高考数学考点21 数列的概念与简单表示法

高考数学考点21 数列的概念与简单表示法

1 （1）了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）. （2）了解数列是自变量为正整数的一类函数. 一、数列的相关概念 1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． 数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项，通常也叫做首项，排在第二 位的数称为这个数列的第 2 项……排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项．所以，数列的一般形式可以写 成 简记为 ． 2．数列与函数的关系 数列可以看成定义域为正整数集 (或它的有限子集 )的函数 ，当自变量按照由小到 大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值． 由于数列是特殊的函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最 小值等,此时要注意数列的定义域为正整数集（或其有限子集 ）这一条件. 3．数列的分类 分类标准 名称 含义 有穷数列 项数有限的数列，如数列 1，2，3，4，5，7，8，9，10按项的 个数 无穷数列 项数无限的数列，如数列 1，2，3，4，… 递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项，如数列 1，3，5，7，9，… 递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项，如数列 10，9，8，7，6，5，… 常数列 各项都相等的数列，如数列 2，2，2，2，… 按项的变 化趋势 摆动数列 从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，如 1，2，1，2 有界数列 任一项的绝对值都小于某一正数，如－1，1，－1，1，－1，1，…按项的有 界性 无界数列 不存在某一正数能使任一项的绝对值小于它，如 2，4，6，8，10，… 1 2 3, , , , , ,na a a aL L  na *N 1,2,{ },n  na f n 1,2,{ },n 2 二、数列的表示方法 （1）列举法：将数列中的每一项按照项的序号逐一写出，一般用于“杂乱无章”且项数较少的情况． （2）解析法：主要有两种表示方法， ①通项公式：如果数列 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做 这个数列的通项公式，即 ． ②递推公式：如果已知数列 的第一项(或前几项)，且任一项 与它的前一项 (或前几项)间的 关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． （3）图象法：数列是特殊的函数，可以用图象直观地表示．数列用图象表示时，可以以序号为横坐标，相 应的项为纵坐标描点画图．由此可知，数列的图象是无限个或有限个孤立的点． 三、数列的前 n 项和与通项的关系 数列的前 n 项和通常用 表示，记作 ，则通项 ． 若当 时求出的 也适合 时的情形，则用一个式子表示 ，否则分段表示． 考向一 已知数列的前几项求通项公式 1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列) 等方法． 具体策略： ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征； ③拆项后的特征； ④各项的符号特征和绝对值特征； ⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥对于符号交替出现的情况，可用 或 处理． 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想. 2．常见的数列的通项公式： （1）数列 1，2，3，4，…的通项公式为 ；  na ( )na f n  na na 1na  nS 1 2n nS a a a    1 1, 2n n n Sa S S n     2n  na 1n  na ( )1 k *1 1,( )k k  N na n 3 （2）数列 2，4，6，8，…的通项公式为 ； （3）数列 1，4，9，16，…的通项公式为 ； （4）数列 1，2，4，8，…的通项公式为 ； （5）数列 1， ， ， ，…的通项公式为 ； （6）数列 ， ， ， ，…的通项公式为 ． 3．根据图形特征求数列的通项公式，首先要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化，其次要把这些变 化同图形的序号联系起来，发现其中的规律，最后归纳猜想出通项公式． 典例 1 写出下面数列的一个通项公式. （1）8,98,998,9998, …; （2） , , , ,…; （3）1,6,12,20,…. （3）容易看出第 2,3,4 项满足规律:项的序号×(项的序号+1). 而第 1 项却不满足,因此考虑分段表示， 即数列的一个通项公式为 . 