2021高考数学大一轮复习单元质检九解析几何理新人教A版

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单元质检九　解析几何 ‎(时间:100分钟　满分:150分)‎ ‎　单元质检卷第18页　 ‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.到直线3x-4y+1=0的距离为3,且与此直线平行的直线方程是(　　)‎ A.3x-4y+4=0‎ B.3x-4y+4=0或3x-4y-2=0‎ C.3x-4y+16=0‎ D.3x-4y+16=0或3x-4y-14=0‎ 答案:D 解析:设所求直线方程为3x-4y+m=0,由‎|m-1|‎‎5‎=3,解得m=16或m=-14.‎ 即所求直线方程为3x-4y+16=0或3x-4y-14=0.‎ ‎2.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆x‎2‎‎2‎+y2=1的焦点和顶点,则该双曲线方程为(　　)‎ A.x2-y2=1 B.x‎2‎‎2‎-y2=1‎ C.x2-y‎2‎‎2‎=1 D.x‎2‎‎3‎‎-‎y‎2‎‎2‎=1‎ 答案:A 解析:椭圆x‎2‎‎2‎+y2=1的焦点位于x轴,且a2=2,b2=1,c2=a2-b2=1,‎ 据此可知,椭圆的焦点坐标为(±1,0),x轴上的顶点坐标为(±‎2‎,0),‎ 结合题意可知,双曲线的焦点位于x轴,且c=‎2‎,a=1,b=1,‎ 则该双曲线方程为x2-y2=1.‎ ‎3.(2019天津,理5)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为(　　)‎ A.‎2‎ B.‎3‎ C.2 D.‎‎5‎ 14‎ 答案:D 解析:由抛物线方程可得l的方程为x=-1.‎ 由y=bax,‎x=-1,‎得y1=-ba.‎ 由y=-bax,‎x=-1,‎得y2=ba.∴AB=‎2ba.‎ 由|AB|=4|OF|得‎2ba=4,故ba=2.‎ ca‎2=a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎‎=‎‎5‎a‎2‎a‎2‎.‎ ‎∴e=‎5‎,故选D.‎ ‎4.抛物线y2=8x的焦点到双曲线x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1的渐近线的距离为(　　)‎ A.1 B.‎3‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎3‎‎6‎ 答案:A 解析:抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),其到双曲线x‎2‎‎12‎‎-‎y‎2‎‎4‎=1的渐近线x±‎3‎y=0的距离d=‎|2±0|‎‎1+3‎=1.‎ ‎5.已知椭圆x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)与双曲线x‎2‎m‎2‎‎-‎y‎2‎n‎2‎=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎2‎‎2‎ C.‎1‎‎4‎ D.‎‎1‎‎2‎ 答案:D 解析:由题意可知2n2=2m2+c2.‎ 因为m2+n2=c2,所以m=c‎2‎.‎ 因为c是a,m的等比中项,‎ 所以c2=am,代入m=c‎2‎,解得e=ca‎=‎‎1‎‎2‎.‎ ‎6.过点A(0,3),被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2‎3‎的直线方程是(　　)‎ A.y=-‎4‎‎3‎x+3 B.x=0或y=-‎4‎‎3‎x+3‎ 14‎ C.x=0或y=‎4‎‎3‎x+3 D.x=0‎ 答案:B 解析:当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,‎ 此时被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为2‎3‎.‎ 当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.‎ 因为弦长为2‎3‎,圆的半径为2,‎ 所以弦心距为‎2‎‎2‎‎-(‎‎3‎‎)‎‎2‎=1.‎ 由点到直线距离公式,‎ 得‎|k+3|‎k‎2‎‎+(-1‎‎)‎‎2‎=1,解得k=-‎4‎‎3‎.‎ 综上所述,所求直线方程为x=0或y=-‎4‎‎3‎x+3.‎ ‎7.已知椭圆x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则△ABF1内切圆的半径为(　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.1 C.‎4‎‎5‎ D.‎‎3‎‎4‎ 答案:D 解析:由x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a=8,△ABF1的面积为‎1‎‎2‎|F1F2|×|yA-yB|=‎1‎‎2‎×2×3=3=‎1‎‎2‎×8×r,解得r=‎3‎‎4‎,故选D.‎ ‎8.(2019新疆乌鲁木齐联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为(　　)‎ A.3 B.2或4 ‎ C.4 D.2‎ 答案:B 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎∴y‎1‎‎2‎‎=2px‎1‎,‎y‎2‎‎2‎‎=2px‎2‎,‎两式相减,得(y1+y2)·(y1-y2)=2p(x1-x2),‎ 14‎ ‎∴y‎1‎‎-‎y‎2‎x‎1‎‎-‎x‎2‎‎=‎‎2py‎1‎‎+‎y‎2‎.‎ ‎∵M为AB的中点,∴y1+y2=4,‎ 又Fp‎2‎‎,0‎在AB上,∴‎2‎‎3-‎p‎2‎‎=‎‎2p‎4‎,‎ 解得p=2或4.故选B.‎ ‎9.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率,若P为它们在第一象限的交点,∠F1PF2=60°,则双曲线的离心率e2=(　　)‎ A.