2017中考特殊的平行四边形复习

2017中考特殊的平行四边形复习

特殊的平行四边形复习 一．中点四边形问题：‎ 例1.（变式题：练习第三2和8题）‎ ‎（2016•兰州）阅读下面材料：‎ 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图1，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？‎ 小敏在思考问题是，有如下思路：连接AC．‎ 结合小敏的思路作答 ‎（1）若只改变图1中四边形ABCD的形状（如图2），则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题：‎ ‎（2）如图2，在（1）的条件下，若连接AC，BD．‎ ‎①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；‎ ‎②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．‎ 二、四边形中的特殊三角形 例2、如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD．延长CA至点E，使AE=AC；延长CB至点F，使BF=BC．连接AD，AF，DF，EF．延长DB交EF于点N．‎ ‎（1）求证：AD=AF；‎ ‎（2）求证：BD=EF；‎ ‎（3）试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．‎ 三、四边形中的折叠问题 本质：轴对称（全等性，对称性） 关键：根据折叠实现等量转化 ‎（1）根据勾股定理得方程。 （2）根据相似比得方程。 （3）找折叠中的特殊位置来解决特殊值问题 例3(2015·滨州)如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠(点E在边DC上)，折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处，若点D的坐标为(10，8)，则点E的坐标为________．‎ ‎ 例3 例4‎ 例4（2013•遵义）如上图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N． （1）求证：CM=CN； （2）若△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，求的值．‎ 四、正方形中的线段垂直问题 例5如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE． （1）求证：AF=BE；‎ ‎（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．‎ 五、探究型问题 例6．（2015•甘肃武威）如图，平行四边形ABCD中，AB=‎3cm，BC=‎5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；‎ ‎（2）①当AE= cm时，四边形CEDF是矩形； ②当AE= cm时，四边形CEDF是菱形．‎ ‎（直接写出答案，不需要说明理由）‎ 六、四边形中的相似三角形 例7（2015湖南岳阳第22题8分）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．‎ ‎（1）求证：△ABM∽△EFA；‎ ‎（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．‎ 一、 选择题 ‎1．（2016·山东省菏泽市·3分）在▱ABCD中，AB=3，BC=4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（　　）‎ ‎①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④‎ ‎2．（2016贵州毕节3分）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　）‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ ‎ ‎ ‎ 2题图 3题图 5题图 ‎3．（2016海南3分）如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．75° ‎ ‎4.(2016河北3分）关于 ABCD的叙述，正确的是（ ）‎ A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形 B．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形 C．若AC=BD，则 ABCD是矩形 D．若AB=AD，则 ABCD是正方形 ‎5．（2016河南）如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　）‎ A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）‎ ‎6.（16福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎ ‎ ‎ 6T题图 7题图 8题图 ‎7. （2016·四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　） A． B．‎6 C． D．‎ ‎8. （2016·四川眉山）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎9．（2016·四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）‎ A．4.8 B．5 C．6 D．7.2‎ ‎ ‎ ‎ 9题图 11题图 12题图 13题图 ‎ ‎10．（2016·四川攀枝花）下列关于矩形的说法中正确的是（　　）‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．