【数学】2021届一轮复习人教A版一元二次不等式的参数范围学案

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【数学】2021届一轮复习人教A版一元二次不等式的参数范围学案

第2课时 一元二次不等式参数的范围 ‎【课前明示】‎ 了解并掌握一元二次不等式与相应函数、方程的联系.‎ ‎【课堂引入】‎ ‎1.(一元二次不等式与一元二次方程的关系)‎ 若关于x的一元二次不等式x2+bx+c>0的解集为{x|x<-3或x>2},则b+c=_______.‎ ‎2.(不等式含义的转化,利用二次函数的图象分析)‎ 当关于x的不等式4x2+px+1≤0的解集中恰好有一个元素时,实数p的值为_______.‎ ‎3.(不等式含义的转化,利用二次函数的图象分析)‎ 若关于x的不等式x2+ax+1<0的解集不是空集,则实数a的取值范围是_______.‎ ‎4.(不等式含义的转化,利用二次函数的图象分析)‎ 若关于x的不等式x2+2x+t>0的解集为一切实数,则实数t的取值范围是_______.‎ 变式巩固:‎ 若关于x的不等式-1≤ax2-4x+4≤1有且仅有一解,求实数a的值.‎ ‎1.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点,通过围绕二次函数的开口方向、对称轴,不等式的恒成立等基本问题展开,重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想,以及分析、解决问题的能力.‎ ‎2.不等式恒成立问题,一般有两种转化方法:(1)含参数讨论;(2)参变量分离;‎ ‎3.不等式恒成立问题,利用特值法,可以缩小参数需要讨论的范围.‎ ‎【例题精析】‎ 题型一 一元二次不等式的解集为一切实数,求参数的范围 ‎1.(不等式对x∈R恒成立,利用函数的图象分析——注意二次项系数的讨论)‎ 关于x的不等式ax2+ax+1>0的解集为R,求实数a的取值范围.‎ 变式巩固:‎ ‎1.已知关于x的不等式(k2+4k-5)x2+4(1-k)x+3>0的解集为R,求实数k的取值范围. ‎ ‎2.若关于x的不等式>k对一切实数x恒成立,求实数k的取值范围.‎ ‎2.(指对数表达式与二次不等式综合)‎ 若关于x的不等式ax2+1>()mx(a>1)的解集为R,求实数m的取值范围.‎ 题型二 不等式恒成立,求参数的取值范围 ‎3.(不等式对x∈D恒成立,求参数的范围——含参数讨论/参变量分离)‎ 设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.‎ 变式:不等式对于x∈D恒成立,求参数的范围——含参数讨论:实根分布 若区间(0,3)内的每一个数都是不等式2x2+mx-1<0的解,求m的取值范围.‎ ‎4.(利用换元将不等式转化为对x∈D恒成立的形式——含参数讨论/参变量分离)‎ 若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎5.(变换主元问题的分析)‎ 已知奇函数f(x)在R上为增函数,∀m∈[-2,2],不等式f(mx-2)+f(x)<0恒成立,求x的取值范围.‎ 变式巩固:(改变问题的表述方式)‎ ‎1.已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],不等式f(mx-2)+f(x)<0恒成立,求x的取值范围.‎ 参考答案:(-2,)‎ ‎2.已知函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a,对于任意的a∈[-1,1],不等式f(x)>0恒成立,求x的取值范围.‎ 参考答案:(-∞,1)∪(3,+∞)‎ 题型三 由二次不等式的解求参数的值或范围 ‎6.(一元二次不等式与一元二次方程的关系)‎ 若关于x的不等式(1-a)x2-4x+6>0的解集是{x|-3<x<1 },求a的值.‎ 变式巩固:‎ 若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是(-,),则a+b的值是_______.‎ ‎7.(不等式的解集中含有参数进行表示——整数解/解的个数)‎ 已知集合A={x|x2+a≤(a+1)x,a∈R},若存在实数a使得集合A中所有的整数的元素和为28,求实数a的取值范围.‎ 变式巩固:‎ ‎1.如果关于x的不等式5x2-a≤0的正整数解是1,2,3,那么实数a的取值范围是________.‎ 参考答案:[45,80)‎ ‎2.设函数f(x)=mx2-mx-1.‎ (1) 若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求实数m的取值范围;‎ (2) 若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求实数m的取值范围.‎ ‎3.若关于x的不等式(2x-1)2<ax2的解集中整数恰好有3个,则实数a的取值范围是________.‎ 参考答案: 解析:因为不等式等价于(-a+4)x2-4x+1<0,其中(-a+4)x2-4x+1=0中的Δ=‎4a>0,且有4-a>0,故0<a<4.不等式的解集为<x<,由已知<<,由题知解集中整数恰好有3个,所以3<≤4,解得a的取值范围为.‎ ‎【梯度练习】‎ 梯度一:三个二次之间的相互转化 ‎1.若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是_______.‎ 参考答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ 梯度二:二次函数与二次不等式的系数 ‎2.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解集为(1,3).