学# 典例 2 如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第 n 个图案中需用黑色瓷 砖_______块．（用含 n 的代数式表示） 2na n 2 na n 2n na  1 2 1 3 1 4 1 na n 1 2 1 6 1 12 1 20 1 ( 1)na n n  1 2 1 4 5 8 13 16   1, 1 1 , 2n na n n n     4 【答案】4n+8 1．已知 ，给出 4 个表达式：① ，② ，③ ，④ . 其中能作为数列：0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 考向二 利用 与 的关系求通项公式 已知 求 的一般步骤： （1）先利用 求出 ； （2）用 替换 中的 n 得到一个新的关系，利用 便可求出当 时 的表达式； （3）对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式 合写；如果不符合，则应该分 与 两段来写. 学@ 利用 求通项公式时，务必要注意 这一限制条件，所以在求出结果后，要看看这 两种情况能否整合在一起． *nN 0, 1,n na n    为奇数 为偶数 na nS nS na 1 1a S 1a 1n  nS 1, 2n nn Sa S n  2n  na 1n  2n  na 1n  2n  1 1 , 1 , 2n n n S na S S n     2n  5 典例 3 在数列 中， ， ，数列 的前 项和 （ ， 为常数）. （1）求实数 ， 的值； （2）求数列 的通项公式. 典例 4 已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ． （1）求 的值； （2）求数列 的通项公式． 【解析】（1）∵ , ,∴ ．  na n nS 1 1a      1 11 2n n n nnS n S    *nN 2a  na 1 1a      1 11 2n n n nnS n S    2 1 1 22 12S S    6 2．设数列 满足 . （1）求 及 的通项公式; （2）求数列 的前 项和. 考向三 由递推关系式求通项公式 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项.高考对递推公式的考查难 度适中，一般是通过变换转化成特殊的数列求解. 已知数列的递推公式求通项公式的常见类型及解法如下： （1） ：常用累加法，即利用恒等式 求通项 公式． （2） ：常用累乘法，即利用恒等式 求通项公式． （ 3 ） （ 其 中 为 常 数 ， ） ： 先 用 待 定 系 数 法 把 原 递 推 公 式 转 化 为 ，其中 ，进而转化为等比数列进行求解． （4） ：两边同时除以 ，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解；两边同时除 2 1 na n     1 ( )n na a f n   1 2 1 3 2 1( ) ( ) ( )n n na a a a a a a a        1 ( )n na f n a   32 1 1 2 1 n n n a aaa a a a a      1n na pa q   ,p q 0,1p  1 ( )n na k p a k    1 qk p  1 n n na pa q   1nq  7 以 ，然后可转化为类型 1，利用累加法进行求解． （5） ：把原递推公式转化为 ，解法同类型 3． （6） ：把原递推公式两边同时取对数，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解． （7） ：把原递推公式两边同时取倒数，然后可转化为类型 3，利用待定系数法进行求解． （8） ：易得 ，然后分 n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即 可． （9） ：易得 ，然后分 n 为奇数、偶数两种情况分类讨论即可． 典例 5 已知数列{an}中,a1=1,an=n(an+1-an)(n∈ ).求数列{an}的通项公式. 典例 6 在数列 中， ， . （1）设 ，求数列 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 . 1np  1n na pa qn t    1 ( )n na xn y p a xn y      1 r n na pa  1 n n n paa qa r   1 ( )n na a f n   2 ( 1) ( )n na a f n f n     1 ( )n na a f n   2 ( 1) ( ) n n a f n a f n   *N  na 1 1a   1 11 1 2n n na a nn         n n ab n  nb  na n nS 8 ①-②得 ． ∴ ． ∴ ． 学…… 3．在数列 中， ， ， ， 为常数， ． （1）求 的值； 2 3 12 2 2 2 2n n nT n          12 1 2 21 2 n nn       12 1 2nn        12 1 2n nT n        1 12 1 2 2 n n n nS n       9 （2）设 ，求数列 的通项公式. 