矩形的对角线相等且互相平分 C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．矩形的对角线互相垂直且平分 ‎11．（2016·四川南充）如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（　　） ‎ A．30° B．45° C．60° D．75°‎ ‎12．（2016·四川泸州）如图，矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF=2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎13．（2016·湖北荆门）如图，在矩形ABCD中（AD＞AB），点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是（　　） ‎ A．△AFD≌△DCE B．AF=AD C．AB=AF D．BE=AD﹣DF 一、 填空题 ‎ ‎1. （2016·内蒙古包头·3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAC=2∠CAD，则∠BAE=　 　度．‎ ‎ ‎ ‎ 1题图 2题图 3题图 4题图 ‎2. （16西宁）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是　 　．‎ ‎3. （2016陕西）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　 　．‎ ‎4. （2016江西）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是 　 ‎ ‎5. （2016·辽宁丹东）如图，正方形ABCD边长为3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为 　．‎ ‎ D O C E B A 图4‎ ‎ ‎ 5题图 6题图 7题图 8题图 ‎6. （2016·四川南充）如图，菱形ABCD的周长是‎8cm，AB的长是　 　cm． ‎ ‎7．（2016·四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．‎ ‎8.（2016·黑龙江齐齐哈尔）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件　 　使其成为菱形（只填一个即可）．‎ ‎9．（2016·齐齐哈尔）有一面积为5的等腰三角形，它的一个内角是30°，则以它的腰长为边的正方形的面积为　 　． ‎ ‎10.（16昆明）如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB=6，BC=8，则四边形EFGH的面积是　 　．‎ ‎11．（2016海南4分）如图，四边形ABCD是轴对称图形，且直线AC是对称轴，AB∥CD，则下列结论：①AC⊥BD；②AD∥BC；③四边形ABCD是菱形；④△ABD≌△CDB．其中正确的是　 　（只填写序号）‎ ‎ ‎ ‎10题图 11题图 ·12题图 13题图 ‎12．（2016·山东省滨州市·4分）如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则=　 　．‎ ‎13. （16哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，点E、F分别在边AB、BC上，△BEF与△GEF关于直线EF对称，点B的对称点是点G，且点G在边AD上．若EG⊥AC，AB=6，则FG的长为　 　．‎ 三.解答题 ‎1．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF． 求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．‎ ‎2． D、E分别是不等边三角形ABC（即AB≠BC≠AC）的边AB、AC的中点．O是△ABC所在平面上的动点，连接OB、OC，点G、F分别是OB、OC的中点，顺次连接点D、G、F、E．‎ ‎（1）如图，当点O在△ABC的内部时，求证：四边形DGFE是平行四边形；‎ ‎（2）若四边形DGFE是菱形，则OA与BC应满足怎样的数量关系？（直接写出答案，不需要说明理由．）‎ ‎、‎ ‎3.（16吉林）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．求证：四边形AODE是矩形．‎ ‎4.（2016·四川内江）(9分)如图6所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF． (1)求证：D是BC的中点；‎ ‎(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．‎ D C E F B A 图6‎ ‎5.（2016·黑龙江哈尔滨·）已知：如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．‎ ‎（1）求证：AP=BQ；‎ ‎（2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．‎ ‎6．（2016·山东省济宁市）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CB至点F，使CF=CA，连接AF，∠ACF的平分线分别交AF，AB，BD于点E，N，M，连接EO．‎ ‎（1）已知BD=，求正方形ABCD的边长；‎ ‎（2）猜想线段EM与CN的数量关系并加以证明．‎ ‎7．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．‎ ‎（1）求证：OE=OF；‎ ‎（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；‎ ‎（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．‎ ‎8．（16德州）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．