【数学】河北省保定市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

【数学】河北省保定市2019-2020学年高一下学期期末考试试题

河北省保定市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题 ‎ 注意事项：‎ ‎1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.‎ ‎3.在答题卡上与题号相对应的区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.‎ ‎4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.直线的斜率为（ ）‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎2.等差数列中，，公差，则（ ）‎ A. B. C.1 D.0‎ ‎3.不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4.设、，则线段的垂直平分线的方程是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5.已知α，β，γ是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是（ ）‎ A.若，，则 B.若，，，则 C.若，，则 D.若，，则 ‎6.设递增等比数列的公比为q，且，，，成等差数列，则（ ）‎ A.3 B.1或‎3 ‎C.2 D.2或3‎ ‎7.对于任意实数a，b，c，则下列四个命题：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若，则；‎ ‎③若，则；‎ ‎④若，则.‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A.3 B‎.2 ‎C.1 D.0‎ ‎8.若直线a，b的斜率分别为方程的两个根，则a与b的位置关系为（ ）‎ A.互相平行 B.互相 重合 C.互相垂直 D.无法确定 ‎9.中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ）‎ A.6里 B.24里 C.48里 D.96里 ‎10.若正四面体的每条棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，a，b，c成等比数列，则B的最大值为（ ）‎ A.90° B.60° C.45° D.30°‎ ‎12.已知数列，，…，…是首项为1，公比为2的等比数列，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知x，y满足，则的最大值为____________.‎ ‎14.已知一几何体的三视图如图所示，其中正视图由两个小正方形组成，俯视图为正三角形，则此几何体的表面积为____________.‎ ‎15.设函数，则不等式的解集为____________.‎ ‎16.已知中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且，，，则____________.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.（10分）‎ 已知：的顶点，，.‎ ‎（1）求边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）证明：为等腰直角三角形.‎ ‎18.（12分）‎ 设数列为等差数列，其在平面直角坐标系中的图象由点（）组成，若点，为该图象上的两点.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的前n项和及的最大值.‎ ‎19.（12分）‎ 如图，长方体中，，，点P为的中点.‎ ‎（1）求证：直线平面；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的正弦值.‎ ‎20.（12分）‎ 某人在池塘南岸A处看到北岸两个警示牌C、D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走了一段距离到达B处后再次观察警示牌C、D，此时二者分别在北偏西15°和北偏西60°方向，已知米.‎ ‎（1）设米，求；（用x表示）‎ ‎（2）求此人向东实际走了多少米?‎ ‎21.（12分）‎ 如图，四棱锥中，四边形为矩形，，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求四棱锥外接球的体积.‎ ‎22.（12分）‎ 已知数列、满足：，为等比数列，且，，.‎ ‎（1）试判断数列是否为等差数列，并说明理由；‎ ‎（2）求数列的前n项和.‎ 参考答案 一、选择题：CDBAD ACCDB BD 二、填空题：13. 14. 15. 16．‎ 三、解答题：‎ ‎17. （10分）‎ ‎（1）解：∵直线的斜率为……………1分 所以，边上的高所在直线的斜率为……………3分 由点斜式方程得，边上的高所在直线的方程为 即……………………………………………………5分 ‎（2）证明：法1：因为|………………6分 ‎|……………………7分 ‎|……………………8分 所以，且 所以为等腰直角三角形………………………………10分 法2：因为， ‎ 所以 所以………………………8分 又因为|‎ ‎|‎ 即，又因为 所以为等腰直角三角形………………………………10分 ‎18.（12分）‎ 解：（1）设等差数列的公差为d 因为点，在该图象上，所以解得………4分 故数列的通项公式为 故…………………………………………6分 ‎（2）由（1）知，所以数列的前n项和为 ‎……………9分 法1：又因为函数的图象开口向下，对称轴为直线，‎ 所以的最大值为…………………………………………12分 法2：因为 所以的最大值为…………………………………………12分 ‎19.（12分） ‎ ‎（1）证明：设和交于点O，则O为的中点，‎ 连结，又因为P是的中点，故…………3分 又因为平面，平面 所以直线平面……………………5分 O C C1‎ A A111‎ ‎_‎ P ‎_‎ D ‎_‎ ‎1‎ ‎_‎ ‎_‎ ‎_‎ B ‎_‎ ‎1‎ ‎_‎ ‎_‎ ‎_‎ D ‎_‎ B ‎（2）解：由（1）知，，所以异面直线与所成的角就等于与所成的角，‎ 故即为所求………………8分 因为，且 所以……………12分 ‎20. （12分）‎ 解：（1）在中，，，∴…………2分 ‎∵，∴……………4分 ‎（2）在中，，，∴‎ 由（1）知，∵，∴……………………7分 在中，，，，‎ ‎∴ ………………10分 ‎∴‎ 即 解得米 答：此人向东实际走了米……………………………………12分 ‎21.（12分）‎ ‎（1）证明：∵，‎ ‎∴‎B O G C S A D 平面--------------1分 又，∴平面 ‎∴-----------------3分 又在中，，，‎ 故 ∴‎ ‎∴平面-----------------5分 ‎（2）设G为矩形的对角线的交点，则--------7分 作于O，因为平面， ‎ 所以平面平面 故平面-----------------------------------------------9分 连结，，则----------------10分 所以G为四棱锥外接球的球心，且球的半径为 故所求的球的体积为------------------------12分 ‎22.（12分）‎ 解：（1）数列不是等差数列. ……………………1分 理由如下：‎ 由，且，，得：‎ 所以 又因为数列为等比数列，‎ 所以可知数列的首项为4，公比为2. ……………………3分 所以，∴‎ 显然 故数列不是等差数列……………………5分 ‎（2）结合（1）知，等比数列的首项为4，公比为2. ‎ 故， 所以……………………7分 因为，，，∴‎ ‎∴（） ‎ 令，…，‎ 累加得 ‎∴‎ ‎ ‎ 又满足上式 ， ∴……………………10分 所以 ‎……………12分