‎2‎ B.2 C.‎3‎ D.3‎ 答案:C 解析:设F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,‎ 由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°,‎ 即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得‎1‎e‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎e‎2‎‎2‎=4,e1e2=1,即有e‎2‎‎4‎-4e‎2‎‎2‎+3=0,解得e2=‎3‎.‎ ‎10.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线x‎2‎a-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a=(　　)‎ A.‎1‎‎9‎ B.‎1‎‎3‎ C.3 D.9‎ 答案:A 解析:由题意可知,抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-4,‎ 则p=8,所以点M(1,4).‎ 因为双曲线x‎2‎a-y2=1的左顶点为A(-a,0),‎ 所以直线AM的斜率为‎4‎‎1+‎a.‎ 由题意得‎4‎‎1+‎a‎=‎‎1‎a,解得a=‎1‎‎9‎.‎ 14‎ ‎11.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=(　　)‎ A.3 B.6 C.12 D.42‎ 答案:B 解析:因为双曲线的离心率为2,所以e2=c‎2‎a‎2‎‎=‎a‎2‎‎+‎b‎2‎a‎2‎=4,‎ 即b2=3a2,‎ 所以双曲线x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±‎3‎x,代入y2=2px(p>0),‎ 得x=‎2‎‎3‎p或x=0,‎ 故xA=xB=‎2‎‎3‎p.‎ 又因为|AF|=xA+p‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎p+p‎2‎=7,所以p=6.‎ ‎12.(2019河北石家庄一中高三模拟七)点M(3,2)到抛物线C1:y=ax2(a>0)准线的距离为4,F为抛物线的焦点,点N(1,1),当点P在直线l:x-y=2上运动时,‎|PN|-1‎‎|PF|‎的最小值为(　　)‎ A.‎3-2‎‎2‎‎8‎ B.‎‎2-‎‎2‎‎4‎ C.‎5-2‎‎2‎‎8‎ D.‎‎5-2‎‎2‎‎4‎ 答案:B 解析:∵点M(3,2)到抛物线C:y=ax2(a>0)准线的距离为4,‎ ‎∴2+‎1‎‎4a=4,‎ ‎∴a=‎1‎‎8‎,∴抛物线C:x2=8y,‎ 直线l:x-y=2与x轴交于A(2,0),则FA⊥l.‎ 设AP=t,则|AN|=‎2‎,|AF|=2‎2‎,|PN|=t‎2‎‎+2‎,|PF|=t‎2‎‎+8‎,‎ 设t‎2‎‎+2‎-1=m(m≥‎2‎-1),‎ 14‎ 则‎|PN|-1‎‎|PF|‎‎=t‎2‎‎+2‎‎-1‎t‎2‎‎+8‎=m‎(m+1‎‎)‎‎2‎‎+6‎=‎‎1‎‎7‎‎1‎m‎+‎‎1‎‎7‎‎2‎‎+‎‎6‎‎7‎,‎ ‎∴m=‎2‎-1,‎ 即t=0时,‎|PN|-1‎‎|PF|‎的最小值为‎2-‎‎2‎‎4‎.‎ 所以B选项是正确的.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.若双曲线x2-y‎2‎m=1的离心率为‎3‎,则实数m=　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:由题意知a=1,b=m,m>0,c=a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=‎‎1+m,则离心率e=ca‎=‎1+m=‎‎3‎,解得m=2.‎ ‎14.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为　　　　　　. ‎ 答案:8‎ 解析:设△OFM的外接圆圆心为O1,‎ 则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.‎ 又因为☉O1与抛物线的准线相切,‎ 所以O1在抛物线上,‎ 所以O1p‎4‎‎,‎2‎‎2‎p.‎ 又因为圆面积为36π,所以半径为6,‎ 所以p‎2‎‎16‎‎+‎‎1‎‎2‎p2=36,所以p=8.‎ ‎15.已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎‎-‎y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为　　　　　. ‎ 答案:‎‎2‎‎3‎‎3‎ 解析:如图所示,由题意可得|OA|=a,|AN|=|AM|=b,‎ 14‎ ‎∵∠MAN=60°,‎ ‎∴|AP|=‎3‎‎2‎b,|OP|=‎|OA‎|‎‎2‎-|PA‎|‎‎2‎‎=‎a‎2‎‎-‎‎3‎‎4‎b‎2‎.‎ 设双曲线C的一条渐近线y=bax的倾斜角为θ,‎ 则tanθ=‎|AP|‎‎|OP|‎‎=‎‎3‎‎2‎ba‎2‎‎-‎‎3‎‎4‎b‎2‎.‎ 又tanθ=ba,‎ ‎∴‎3‎‎2‎ba‎2‎‎-‎‎3‎‎4‎b‎2‎‎=‎ba,解得a2=3b2,‎ ‎∴e=‎1+‎b‎2‎a‎2‎‎=‎1+‎‎1‎‎3‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎16.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若∠AMB=90°,则k=　　　　　. ‎ 答案:2‎ 解析:设直线AB:x=my+1,‎ 联立x=my+1,‎y‎2‎‎=4x⇒y2-4my-4=0,‎ y1+y2=4m,y1y2=-4.‎ 而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),‎ MB‎=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).