考向四 数列的性质 数列可以看作是一类特殊的函数，所以数列具备函数应有的性质，在高考中常考查数列的单调性、周期 性等. 1．数列的周期性 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．数列的单调性 （1）数列单调性的判断方法： ①作差法： 数列 是递增数列； 数列 是递减数列； 数列 是常数列． ②作商法：当 时， 数列 是递增数列； 数列 是递减数列； 数列 是常数列． 当 时， 数列 是递减数列； 数列 是递增数列； 数列 是常数列． （2）数列单调性的应用： ①构造函数，确定出函数的单调性，进而可求得数列中的最大项或最小项． ②根据 可求数列中的最大项；根据 可求数列中的最小项．当解不唯一时，比较各解对 应的项的大小即可． （3）已知数列的单调性求解某个参数的取值范围，一般有两种方法： ①利用数列的单调性构建不等式，然后将其转化为不等式的恒成立问题进行解决，也可通过分离参数将其 转化为最值问题处理； ②利用数列与函数之间的特殊关系，将数列的单调性转化为相应函数的单调性，利用函数的性质求解参数 的取值范围，但要注意数列通项中 n 的取值范围． 1 0n na a    { }na 1 0n na a    { }na 1 0n na a    { }na 0na  1 1n n a a    { }na 1 1n n a a    { }na 1 1n n a a    { }na 0na  1 1n n a a    { }na 1 1n n a a    { }na 1 1n n a a    { }na 1 1 k k k k a a a a      1 1 k k k k a a a a      10 典例 7 已知数列 ，其通项公式为 ，判断数列 的单调性． 典例 8 已知正项数列 的前 项和为 ，且 对任意 恒成立. （1）证明： ； （2）求数列 的通项公式； （3）若 ，数列 是递增数列，求 的取值范围. 【解析】（1）由 ， 得 ， 两式相减得 . 又 ，所以 ，即 ， 当 时， ，得 ，也满足 ， 所以 . { }na 2 *3 ( )na n n n  N { }na 11 4．在数列 中, ,若 ,则 的值为 A． B． C． D． 5．已知数列 的前 项和 满足： . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，数列 的前 项和为 ，试问当 为何值时， 最小？并求出最小值. 1．在数列 1,2, ,…中, 是这个数列的第 A．16 项 B．24 项 C．26 项 D．28 项  na n nS 1 1n na a S S   na 0na  2log 32 na    n nT n nT 12 2．数列 , , , ,…的一个通项公式是 A．an=(-1)n+1 B．an=(-1)n C．an=(-1)n+1 D．an=(-1)n 3．若数列 中, ,则 的值为 A． B． C． D． 4．若数列 的前 项和 ,则它的通项公式是 A． B． C． D． 5．如图，给出的 3 个三角形图案中圆的个数依次构成一个数列的前 3 项，则这个数列的一个通项公式是 A． B． C． D． 6．在数列 中 = = 则 ＝ A． B． C． D． 7．已知数列 的通项为 ，则数列 的最大值为 A． B． C． D．不存在 8．已知函数 = ,若数列{ }满足 = ,且{ }是递增数列,则实数 a 的取值 范围是 A． B． 1 3 1 3 5 27 7 81 2 1 3 n n  2 1 3 n n  2 1 3n n  2 1 3n n  2 1n  3n 2 2 2 n n 2 3 2 2 n n  2 58n na n  1 2 58 7 107 4 61   6 3 3, 7 , 7x a x x a x       13 C． D． 9．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年—公元前 500 年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学 问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.根据下列四个图形及相应的正方形的个数的变化规律,第 n 个图形中有_________个正方形. 10．若数列 满足 ，则 ___________． 11．已知数列 的前 项和为 ,且 = ，则 ． 12．已知{an}是递增数列，且对任意的自然数 n(n≥1)，都有 恒成立，则实数 λ 的取值范围为 __________. 13 ． 已 知 首 项 为 2 的 数 列 的 前 项 和 为 ， 且 ， 若 数 列 满 足 ，则数列 中最大项的值为__________． 14．已知数列{an}的通项公式为 an=3n2-28n. (1)写出数列的第 4 项和第 6 项; (2)-49 是否为该数列的一项?如果是,是哪一项?68 是否为该数列的一项呢? 15．已知数列{an}的通项公式 an=n2-7n-8. 9 ,34     9 ,34       na 2,1 1 81  aaa n n 1a 2 13 n     2 na n n   * 1 13 2 12n nn nb a n   N 14 （1）数列中有多少项为负数? （2）数列{an}是否有最小项?若有,求出其最小项. 16．