‎ ‎（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．‎ 求证：中点四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；‎ ‎（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）‎ 例1解：（1）是平行四边形，‎ 证明：如图2，连接AC，‎ ‎∵E是AB的中点，F是BC的中点，‎ ‎∴EF∥AC，EF=AC，‎ 同理HG∥AC，HG=AC，‎ 综上可得：EF∥HG，EF=HG，‎ 故四边形EFGH是平行四边形；‎ ‎（2）AC=BD．‎ 理由如下：‎ 由（1）知，四边形EFGH是平行四边形，且FG=BD，HG=AC，‎ ‎∴当AC=BD时，FG=HG，‎ ‎∴平行四边形EFGH是菱形，‎ ‎（3）当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形；‎ 理由如下：‎ 同（2）得：四边形EFGH是平行四边形，‎ ‎∵AC⊥BD，GH∥AC，‎ ‎∴GH⊥BD，‎ ‎∵GF∥BD，‎ ‎∴GH⊥GF，‎ ‎∴∠HGF=90°，‎ ‎∴四边形EFGH为矩形．‎ ‎【点评】此题主要考查了中点四边形，关键是掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．‎ 例2（1）证明：∵AB=AC，∠BAC=90°，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°，‎ ‎∴∠ABF=135°，‎ ‎∵∠BCD=90°，‎ ‎∴∠ABF=∠ACD，‎ ‎∵CB=CD，CB=BF，∴BF=CD，‎ 在△ABF和△ACD中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△ACD（SAS），‎ ‎∴AD=AF；‎ ‎（2）证明：由（1）知，AF=AD，△ABF≌△ACD，‎ ‎∴∠FAB=∠DAC，‎ ‎∵∠BAC=90°，‎ ‎∴∠EAB=∠BAC=90°，‎ ‎∴∠EAF=∠BAD，‎ 在△AEF和△ABD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AEF≌△ABD（SAS），‎ ‎∴BD=EF；‎ ‎（3）解：四边形ABNE是正方形；理由如下：‎ ‎∵CD=CB，∠BCD=90°，‎ ‎∴∠CBD=45°，‎ 由（2）知，∠EAB=90°，△AEF≌△ABD，‎ ‎∴∠AEF=∠ABD=90°，‎ ‎∴四边形ABNE是矩形，‎ 又∵AE=AB，‎ ‎∴四边形ABNE是正方形．‎ 例4证明：由折叠的性质可得：∠ANM=∠CNM，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠ANM=∠CMN，‎ ‎∴∠CMN=∠CNM，‎ ‎∴CM=CN；‎ ‎（2）解：过点N作NH⊥BC于点H，‎ 则四边形NHCD是矩形，‎ ‎∴HC=DN，NH=DC，‎ ‎∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3：1，‎ ‎∴===3，‎ ‎∴MC=3ND=3HC，‎ ‎∴MH=2HC，‎ 设DN=x，则HC=x，MH=2x，‎ ‎∴CM=3x=CN，‎ 在Rt△CDN中，DC==2x，‎ ‎∴HN=2x，‎ 在Rt△MNH中，MN==2x，‎ ‎∴==2．‎ 例5（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，‎ ‎∴∠DAF+∠BAF=90°，‎ ‎∵AF⊥BE，‎ ‎∴∠ABE+∠BAF=90°，‎ ‎∴∠ABE=∠DAF，‎ ‎∵在△ABE和△DAF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△DAF（ASA），‎ ‎∴AF=BE；‎ ‎（2）解：MP与NQ相等．‎ 理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，‎ 则与（1）的情况完全相同．‎ 参考答案 BBCBB CABAB CBB ‎22.5 16 2﹣2 ‎ ‎5或4或5． 6． 2 ‎ AC⊥BC或∠AOB=90°或AB=BC 20和20 24 ①②③④ 3．‎ ‎3【解答】证明：∵四边形ABCD为菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴∠AOD=90°，‎ ‎∵DE∥AC，AE∥BD，‎ ‎∴四边形AODE为平行四边形，‎ ‎∴四边形AODE是矩形．‎ ‎4 (1)证明：∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．‎ ‎∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．‎ ‎∴△EAF≌△EDC．‎ ‎∴AF＝DC．‎ ‎∵AF＝BD，‎ ‎∴BD＝DC，即D是BC的中点．‎ ‎(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：‎ ‎∵AF∥BD，AF＝BD，‎ ‎∴四边形AFBD是平行四边形．‎ ‎∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中点，‎ ‎∴AD⊥BC．‎ ‎∴□AFBD是矩形． ‎ ‎5【解答】解：（1）∵正方形ABCD ‎∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°‎ ‎∵DP⊥AQ ‎∴∠ADP+∠DAP=90°‎ ‎∴∠BAQ=∠ADP ‎∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P ‎∴∠AQB=∠DPA=90°‎ ‎∴△AQB≌△DPA（AAS）‎ ‎∴AP=BQ ‎（2）①AQ﹣AP=PQ ‎②AQ﹣BQ=PQ ‎③DP﹣AP=PQ ‎④DP﹣BQ=PQ ‎6【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴△ABD是等腰直角三角形，‎ ‎∴2AB2=BD2，‎ ‎∵BD=，‎ ‎∴AB=1，‎ ‎∴正方形ABCD的边长为1；‎ ‎（2）CN=CM．