中考压轴题强化训练 图形的旋转折叠含答案

中考压轴题强化训练 图形的旋转折叠含答案

‎2012压轴题最后冲刺分类强化训练4‎ ‎——图形变换之旋转、折叠 ‎1．直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且），得到Rt△.‎ ‎（1）如图，当边经过点B时，求旋转角的度数；‎ ‎（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点 D作DE∥‎ 交边于点E，联结BE.‎ ‎① 当时，设AD=，BE=，求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围；‎ ‎② 当时，求AD的长. ‎ 备用图 备用图 ‎ ‎ 解（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴． ‎ 由旋转可知：，，‎ ‎∴△为等边三角形．‎ ‎∴＝． ‎ ‎（2）① 当时，点D在AB边上（如图）. ‎ ‎∵ DE∥， ∴ .‎ ‎ 由旋转性质可知，CA =，CB=， ∠ACD=∠BCE.‎ ‎∴ ∴ . ‎ ‎∴ △CAD∽△CBE. ‎ ‎∴.∵∠A=30° ∴.‎ ‎∴（0﹤﹤2） ‎ ‎②当时，点D在AB边上 AD=x，，∠DBE=90°.‎ 此时，.‎ ‎ 当S =时，.整理，得 .‎ 解得 ，即AD=1. ‎ 当时，点D在AB的延长线上（如图）.‎ ‎ 仍设AD=x，则，∠DBE=90°.‎ ‎ .‎ ‎ 当S =时，.‎ ‎ 整理，得 .‎ 解得 ，（负值，舍去）. ‎ ‎ 即. ‎ ‎ 综上所述：AD=1或.‎ ‎2.(1)动手操作：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为EF，若∠ABE=20°，那么的度数为 。‎ ‎（2）观察发现：小明将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图②）；再次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图③）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．‎ ‎（3）实践与运用：‎ 将矩形纸片ABCD 按如下步骤操作：将纸片对折得折痕EF，折痕与AD边交于点E，与BC边交于点F；将矩形ABFE与矩形EFCD分别沿折痕MN和PQ折叠，使点A、点D都与点F重合，展开纸片，此时恰好有MP=MN=PQ（如图④）,求∠MNF的大小。‎ 图④‎ ‎1解(1) 125° 　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2) 同意 　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎　 ∵点A与点D是沿EF折叠的且重合，折痕为EF， ‎ ‎ 　∴A、D关于EF对称， ∴ EF⊥AD、AE=ED、AF=DF ‎ ‎　 又 ∵沿过点A的直线折叠时，使得AC落在AB边上，折痕为AD ‎ ‎ 　∴ ∠DAE=∠DAF ‎ ‎　可得AE=AF 　‎ ‎　∴△AEF是等腰三角形 ‎ ‎ (3) 由题意易得∠NMF=∠AMN=∠MNF， ‎ ‎　　∴ MF=NF，由对称可知，MF=PF， ‎ ‎∴ NF=PF，而由题意得，MP=MN，又MF=MF， ‎ ‎ ∴ 三角形MNF和三角形MPF全等， ‎ ‎∴ ∠PMF=∠NMF，而∠PMF+ ∠NMF+∠MNF=180度，‎ 即3∠MNF=180度，‎ ‎ ∴ ∠MNF=60度 ‎ ‎3.如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）.‎ ‎（1）当t=4时，求直线AB的解析式；‎ ‎（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；‎ ‎（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由.‎ M y O C A B x D ‎ ‎ ‎3.解：（1）当t=4时，B(4,0)‎ 设直线AB的解析式为y= kx+b .‎ 把 A(0,6)，B(4,0) 代入得：‎ ‎ , 解得： ,‎ ‎∴直线AB的解析式为：y=－x+6.‎ ‎(2) 过点C作CE⊥x轴于点E 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC.‎ ‎∴，‎ ‎∴BE= AO=3，CE= OB= ，‎ ‎∴点C的坐标为(t+3，).‎ 方法一：‎ y O C A B x D E S梯形AOEC= OE·(AO+EC)= (t+3)(6+)=t2+t+9，‎ S△ AOB= AO·OB= ×6·t=3t，‎ S△ BEC= BE·CE= ×3×= t，‎ ‎∴S△ ABC= S梯形AOEC－ S△ AOB－S△ BEC ‎ = t2+t+9－3t－t = t2+9.‎ 方法二：‎ ‎∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= AB·BC= BC2.‎ 在Rt△ABC中，BC2= CE2+ BE2 = t2+9，‎ y O C A B x D E 即S△ ABC= t2+9.‎ ‎(3)存在，理由如下：‎ ‎①当t≥0时. ‎ Ⅰ.若AD＝BD.‎ 又∵BD∥y轴 ‎∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD，‎ ‎∴∠OAB=∠BAD.‎ 又∵∠AOB=∠ABC，‎ ‎∴△ABO∽△ACB，‎ ‎∴，‎ ‎∴= ，‎ y O C A B D E H G x ‎∴t=3，即B(3，0).‎ Ⅱ.若AB＝AD.‎ 延长AB与CE交于点G，‎ 又∵BD∥CG ‎∴AG＝AC 过点A画AH⊥CG于H．‎ y O C A B x D E F ‎∴CH＝HG＝CG 由△AOB∽△GEB，‎ 得＝ ，‎ ‎∴GE= .‎ 又∵HE＝AO＝６，CE＝ ‎∴＋６＝×（＋）‎ ‎∴t2-24t-36=0‎ 解得：t=12±6. 因为 t≥0，‎ 所以t=12＋6，即B(12＋6，0).‎ Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD ≠ AB.‎ ‎ 当t≥12时，BD≤CE

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