当P为AB中点时，有AQ＋BC＝CQ．‎ 证明：连结CQ，延长QP，交CB的延长线于点E．‎ 可证△APQ≌△BPE．‎ 则AQ＝BE，PQ＝PE．‎ 又因为CP⊥QE，可得CQ＝CE，‎ 所以AQ＋BC＝CQ．‎ ‎(3)当时，有PC＝3PQ．‎ 证明：在正方形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝BC＝AB．‎ 又因为直角三角板的顶点P在边AB上，‎ 所以∠1＋∠2＝180°－∠QPC＝90°．‎ 因为Rt△CBP中，∠3＋∠2＝90°，‎ 所以∠1＝∠3．‎ 所以△APQ∽△BCP．‎ 所以．因为，‎ 所以．所以，或(不合题意，舍去)．‎ 所以．所以PC＝3PQ．‎ 第25题答图