【数学】2020届一轮复习北师大版最值与范围问题作业

【数学】2020届一轮复习北师大版最值与范围问题作业

‎　最值与范围问题 A组 ‎1．如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设R为椭圆E 的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．‎ 解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，‎ ＝，＝，＝－，‎ 从而有＝，‎ 整理得＋y2＝1，即为椭圆E的方程．‎ ‎(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，‎ 则y0＝，‎ 从而梯形ORMN的面积 S＝(2＋x0)y0＝，‎ 令t＝2＋x0，则2＜t＜4，S＝，‎ 令u＝4t3－t4，则u′＝12t2－4t3＝4t2(3－t)，‎ 当t∈(2,3)时，u′＞0，u＝4t3－t4单调递增，‎ 当t∈(3,4)时，u′＜0，u＝4t3－t4单调递减，‎ 所以当t＝3时，u取得最大值，‎ 则S也取得最大值，最大值为．‎ ‎2．(2018·资阳三诊)已知A1，A2为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，|A1A2|＝2，离心率为．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)设动点P(2，t)(t≠0)，记直线PA1，PA2与E的交点(不同于A1，A2)到x轴的距离分别为d1，d2，求d1d2的最大值．‎ 解：(1)由|A1A2|＝2得2a＝2，则a＝．‎ 又由e＝得，c＝1，所以 b2＝a2－c2＝1．‎ 故椭圆E的方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)不妨设t＞0.直线PA1的方程为x＝y－，直线PA2的方程为x＝y＋，‎ 设直线PA1，PA2与E的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由得y2－y＝0，‎ 可得y1＝．‎ 又由得y2＋y＝0，‎ 可得y2＝．‎ 则d1d2＝×＝＝．‎ 因为t2＋≥6，当且仅当t2＝3取等号，‎ 所以≤，‎ 即(d1d2)max＝.当且仅当t＝±取等号．‎ ‎3．(2018·石嘴山一模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点，两个焦点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)．‎ ‎(1)求E的方程；‎ ‎(2)若A，B，P(点P不与椭圆顶点重合)为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且＝＋，求AB所在直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．‎ 解：(1)由已知得c＝1,2a＝＋＝2，‎ ‎∴a＝，b＝1，‎ 则E的方程为＋y2＝1．‎ ‎(2)设AB：x＝my＋t(m≠0)代入＋y2＝1‎ 得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝－，y1y2＝，‎ Δ＝8(m2＋2－t2)，‎ 设P(x，y)，由＝＋，得 y＝y1＋y2＝－，‎ x＝x1＋x2＝my1＋t＋my2＋t＝m(y1＋y2)＋2t＝，‎ ‎∵点P在椭圆E上，‎ ‎∴＋＝1，‎ 即＝1，∴4t2＝m2＋2，‎ 在x＝my＋t中，令y＝0，则x＝t，令x＝0，则y＝－．‎ ‎∴三角形面积S＝|xy|＝×＝×＝≥×2＝，当且仅当m2＝2，t2＝1时取得等号，此时Δ＝24＞0，∴所求三角形面积的最小值为．‎ ‎4．(2018·河南联考)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q(0,5)．‎ ‎(1)求p的值；‎ ‎(2)以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧MN的长度为S，当直线l绕F点旋转时，求的最大值．‎ 解：(1)F，当l的倾斜角为45°时，l的方程为y＝x＋，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由得x2－2px－p2＝0，‎ x1＋x2＝2p，y1＋y2＝x1＋x2＋p＝3p，‎ 得AB中点为D，‎ AB中垂线为 y－p＝－(x－p)，‎ 将x＝0代入得y＝p＝5，∴p＝2．‎ ‎(2)设l的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2－4kx－4＝0，‎ ‎|AB|＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4，‎ AB中点为D(2k,2k2＋1)，‎ 令∠MDN＝2α，则S＝2α·|AB|＝α·|AB|，‎ ‎∴＝α， D到x轴的距离|DE|＝2k2＋1，‎ cos α＝＝＝1－，‎ 当k2＝0时cos α取最小值，α的最大值为，‎ 故的最大值为．‎ B组 ‎1．(2018·“皖南八校”联考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，椭圆C上一点M到左右两个焦点F1，F2的距离之和是4．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，且两点与左右顶点不重合，若＝＋，求四边形AMBF1面积的最大值．‎ 解：(1)依题意，2a＝4，a＝2，‎ 因为e＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3，‎ 所以椭圆C方程为＋＝1．‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：x＝my＋1，‎ 则由可得3(my＋1)2＋4y2＝12，‎ 即(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，‎ Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)＞0，‎ 又因为＝＋，所以四边形AMBF1是平行四边形，‎ 设平行四边形AMBF1的面积为S，则 S＝2S△ABF1＝2××|F1F2|×|y1－y2|＝2×＝24×．‎ 设t＝，则m2＝t2－1(t≥1)，‎ 所以S＝24×＝24×，‎ 因为t≥1，所以3t＋≥4，所以S∈(0,6]，‎ 所以四边形AMBF1面积的最大值为6．‎ ‎2．(2018·山西模拟)已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，P(a,0)为x轴上的点．‎ ‎(1)过点P作直线l与E相切，求切线l的方程；‎ ‎(2)如果存在过点F的直线l′与抛物线交于A，B两点，且直线PA与PB的倾斜角互补，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)设切点为Q，则y′|x＝x0＝＝k1．‎ ‎∴Q点处的切线方程为y－＝(x－x0)．‎ ‎∵l过点P，∴－＝(a－x0)，解得x0＝2a或x0＝0．‎ 当a＝0时，切线l的方程为y＝0，‎ 当a≠0时，切线l的方程为y＝0或ax－y－a2＝0．‎ ‎(2)设直线l′的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2－4kx－4＝0．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4. ①‎ 由已知得kPA＋kPB＝＋＝0，‎ 即＋＝0，‎ ‎∴2kx1x2＋(1－ka)(x1＋x2)－2a＝0. ②‎ 把①代入②得，2ak2＋2k＋a＝0， ③‎ 当a＝0时，显然成立，‎ 当a≠0时，方程③有解，‎ ‎∴Δ＝4－8a2≥0，解得－≤a≤，且a≠0．‎ 综上，－≤a≤．‎ ‎3．(2018·江西联考)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率与双曲线－＝1的离心率互为倒数，且过点P．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)过P作两条直线l1，l2与圆(x－1)2＋y2＝r2相切且分别交椭圆于M、N两点．‎ ‎① 求证：直线MN的斜率为定值；‎ ‎② 求△MON面积的最大值(其中O为坐标原点)．‎ 解：(1)可得e＝，设椭圆的半焦距为c，所以a＝2c，‎ 因为C过点P，所以＋＝1，‎ 又c2＋b2＝a2，解得a＝2，b＝，‎ 所以椭圆方程为＋＝1．‎ ‎(2)①显然两直线l1，l2的斜率存在，‎ 设为k1，k2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，‎ 由于直线l1，l2与圆(x－1)2＋y2＝r2相切，‎ 则有k1＝－k2，‎ 直线l1的方程为y－＝k1(x－1)，‎ 联立方程组 消去y，得x2(4k＋3)＋k1(12－8k1)x＋(3－2k1)2－12＝0，‎ 因为P，M为直线与椭圆的交点，‎ 所以x1＋1＝，‎ 同理，当l2与椭圆相交时，‎ x2＋1＝，‎ 所以x1－x2＝，‎ 而y1－y2＝k1(x1＋x2)－2k1＝，‎ 所以直线MN的斜率k＝＝．‎ ‎②设直线MN的方程为y＝x＋m，‎ 联立方程组消去y得x2＋mx＋m2－3＝0，‎ 所以|MN|＝ · ‎＝，‎ 原点O到直线的距离d＝，‎ ‎△OMN面积为S＝·· ‎＝≤×＝，‎ 当且仅当m2＝2时取得等号．经检验，存在r，使得过点P的两条直线与圆(x－1)2＋y2＝r2相切，且与椭圆有两个交点M，N．‎ 所以△OMN面积的最大值为．‎ ‎4．(2018·揭阳二模)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，圆C2经过椭圆C1的两个焦点和两个顶点，点P在椭圆C1上，且|PF1|＝2＋，|PF2|＝2－ ．‎ ‎(1)求椭圆C1的方程和点P的坐标；‎ ‎(2)过点P的直线l1与圆C2相交于A、B两点，过点P与l1垂直的直线l2与椭圆C1相交于另一点C，求△ABC的面积的取值范围．‎ 解：(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)，‎ 可知圆C2经过椭圆焦点和上下顶点，得b＝c，‎ 由题意知2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，得a＝2，‎ 由b2＋c2＝a2，得b＝c＝，‎ 所以椭圆C1的方程为＋＝1，‎ 点P的坐标为(2,0)．‎ ‎(2)由过点P的直线l2与椭圆C1相交于两点，知直线l2的斜率存在，‎ 设l2的方程为y＝k(x－2)，由题意可知k≠0，‎ 联立椭圆方程，得(2k2＋1)x2－8k2x＋8k2－4＝0，‎ 设C(x2，y2)，则2·x2＝，得x2＝，‎ 所以|PC|＝|x2－2|＝；‎ 由直线l1与l2垂直，可设l1的方程为y＝－(x－2)，‎ 即x＋ky－2＝0，‎ 圆心(0,0)到l1的距离d＝，‎ 又圆的半径r＝，‎ 所以2＝r2－d2＝2－＝，‎ ‎|AB|＝2·，‎ 由d＜r即＜，得k2＞1，‎ S△ABC＝|AB||PC|＝··＝4·，‎ 设t＝，则t＞0，‎ S△ABC＝＝≤＝，‎ 当且仅当t＝即k＝±时，取“＝”，‎ 所以△ABC的面积的取值范围是．‎