‎ ‎∵∠AMB=90°,‎ ‎∴MA‎·‎MB=(my1+2)(my2+2)+(y1-1)(y2-1)‎ ‎=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5‎ ‎=-4(m2+1)+(2m-1)4m+5‎ ‎=4m2-4m+1=0.‎ 14‎ ‎∴m=‎1‎‎2‎.∴k=‎1‎m=2.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.‎ ‎(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;‎ ‎(2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.‎ 解:(1)由y=2x-4,‎y=x-1,‎得圆心C(3,2).‎ 又因为圆C的半径为1,‎ 所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.‎ 显然切线的斜率一定存在,‎ 设所求圆C的切线方程为y=kx+3,‎ 即kx-y+3=0,则‎|3k-2+3|‎k‎2‎‎+1‎=1,‎ 所以|3k+1|=k‎2‎‎+1‎,‎ 即2k(4k+3)=0.‎ 所以k=0或k=-‎3‎‎4‎.‎ 14‎ 所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-‎3‎‎4‎x+3,‎ 即y=3或3x+4y-12=0.‎ ‎(2)由圆C的圆心在直线l:y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),‎ 则圆C的方程为(x-a)2+[y-(2a-4)]2=1.‎ 又因为|MA|=2|MO|,‎ 所以设M(x,y),‎ 则x‎2‎‎+(y-3‎‎)‎‎2‎=2x‎2‎‎+‎y‎2‎,‎ 整理得x2+(y+1)2=4.‎ 设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,‎ 所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,‎ 所以2-1≤a‎2‎‎+[(2a-4)-(-1)‎‎]‎‎2‎≤2+1,‎ 解得a的取值范围为‎0,‎‎12‎‎5‎.‎ ‎18.(12分)已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的离心率为‎15‎‎4‎,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2‎15‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设圆T:(x-2)2+y2=‎4‎‎9‎,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.‎ 解:(1)由题意,得e=ca‎=‎15‎‎4‎=‎a‎2‎‎-‎b‎2‎a,可知a=4b,c=‎15‎b.‎ ‎∵△PF1F2的周长是8+2‎15‎,‎ ‎∴2a+2c=8+2‎15‎,∴a=4,b=1.‎ ‎∴椭圆C的方程为x‎2‎‎16‎+y2=1.‎ 14‎ ‎(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,‎ 由直线y=kx+1与圆T相切可知‎|2k+1|‎‎1+‎k‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎,即32k2+36k+5=0,‎ ‎∴k1+k2=-‎9‎‎8‎,k1k2=‎5‎‎32‎.‎ 由y=k‎1‎x+1,‎x‎2‎‎16‎‎+y‎2‎=1,‎得(1+16k‎1‎‎2‎)x2+32k1x=0,‎ ‎∴xE=-‎32‎k‎1‎‎1+16‎k‎1‎‎2‎.‎ 同理xF=-‎32‎k‎2‎‎1+16‎k‎2‎‎2‎,kEF=‎yE‎-‎yFxE‎-‎xF‎=‎k‎1‎xE‎-‎k‎2‎xFxE‎-‎xF ‎=k‎1‎‎+‎k‎2‎‎1-16‎k‎1‎k‎2‎‎=‎‎3‎‎4‎.‎ 故直线EF的斜率为‎3‎‎4‎.‎ ‎19.(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程.‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由y=k(x-1),‎y‎2‎‎=4x得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,‎ 故x1+x2=‎2k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=‎4k‎2‎+4‎k‎2‎.‎ 由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎=8,解得k=-1(舍去),k=1.‎ 因此l的方程为y=x-1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),‎ 14‎ 则y‎0‎‎=-x‎0‎+5,‎‎(x‎0‎+1‎)‎‎2‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1‎‎)‎‎2‎‎2‎+16.‎ 解得x‎0‎‎=3,‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11,‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为 ‎(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎20.(12分)(2019河北邯郸模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O1:(x+1)2+y2=1和圆O2:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆O1外切,与圆O2内切.