‎ ‎(1)若方程f(x)+‎6a=0有两个相等的根,求f(x)的解析式;‎ ‎(2)若f(x)的最大值为正数,求a的取值范围.‎ 解:因为f(x)+2x>0的解集为(1,3),所以设f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且a<0,因而 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+‎4a)x+‎3a.①‎ ‎(1)由方程f(x)+‎6a=0得ax2-(2+‎4a)x+‎9a=0.②‎ 因为方程②有两个相等的根,所以Δ=[-(2+‎4a)]2-‎4a·‎9a=-4(‎5a2-‎4a-1)=0,‎ 解得a=1或a=-.‎ 由于a<0,舍去a=1.‎ 将a=-代入①得f(x)的解析式为f(x)=-x2-x-.‎ ‎(2)由f(x)=ax2-2(1+‎2a)x+‎3a=a2-及a<0,‎ 可得f(x)的最大值为-.‎ 由解得 a<-2-或-2+<a<0.‎ 所以实数a的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,0). ‎ ‎3.不等式ax2+bx+c>0的解集为区间(-,2),对于系数a,b,c,有如下结论:‎ ‎(1)a>0;(2)b>0;(3)c>0;(4)a+b+c>0;(5)a-b+c>0;‎ ‎(6)不等式cx2+bx+a>0的解集为区间(-2,).‎ 其中正确的结论的序号是___________.‎ 参考答案:(2)(3)(4)‎ 梯度三:可转化为二次形式的问题分析 ‎4.若不等式|kx-4|≤2的解集为{x|1≤x≤3},则实数k的值为________.‎ 参考答案:2‎ ‎5.若关于x的不等式a≤x2-3x+4≤b的解集恰好是[a,b],则a+b的值为__________.‎ 参考答案:4‎ ‎【二次不等式恒成立问题】‎ 梯度一:二次不等式恒成立 ‎6.不等式ax2+ax-1<0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .‎ 参考答案:(-4,0]‎ ‎7.若不等式x2+ax+1≥0对一切xÎ(0,]成立,则a的最小值是__________.‎ 解析:不等式x2+ax+1≥0,即-a≤x+对一切xÎ(0,]成立,‎ 而y=x+在(0,]上单调递减,故x+≥,从而-a≤,a的最小值是-.‎ ‎8.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]恒成立,则实数a的取值范围是___________.‎ 参考答案:[-,+∞)‎ ‎9.不等式x2+ax-10<0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是 .‎ 参考答案:(-∞,3)‎ ‎10.设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0,求实数a的取值范围.‎ 解:方法一:当a>0时,f(x)=a+2-.‎ 所以,或,或 所以,或,或 所以a≥1,或,<a<1,或Æ ,即a>;‎ 当a<0时,解得a∈Æ;‎ 当a=0时,f(x)=-2x+2,f(1)=0,f(4)=-6,‎ 所以不合题意.‎ 综上可得,实数a的取值范围是a>.‎ 方法二:[缩小讨论的范围]因为f(2)>0,所以a>,所以0<<2.‎ ‎(1)当0<≤1,即a≥1时,f(1)=a>0,满足题意;‎ ‎(2)当1<<2,即<a<1时,f()=2->0,满足题意;‎ 综上可得,实数a的取值范围是a>.‎ 方法三:满足1<x<4的一切x值都有f(x)>0等价于a>,‎ 即a>2()在xÎ(2,4)上恒成立.‎ 令g(x)=,xÎ(2,4),则a>2g(x)max.‎ 因为g(x)=-+,所以x=2时,g(x)max=.‎ 实数a的取值范围是a>.‎ ‎11.已知f(x)=x2-2ax+2(a∈R),当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,则实数a的取值范围是__________.‎ 参考答案:[-3,1]‎ ‎12.当0≤x≤2时,不等式(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2恒成立,试求t的取值范围.‎ 解:令y=x2-3x+2,0≤x≤2.‎ 因为y=x2-3x+2=(x-)2-,所以y在0≤x≤2上取得最小值为-,最大值为2.‎ 若(2t-t2)≤x2-3x+2≤3-t2在0≤x≤2上恒成立,‎ 则即 解得 或 ‎ 所以t的取值范围为[-1,1-].‎ 梯度二:可转化为二次不等式恒成立 ‎13.若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围为______.‎ 参考答案:(-∞,0]‎ 梯度三:不等式恒成立问题的理解 ‎14.关于x的不等式x2-2x+3≤a2-‎2a-1在R上的解集是Æ,则实数a的取值范围是________.‎ 参考答案:{a|-1<a<3}‎ ‎15.已知不等式组的解集是不等式2x2-9x+a<0的解集的子集,则实数a的取值范围是_____________.‎ 参考答案:(-∞,9]‎ ‎16.若对任意的x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是__________.‎ 参考答案:(-1,1) ‎ ‎17.已知命题p:对任意的m∈[-1,1],不等式a2-‎5a+3≥恒成立;命题q:对任意的x∈R,不等式x2+ax+4≥0恒成立,若p和q都是真命题,求a的取值范围.‎ 参考答案:[-4,0]‎
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