‎ 证明：∵CF=CA，AF是∠ACF的平分线，‎ ‎∴CE⊥AF，‎ ‎∴∠AEN=∠CBN=90°，‎ ‎∵∠ANE=∠CNB，‎ ‎∴∠BAF=∠BCN，‎ 在△ABF和△CBN中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△CBN（AAS），‎ ‎∴AF=CN，‎ ‎∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，‎ ‎∴∠BAF=∠OCM，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ ‎∴∠ABF=∠COM=90°，‎ ‎∴△ABF∽△COM，‎ ‎∴=，‎ ‎∴==，‎ 即CN=CM．‎ ‎7【解答】解：（1）四边形EBGD是菱形．‎ 理由：∵EG垂直平分BD，‎ ‎∴EB=ED，GB=GD，‎ ‎∴∠EBD=∠EDB，‎ ‎∵∠EBD=∠DBC，‎ ‎∴∠EDF=∠GBF，‎ 在△EFD和△GFB中，‎ ‎，‎ ‎∴△EFD≌△GFB，‎ ‎∴ED=BG，‎ ‎∴BE=ED=DG=GB，‎ ‎∴四边形EBGD是菱形．‎ ‎（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，‎ 在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，‎ ‎∴EM=BE=，‎ ‎∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，‎ ‎∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，‎ 在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，‎ ‎∴∠NDC=∠NCD=45°，‎ ‎∴DN=NC=，‎ ‎∴MC=3，‎ 在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，‎ ‎∴EC===10．‎ ‎∵HG+HC=EH+HC=EC，‎ ‎∴HG+HC的最小值为10．‎ ‎8【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．‎ ‎∵点E，H分别为边AB，DA的中点，‎ ‎∴EH∥BD，EH=BD，‎ ‎∵点F，G分别为边BC，CD的中点，‎ ‎∴FG∥BD，FG=BD，‎ ‎∴EH∥FG，EH=GF，‎ ‎∴中点四边形EFGH是平行四边形．‎ ‎（2）四边形EFGH是菱形．‎ 证明：如图2中，连接AC，BD．‎ ‎∵∠APB=∠CPD，‎ ‎∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD，‎ 在△APC和△BPD中，‎ ‎，‎ ‎∴△APC≌△BPD，‎ ‎∴AC=BD ‎∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，‎ ‎∴EF=AC，FG=BD，‎ ‎∵四边形EFGH是平行四边形，‎ ‎∴四边形EFGH是菱形．‎ ‎（3）四边形EFGH是正方形．‎ 证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．‎ ‎∵△APC≌△BPD，‎ ‎∴∠ACP=∠BDP，‎ ‎∵∠DMO=∠CMP，‎ ‎∴∠COD=∠CPD=90°，‎ ‎∵EH∥BD，AC∥HG，‎ ‎∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，‎ ‎∵四边形EFGH是菱形，‎ ‎∴四边形EFGH是正方形．‎ ‎9【解答】解：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．‎ 理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，‎ ‎∴CD=DA=DB，‎ ‎∴∠DAC=∠DCA，‎ ‎∵A′C∥AC，‎ ‎∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，‎ ‎∴∠DA′E=∠DEA′，‎ ‎∴DA′=DE，‎ ‎∴△A′DE是等腰三角形．‎ ‎∵四边形DEFD′是菱形，‎ ‎∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，‎ ‎∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′，‎ ‎∵CD∥C′D′，‎ ‎∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，‎ 在△A′DE和△EFC′中，‎ ‎，‎ ‎∴△A′DE≌△EFC′．‎ ‎【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎9（1）证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，‎ ‎∴∠2=∠5，4=∠6，‎ ‎∵MN∥BC，‎ ‎∴∠1=∠5，3=∠6，‎ ‎∴∠1=∠2，∠3=∠4，‎ ‎∴EO=CO，FO=CO，‎ ‎∴OE=OF；‎ ‎（2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，‎ ‎∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，‎ ‎∵CE=12，CF=5，‎ ‎∴EF==13，‎ ‎∴OC=EF=6.5；‎ ‎（3）答：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．‎ 证明：当O为AC的中点时，AO=CO，‎ ‎∵EO=FO，‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形，‎ ‎∵∠ECF=90°，‎ ‎∴平行四边形AECF是矩形．‎