‎ ‎(1)求圆心P的轨迹E的方程;‎ ‎(2)过A(-2,0)作两条互相垂直的直线l1,l2分别交曲线E于M,N两点,设l1的斜率为k(k>0),△AMN的面积为S,求Sk的取值范围.‎ 解:(1)设动圆P的半径为r,则|PO1|=r+1,|PO2|=3-r,所以|PO1|+|PO2|=4>O1O2=2,所以P的轨迹为椭圆,2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=‎3‎,所以所求轨迹E的方程为x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1(x≠-2).‎ ‎(2)设点M的坐标为(x0,y0),直线l1的方程为y=k(x+2),‎ 代入x‎2‎‎4‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1,可得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,‎ 所以x0×(-2)=‎16k‎2‎-12‎‎3+4‎k‎2‎,所以x0=‎6-8‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎,‎ 同理|AM|=‎1+‎k‎2‎‎6-8‎k‎2‎‎3+4‎k‎2‎+2=‎1+‎k‎2‎‎·‎‎12‎‎3+4‎k‎2‎,‎ 同理|AN|=‎1+‎‎1‎k‎2‎‎·‎‎12‎k‎2‎‎3k‎2‎+4‎.‎ 所以S=‎1‎‎2‎|AM|·|AN|=‎1‎‎2‎‎·‎1+‎k‎2‎·‎12‎‎3+4‎k‎2‎·‎1+‎‎1‎k‎2‎·‎‎12‎k‎2‎‎3k‎2‎+4‎.‎ 所以Sk‎=‎‎72(k‎2‎+1)‎‎(3k‎2‎+4)(4k‎2‎+3)‎.令k2+1=t>1,则Sk‎=‎72(k‎2‎+1)‎‎(3k‎2‎+4)(4k‎2‎+3)‎=‎72t‎(3t+1)(4t-1)‎=‎‎72‎‎12t+1-‎‎1‎t,所以Sk∈(0,6).‎ 故Sk的取值范围为(0,6).‎ 14‎ ‎21.(12分)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.‎ ‎(1)求抛物线E的方程;‎ ‎(2)是否存在直线l使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)∵圆F的方程为(x-2)2+y2=1,‎ ‎∴圆心F的坐标为(2,0),半径r=1.‎ 根据题意设抛物线E的方程为y2=2px(p>0),‎ ‎∴p‎2‎=2,解得p=4.‎ ‎∴抛物线E的方程为y2=8x.‎ ‎(2)∵2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,‎ ‎∴|AB|+|CD|=4|BC|=4×2r=8.‎ ‎∴|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.‎ 讨论:‎ 若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=±4.‎ 此时|AD|=8,不满足题意;‎ 若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k≠0),此时l的方程为y=k(x-2),‎ 由y=k(x-2),‎y‎2‎‎=8x,‎得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.‎ 设A(x1,y1),D(x2,y2),‎ 则x1+x2=‎4k‎2‎+8‎k‎2‎.‎ ‎∵抛物线E的准线方程为x=-2,‎ ‎∴|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.‎ ‎∴‎4k‎2‎+8‎k‎2‎+4=10,‎ 14‎ 解得k=±2.‎ 当k=±2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x2-6x+4=0,‎ ‎∵(-6)2-4×1×4>0,‎ ‎∴x2-6x+4=0有两个不相等实数根.‎ ‎∴k=±2满足题意.‎ ‎∴存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.‎ ‎22.(12分)已知椭圆E:x‎2‎a‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.‎ ‎(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;‎ ‎(2)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.‎ 解:(1)由已知,a=‎2‎b,则椭圆E的方程为x‎2‎‎2‎b‎2‎‎+‎y‎2‎b‎2‎=1.‎ 由方程组x‎2‎‎2‎b‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1,‎y=-x+3‎消去y,得3x2-12x+(18-2b2)=0.①‎ 方程①的判别式为Δ=24(b2-3),‎ 由Δ=0,得b2=3,此时方程①的解为x=2,所以椭圆E的方程为x‎2‎‎6‎‎+‎y‎2‎‎3‎=1,点T的坐标为(2,1).‎ ‎(2)由已知可设直线l'的方程为y=‎1‎‎2‎x+m(m≠0),‎ 由方程组y=‎1‎‎2‎x+m,‎y=-x+3,‎可得x=2-‎2m‎3‎,‎y=1+‎2m‎3‎.‎ 所以点P的坐标为‎2-‎2m‎3‎,1+‎‎2m‎3‎,‎ ‎|PT|2=‎8‎‎9‎m2.‎ 设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).‎ 由方程组x‎2‎‎6‎‎+y‎2‎‎3‎=1,‎y=‎1‎‎2‎x+m消去y,得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②‎ 14‎ 方程②的判别式为Δ=16(9-2m2).‎ 由Δ>0,解得-‎3‎‎2‎‎2‎

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