2018-2019学年甘肃省河西五地高二下学期联考数学（理）试题（含解析）

2018-2019学年甘肃省河西五地高二下学期联考数学（理）试题（含解析）

‎2018-2019学年高二第二学期河西五地联考 数学（理科）试卷 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合，集合，则集合＝（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．圆（）与双曲线的渐近线相切，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．以下四个命题中，真命题的是（ ）‎ A．，‎ B．“对任意的，”的否定是“存在，‎ C．，函数都不是偶函数 D．中，“”是“”的充要条件 ‎5. 若直线截得圆的弦长为2，则 的最小值为( )‎ A. 4 B. ‎12 C. 16 D. 6‎ ‎6．已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝4，S4＝16，数列满足，则数列的前9和为（ ）‎ A．80 B．‎20 ‎C．180 D．166‎ ‎7．已知由不等式确定的平面区域的面积为7，则的值（ ）‎ A．-1或3 B． C． D．3‎ ‎8. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C．对任意正数， ‎ D．对任意正数，‎ ‎9．‎2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ）‎ A．96种 B．100种 C．124种 D．150种 ‎10．设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．椭圆的左右顶点分别为，点是上异于的任意一点，且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．关于函数，下列说法错误的是（ ）‎ A.是的极小值点 ‎ B.函数有且只有1个零点 C.存在正实数，使得恒成立 D.对任意两个正实数，且，若，则 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13.曲线在点处的切线方程为__________．‎ 14． 若随机变量，则 .‎ ‎15.若的展开式中常数项为43，则 ．‎ ‎16．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且满足，点为原点，则的面积为__________．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分10分）已知分别为三个内角的对边，向量且.‎ ‎（1）求角的大小； （2）若，且面积为，求边的长.‎ ‎18．(本小题满分12分）已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和．‎ ‎19.(本小题满分12分）为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考经济类专业是否与性别有关,现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查,得到如下列联表(单位:人):‎ 报考经济类 不报经济类 合计 男 ‎6‎ ‎24‎ ‎30‎ 女 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎（1）据此样本,能否有的把握认为理科生报考经济类专业与性别有关?‎ ‎（2）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况,现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取人,设人中报考经济类专业的人数为随机变量,求随机变量的概率分布及数学期望.[]‎ 附:参考数据: .其中．‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎20.(本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与平面PAD所成角为45º，F是PB的中点，E是BC上的动点．‎ ‎（1）证明：PE⊥AF；‎ ‎（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值．‎ ‎21．(本小题满分12分）设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求函数的极值； （2）若，成立，求的取值范围.‎ ‎22．(本小题满分12分）已知椭圆 上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．‎ ‎2018-2019学年高二第二学期河西五地联考 数学（理科）答案 ‎1．已知集合，集合，则集合＝（ ）‎ A． B． C． D．[]‎ ‎1．【答案】C ‎【解析】根据题意可得，，解得，满足题意，所以集合＝．故选C．‎ ‎2．已知复数z满足，则复数z在复平面内对应点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．【答案】D ‎【解析】设复数，，则，因为，所以，所以，所以可得，解得，所以，所以复数z在复平面内对应点在第四象限上．故选D．‎ ‎3．圆（）与双曲线的渐近线相切，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4．以下四个命题中，真命题的是（ ）‎ A．，‎ B．“对任意的，”的否定是“存在，‎ C．，函数都不是偶函数 D．中，“”是“”的充要条件 ‎【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力．‎ ‎【答案】D ‎ ‎ ‎5. 若直线截得圆的弦长为2，则 的最小值为( D )‎ A. 4 B. 12 C. 16 D. 6‎ ‎6．已知等差数列的前n项和为Sn，且S2＝4，S4＝16，数列满足，则数列的前9和为（ ）‎ A．80 B．20 C．180 D．166‎ ‎6．【答案】C．‎ ‎【解析】设等差数列的公差为d，因为，所以，两式相减为常数，所以数列也为等差数列．因为为等差数列，且S2＝4，S4＝16，所以，，所以等差数列的公差，所以前n项和公式为 ，所以．故选C．‎ ‎7．已知由不等式确定的平面区域的面积为7，则的值（B）‎ A．-1或3 B． C． D．3‎ ‎8. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ C ）‎ A． ‎ B． ‎ C．对任意正数， ‎ D．对任意正数，[]‎ ‎9．2015年12月16日“第三届世界互联网大会”在中国乌镇举办．为了保护与会者的安全，将5个安保小组全部安排到指定三个区域内工作，且这三个区域每个区域至少有一个安保小组，则这样的安排的方法共有（ ）‎ A．96种 B．100种 C．124种 D．150种 ‎9．【答案】D ‎【解析】∵三个区域至少有一个安保小组，所以可以把5个安保小组分成三组，一种是按照1、1、3，另一种是1、2、2；当按照1、1、3来分时共有，当按照1、2、2来分时共有，根据分类计数原理知共有，故，选D．‎ ‎10．