已知数列 的前 项和 满足 ． （1）求 ， ， 的值； （2）已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式． 17．已知数列 满足 ，其前 n 项和 ，求其通项公式 ．  na n nS  *2 1n nS a n  N 1a 2a 3a  nb 1 2b  1n n nb a b    nb  na 1 1 2a  2 n nS n a na 15 18．设数列 的前 项和为 ，点 均在函数 的图象上. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 n 项和 . 1．（2018 新课标全国Ⅰ理科）记 为数列 的前 项和，若 ，则 _________． 2．（2015 江苏）数列 满足 且 ,则数列 的前 10 项和为 . 3．（2015 新课标全国Ⅰ理科） 为数列{ }的前 n 项和.已知 an>0, . （1）求{an}的通项公式； （2）设 .求数列{bn}的前 n 项和. nS  na n 2 1n nS a  6S  1 na       nS na 1 1 n n n b a a   16 1．【答案】A 【解析】①②③逐一写出为 0，1，0，1，0，1，0，1，…，④逐一写出为 ，不 满足，故选 A. ￥网 2．【解析】（1）令 ，则 . （2）由（1），知 ， 设数列 的前 项和为 ， 则 . 3．【解析】（1）将 代入 ，得 ，    2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 na n n n n n       2 1 na n     nS 1 2 1 1 1 1 1 1 21 13 5 2 1 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 n n aa a nS n n n n n                                   17 4．【答案】B 【解析】由题意得 , , , , ,所以数列 是周期为 4 的周期数列，所以 .选 B． 5．【解析】（1）由已知 ，可得 当 时， ，可解得 或 ， 当 时，由已知可得 ， 1 1n na a S S  1n  2 1 1 1a a a  1 0a  1 2a  2n  1 1 1 1n na a S S   18 1．【答案】C 【解析】数列 1,2, ,…可化为 , ,…,则 由 ,解得 2．【答案】C 【解析】对于选项 A,当 n=2 时,a2= ,不满足题意,所以 A 不正确; 对于选项 B,当 n=1 时,a1= ,不满足题意,所以 B 不正确; 对于选项 D,当 n=2 时,a2= ,不满足题意,所以 D 不正确; 当 n=1,2,3,4 时,an=(-1)n+1 均满足题意,C 正确. 3．【答案】C 1 2 1 3 1 3 2 1 3n n  19 【解析】因为 ,所以 ,所以 ,所以 , 即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又 ,所以 7．【答案】C 【 解 析 】 = ， 但 ， 则 取 不 到 ， 又 = ， = ，a7＜a8，∴数列{an}的最大项为 a8 ．故选 C． 8．【答案】B 【解析】因为{ }是递增数列,所以函数 单调递增.当 时, = 单调递增,可得 ,解得 ;当 时, = 单调递增,可得 ，所以 .而{ } 是 递增数列,所以 = ，解得 ，所以 ,即实数 a 的取值范围是 .故选 B. 9．【答案】 2 58n na n  1 1 58 2 58n n   1 2 58 7 2 7 7 58a   7 107 8 2 8 8 58a   4 61 4 61 2 3a   1 2 n n  20 【解析】设数列为 ，由图知， 所 以由此猜想： ,故填 . 10．【答案】 11．【答案】 【解析】n=1 时, 时, , 所以 . 12．【答案】(-3,+∞) 【解析】由{an}为递增数列,得 an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ>0 恒成立,即 λ>-2n-1 在 n≥1 时恒成 立,令 f(n)=-2n-1,n∈ ,则 f(n)max=-3. 学. 只需 λ>f(n)max=-3 即可.故实数 λ 的取值范围为(-3,+∞). 13．【答案】43 【解析】∵ ，∴当 时， ， 当 时， ， 两式相减可得 ， 时也适合，  11 2 3 2n n na n        1 2 n n  1 2 1 5 , 13 1 2 , 23 3 n n n          11 2 3 3 n     1 5 , 13 1 2 , 23 3 n n n          *N 21 ∴当 时， 最大，最大值为 43，故答案为 43. 14．【解析】(1)a4=3×16-28×4=-64,a6=3×36-28×6=-60. (2)令 3n2-28n=-49,解得 n=7 或 n= (舍去), ∴n=7,即-49 是该数列的第 7 项. 令 3n2-28n=68,解得 n= 或 n=-2. ∵ ∉N*,-2∉N*, ∴68 不是该数列的项. 15．【解析】（1）令 an<0,即 n2-7n-8<0,得-1

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