设双曲线的右焦点为，过且斜率为1的直线与的右支相交不同的两点，则双曲线的离心率的取值范围是（ A ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．椭圆的左右顶点分别为，点是上异于的任意一点，且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎12．关于函数，下列说法错误的是（ ）‎ ‎（A）是的极小值点 ‎( B ) 函数有且只有1个零点 ‎ (C)存在正实数，使得恒成立 ‎(D)对任意两个正实数，且，若，则 ‎12【答案】C【解析】‎ ‎，，且当时，，函数递减，当时，，函数递增，因此是的极小值点，A正确；，，所以当时，恒成立，即单调递减，又，，所以有零点且只有一个零点，B正确；设，易知当时，，对任意的正实数，显然当时，，即，，所以不成立，C错误；作为选择题这时可得结论，选C，下面对D研究，画出函数草图可看出（0，2）的时候递减的更快，所以 ‎13.曲线在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 曲线在点处的斜率为： ‎ 根据点斜式写出直线方程为：.‎ 故答案为：.‎ 14． 若随机变量，则.‎ 答案及解析：10‎ ‎15.若的展开式中常数项为43，则 ．‎ ‎15.【答案】21‎ ‎【解析】根据题意可得的展开式的通项为，当r＝0时，的常数项为1，的常数项为3，而，令，解得r＝2，所以当r＝2时，的常数项为，综上，的展开式中常数项为＝43，整理得，解得n＝5，或n＝－4（舍去），则．‎ ‎16．抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，且满足，点为原点，则的面积为__________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ 由题可得，，由，所以，又根据可得，即，即，可以求得，，所以点的坐标为或，，即答案为2．‎ ‎17．已知分别为三个内角的对边，向量，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，且面积为，求边的长.‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴sin2C=sinAcosB+sinBcosA=sin（A+B）=sinC，................2分 ‎∴2sinCcosC=sinC，‎ ‎∵0＜C＜π，∴sinC≠0，................3分 ‎∴cosC=，∴C=．................5分 ‎（2）由题意得sinA+sinB=sinC，利用正弦定理化简得：a+b=c，................6分 ‎∵S△ABC=absinC=ab=6，即ab=24 ................8分 ，‎ 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣3ab，即c2=ab=36，所以c=6．..........10分 ‎18．（12分）已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前项和．‎ ‎【解析】（1）当时，，得，................2分 当时，有，‎ 所以，‎ 即，所以时，，................4分 所以是公比为，首项为的等比数列，‎ 所以，当时，满足该通项公式，‎ 故通项公式为．................6分 ‎（2），‎ ‎．................12分 ‎19.为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考经济类专业是否与性别有关,现从该市高三理科生中随机抽取50名学生进行调查,得到如下列联表(单位:人):‎ 报考经济类 不报经济类 合计 男 ‎6‎ ‎24‎ ‎30‎ 女 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎20‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎（1）据此样本,能否有的把握认为理科生报考经济类专业与性别有关?‎ ‎（2）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况,现从该市的全体考生(人数众多)中随机抽取人,设人中报考经济类专业的人数为随机变量,求随机变量的概率分布及数学期望.‎ 附:参考数据: .其中．‎ P(K2≥k0)[]‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎ ‎ 答案：1. ‎ 所以有的把握认为理科生报考经济类专业与性别有关。................6分 2.估计该市的全体考生中任一人报考经济类专业的概率.................8分 的可能取值为,由题意,得.‎ ‎..‎ 所以随机变量的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎...............10分 所以随机变量的数学期望...............12分 ‎ ‎ ‎20.如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，PA是四棱锥的高，‎ PB与平面PAD所成角为45º，F是PB的中点，E是BC上的动点．‎ ‎（1）证明：PE⊥AF；‎ ‎（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值．‎ ‎ ‎ 答案及解析：‎ ‎（Ⅰ）方法一： 建立如图所示空间直角坐标系．设，则，于是，，‎ 则，所以．……6分 方法二：‎ 面,面面,‎ 又 面,面 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）设则,‎ 若，则由得， 设平面的法向量为， ‎ 由，得：，于是，而设二面角D-PE-B为，则为钝角 所以， ..............12分 ‎21、（本小题满分12分）设函数，其中.‎ ‎（1）当时，求函数的极值； （2）若，成立，求的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎1分 在和上单调增，在上单调减 3分 ‎ 4分 ‎（Ⅱ）设函数，，都有成立.‎ 即 当时，恒成立；‎ 当时，，；‎ 当时，，；由均有成立。‎ 故当时，，，则只需；‎ 当时，，则需，即.综上可知对于，都有成立，只需即可，故所求的取值范围是. 12分 ‎22．已知椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．‎ ‎22．【答案】（1）；（2）答案见解析．‎ ‎【解析】（1）因为椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离的最大值和最小值分别为，，所以依题意有：，·········2分 ‎∵，∴．故可设椭圆的方程为：，‎ 因为点在椭圆上，‎ 所以将其代入椭圆的方程得．·······4分 ‎∴椭圆的方程为．·········5分 ‎（2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，‎ 即，，为与椭圆的两个交点．‎ 将代入方程化简得：．‎ 所以，．·········7分 ‎．···10分 又由，解得，，‎ 即点的坐标为，所以．‎ 因此，与的关系为：．·········12分 ‎ ‎ ‎ ‎